振动力学(梁的横向振动)分析

Φ(l ) 0
dM d 3Φ Q EIq 3 dx dx
qkΦ(l )
x l
弹性体的振动
Φ(l ) 0
dM d 3Φ Q EIq 3 dx dx
qkΦ(l )
x l
代入特征方程的解
Φ( x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
(i ) i 1

1. 标准坐标（正则坐标）
对振型函数按下式条件正则化
A dx M
0 i i
l
i
1
弹性体的振动
2. 对初始激励的响应
设初始条件为
u( x,0) u0 ( x)
将其按标准振型展开
u( x, t ) u0 ( x) t t 0

u ( x, 0) u0 ( x) q0iΦi u ( x, 0) u0 ( x) q0iΦi
其它边界条件用类似的方法给出。
弹性体的振动
2、梁弯曲自由振动的解
令振动方程中的干扰力为0，得到
2 x2
4
2u 2u EI x2 A t 2
2
对于均匀梁，振动方程为
u u a 2 0 4 x t
2
其中
EI a A
弹性体的振动
假定有分离变量形式的解存在，令
EI (C1 3 cos l C2 3 sin l C3 3 ch l C4 3 sh l )
k (C1 sin l C2 cos l C3 sh l C4 ch l )
求得
C3 C1
sin l sh l C2 C4 C1 ch l cos l
u ( x, t ) u ( x, t ) EI k0 2 x x x l
2
x l
3u ( x, t ) EI x3
ku (l , t )
x l
弹性体的振动
关于振型函数的正交性
和一维波动方程振型函数的正交性类似。第 i 阶 特征值满足
d dx2
2
d Φi ( x) 2 EI ( x ) i A( x)Φi ( x) 2 dx
以及
Φ( x) C1 cos x C2 sin x C4 sh x C3 ch x
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Φ( x) C1 2 sin x C2 2 cos x C3 2 sh x C4 2 ch x
弹性体的振动
进一步化简后得到频率方程 k ch l cos l 1 3 EI ch l sin l cos l sh l
sin l sh l C2 C4 C1 ch l c o s l
化简后得到频率方程
cos l ch l 1
求出后得到固有频率
i a
2 i
2 i
EI , (i 1, 2 ) A
弹性体的振动
振型为
Φ( x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
l
l d d 2 i d d i j EI EI dx j 2 2 0 dx dx dx dx 0
2
l
d d i d i d j j EI EI 2 2 dx 0 dx dx 0 dx
2
弹性体的振动
考虑边界条件为简支、自由、固定的情
况，梁端点的位移、弯矩或剪力为0，则
l d i d j d d i dx EI dx EI 2 2 2 0 j dx2 0 dx dx dx
l
2
2
2
2
i2 A i j dx
0
l
对第j阶振型进行上面类似的运算得：
sin l sh l C1 sin x C1 cos x ch l cos l sin l sinh l C1 sh x C1 ch x ch l cos l
sin l sh l C sin x sh x (cos x ch x) ch l cos l
弹性体的振动
则有
d q(t ) 2 q(t ) 0 2 dt
2
d Φ ( x) 4 Φ( x) （称为特征方程） 4 dx
其中
4

4
2
a
2
弹性体的振动
方程的通解为
Φ( x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
u ( x, t ) Φ( x)q(t )
代入方程得到
a x2
2 2
d Φ( x) d q(t ) q(t ) dx2 Φ( x) dt 2
2 2
写为
2 d 2Φ( x) d 2 q(t ) 2 2 2 x dx 2 dt a 2 Φ ( x) q(t )
弹性体的振动
Φ( x) C1 3 cos x C2 3 sin x C3 3 ch x C4 3 sh x
将边界条件代入得到
C2 C4 0,
(C1 C3 ) 0
C1 sin l C2 cos l C3 sh l C4 ch l 0
弹性体的振动
讨论： （1）k＝0时，频率方程变为 ch l cos l 1 0 即为悬臂梁的情况。
（2）k趋于无穷大时，频率方程变为
ch l sin l cos l sh l 0
或
tan l th l
即为左端固定，右端简支的情况。
弹性体的振动
【思考题】 证明图示悬臂梁在x＝l处的边界条件为：
q(t ) C5 sin t C6 cos t
由特征方程，利用边界条件即可求出振型函数
F(x)和频率方程，进一步确定系统的固有频率 wi。用 四个边界条件只能确定四个积分常数之间的比值。
弹性体的振动
【例1】 求简支梁弯曲振动的固有频率与固有振型。 解：边界条件为挠度和弯矩为0。
d 2Φ Φ(0) 0, 2 dx
弹性体的振动
【例3】求左端固定、右端用刚度为k的弹簧支承的 均匀梁弯曲振动的频率方程。
解：左端的边界条件为挠度和转角为0
Φ(0) 0, Φ(0) 0
弹性体的振动
解：左端的边界条件为挠度和转角为0
Φ(0) 0, Φ(0) 0
弹性体的振动
右端的边界条件：弯矩为0，剪力等于弹性力
2 2 2 d d i j EI dx 2 2 0 dx dx l 2
l
l
弹性体的振动
上两式相减得
( ) Ai j dx 0
2 i 2 j 0
l
则 i＝ j时
A dx 0
0 i j
l
(i j )
A dx M
0 i i
l
i
即
Q u A 2 f x t
2
利用材料力学中的关系
M Q x
2u M EI 2 x
得到梁的弯曲振动方程
2 2 u u EI 2 A 2 f 2 x x t 2
弹性体的振动
边界条件
和一维波动方程一样，要使弯曲振动微分方程 成为定解问题，必需给出边界条件和初始条件。 梁的每一端必须给出两个边界条件(以左端为例)。 （1）固定端：挠度和转角为0，即
2 2
d d i EI 2 0 i dx 2 dx
l 2 2
l d i 2 dx EI dx Mi i 2 0 dx
弹性体的振动
梁在激励力作用下的响应
和一维波动方程一样，用振型叠加法求响应
u ( x, t ) qi (t )Φ ( x)
C2 C4 0,
以及
(C1 C3 ) 0
C1 sin l C2 cos l C3 sh l C4 ch l 0 C1 cos l C2 sin l C4 sh l C3 ch l 0
弹性体的振动
求得
C3 C1
由此解得
弹性体的振动
所以固有频率
EI , (i 1, 2 ) A 振型为 i (i ) Φ ( x) C sin i x C sin x l 第 i 阶振型有 i － 1
1
2
2 2 i 2 i i a 2 l
个节点。节点坐标
l2
EI A
i xk k l
即
4 2 2 2 l
EI A
kl xk , i (k 1, 2 i 1)
9 2 3 2 l
EI A
弹性体的振动
【例 2】求两端固定梁弯曲振动的固有频率与固有振型。 解：边界条件为挠度和转角为0，即
Φ(0) 0, Φ(0) 0
代入特征方程的解得到
Φ(l ) 0, Φ(l ) 0
u( x, t ) u(0, t ) 0, 0 x x 0
弹性体的振动
（2）简支端：挠度和弯矩为0，即
u( x, t ) u(0, t ) 0, EI 0 2 x x 0
2
（3）自由端：弯矩和剪力为0，即
2 u ( x, t ) 2 u ( x, t ) EI 0, EI 0 2 2 x x x x 0 x 0
弹性体的振动
得到 则
C2 C4 0, C2 C4 0
2 (C2 C4 ) 0
以及
C1 sin l C3 sh l 0
C1 2 sin l C3 2 sh l 0
则 以及频率方程
C3 0
sin l 0
i i , (i 1, 2 ) l
动过程中，轴线上任一点的位移u(x,t)均沿z轴方向。
弹性体的振动
取微段梁dx，截 面上的弯矩与剪力为 M 和 Q ，其正负号的 规定和材料力学一样。
则微段梁dx沿z方向的运动方程为：
2 Q u Q Q dx fdx Adx 2 x t
弹性体的振动
EI 2 2 求出后得到固有频率 i i a i , (i 1, 2 ) A
Φ( x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x 振型为
sin l sh l C sin x sh x (cos x ch x) ch l cos l
0
x 0
d 2Φ Φ(l ) 0, 2 dx
0
x l
代入特征方程的解
( x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
以及
Φ( x) C1 2 sin x C2 2 cos x C3 2 sh x C4 2 ch x
d d j EI 2 0 i dx 2 dx
l 2 2
l d i d j dx dx 0 EI 2 2 dx dx 2 2
2 i j dx jA
0
l
弹性体的振动
用j左乘上式两端，并积分
d 2 d 2 i EI dx 2 0 j dx2 dx
弹性体的振动
振动力学
------弹性体的振动
弹性体的振动
梁的横向振动
仅讨论梁在主平面内的平面弯曲振动。这种振
动只有当梁存在主平面的情形才能发生，并符合材 料力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设。
弹性体的振动
1、运动微分方程
在梁的主平面上取坐标 xoz，原点位于梁的左端截 面的形心， x轴与梁平衡时的轴线重合。假设梁在振