2008年振动力学期末考试试题

2008年振动力学期末考试试题

第一题（20分）

1、在图示振动系统中，已知：重物C 的质量m 1，匀质杆AB 的质量m 2，长为L ，匀质轮O 的质量m 3，弹簧的刚度系数k 。当AB 杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。 解：

系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C 的位移y 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 y ＝0，此时系统的势能为零。

AB 转角：L y /=ϕ 系统动能：

m 1动能：2112

1

y m T =

m 2动能：2222222

22222)3

1(21))(31(21)31(2121y m L y L m L m J T ====ϕ

ω m 3动能：2322

32333)2

1(21))(21(2121y

m R y R m J T ===ω 系统势能：

221)2

1

(21)21(y k y g m gy m V ++-=

在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有：

E y k gy m gy m y

m m m V T =++-++=

+2212321)2

1

(2121)2131(21 上式求导，得系统的微分方程为：

E y m m m k

y

'=+++)

2

1

31(4321

固有频率和周期为：

)

2

131(43210m m m k

++=

ω

2、质量为m 1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A 连在质量为m 2的物块B 上；轮心C 与刚度系数为k 的水平弹簧相连；不计滑轮A ，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。

解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B 的位移x 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 x ＝0，此时系统的势能为零。

物体B 动能：2212

1

x m T =

轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为x v c 21=，角速度为x R

21=ω，转过的角度为x R

21

=

θ。轮子动能： )83

(21)41)(21(21)41(212121212221212212x m x R

R m x

m J v m T c =+=+=ω 系统势能：

22228

)21(21)(2121x k

xR R k R k kx V c ====

θ 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有：

E x k

x

m m V T =++=

+22218

)83(21

上式求导得系统的运动微分方程：

08322

1=++x m m k

x

固有频率为：

2

10832m m k

+=

ω

第二题（20分）

1、在图示振动系统中，重物质量为m ，外壳质量为2m ，每个弹簧的刚度系数均为k 。设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响系数方法：（1）以x 1和x 2为广义坐标，建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。 解：

系统为二自由度系统。

当x1＝1，x2＝0时，有：k11＝2k ，k21＝－2k 当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝4k ，k12＝－2k 因此系统刚度矩阵为：

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡--k k k k 4222 系统质量矩阵为：

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡m m 200 系统动力学方程为：

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡0042222002121x x k k k k x

x m m

频率方程为：

024222)(Δ2

2

=----=

ω

ωωm k k

k

m k 解出系统2个固有频率：

m k )

22(21-=ω，m

k )22(2

2+=ω

2、在图示振动系统中，物体A 、B 的质量均为m ，弹簧的刚度系数均为k ，刚杆AD 的质量忽略不计，杆水平时为系统的平衡位置。采用影响系数方法，试求：（1）以x 1和x 2为广义坐标，求系统作微振动的微分方程；（2）系统的固有频率方程。 解：

系统可以简化为二自由度振动系统，以物体A 和B 在铅垂方向的位移x 1和x 2为系统的广义坐标。

当x1＝1，x2＝0时，AD 转角为L 3/1=θ，两个弹簧处的弹性力分别为L k θ和L k θ2。对D 点取

力矩平衡，有：kL k 9

14

11=；另外有kL k -=21。 同理，当x2＝1，x2＝1时，可求得：

kL k =22，kL k -=12 因此，系统刚度矩阵为：

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡--kL kL kL kL 914 系统质量矩阵为：

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡m m 00 系统动力学方程为：

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡00914002121x x kL kL kL kL x x m m

频率方程为：

09

142

2=----ω

ωm kL kL

kL m kL

即：

0523922242=+-L k kmL m ωω

第三题（20分）

在图示振动系统中，已知：物体的质量m 1、m 2及弹簧的刚度系数为k 1、k 2、k 3、k 4。（1）采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）若k 1= k 3=k 4= k 0，又k 2=2 k 0，求系统固有频率；（3）取k 0 =1，m 1=8/9，m 2 =1，系统初始位移条件为x 1(0)=9和x 2(0)=0，初始速度都为零，采用模态叠加法求系统响应。 解：

（1）系统可以简化为二自由度振动系统。 当x1＝1，x2＝0时，有：

k11＝k1+k2+k4，k21＝－k2

x x