【三维设计】高考数学一轮复习 第8节 曲线与方程我来演练

【三维设计】2013高考数学一轮复习 第8节 曲线与方程我来

演练

一、选择题

1．(2012·济南模拟)方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0的曲线是( )

A ．一条直线和一条双曲线

B ．两条双曲线

C ．两个点

D ．以上答案都不对

解析：(x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，xy －1＝0.

∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－1.

答案：C

2．(2012·杭州模拟)已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA ＝AP ，则点P 的轨迹方程为( )

A ．y ＝－2x

B ．y ＝2x

C ．y ＝2x －8

D ．y ＝2x ＋4 解析：∵RA ＝AP ，∴R ，A ，P 三点共线，且A 为RP 的中点，设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，则由RA ＝AP ，得(1－x 1，－y 1)＝(x －1，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 1＝x －1，－y 1＝y ，即x 1＝2－x ，y 1＝－y ，将其代入直线y ＝2x －4中，得y ＝2x .

答案：B

3.如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上

一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD

与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )

A ．椭圆

B ．双曲线

C ．抛物线

D ．圆

解析：由条件知|PM |＝|PF |，

∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |>|OF |

∴P 点的轨迹是以O 、F 为焦点的椭圆．

答案：A

4．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )

A ．y 2－x 248

＝1(y ≤－1) B ．y 2－x 248

＝1(y ≥1) C ．x 2－y 248

＝1(x ≤－1) D ．x 2－y 248

＝1(x ≥1) 解析：由题意知|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，又|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |，∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2，故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．又c ＝7，a ＝1，b 2＝48，∴点F 的轨迹方程为y 2－x 248

＝1(y ≤－1)． 答案：A

5．已知定点A (2,0)，它与抛物线y 2＝x 上的动点P 连线的中点M 的轨迹方程为( )

A ．y 2＝2(x －1)

B ．y 2＝4(x －1)

C ．y 2＝x －1

D ．y 2＝12

(x －1) 解析：设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋22，

y ＝y 02.

所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2x －2，y 0＝2y .，由于y 20＝x 0，所以4y 2

＝2x －2. 即y 2＝12

(x －1)． 答案：D

二、填空题

6．点P 到点(1,1)和到直线x ＋2y ＝3的距离相等，则点P 的轨迹方程为________． 解析：∵点(1,1)在直线x ＋2y ＝3上，∴点P 的轨迹是过点(1,1)且与x ＋2y ＝3垂直的直线，方程为2(x －1)－(y －1)＝0，即2x －y －1＝0.

答案：2x －y －1＝0

7．直线x a ＋y 2－a

＝1与x 、y 轴交点的中点的轨迹方程是__________． 解析：(参数法)设直线x a ＋y 2－a

＝1与x 、y 轴交点为A (a,0)、B (0,2－a )，A 、B 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a 2

，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.

答案：x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1)

三、解答题

8．已知M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN ·MP ＝6|NP |.

求动点P 的轨迹C 的方程．

解：设动点P (x ，y )，则MP ＝(x －4，y )，MN ＝(－3,0)，

PN ＝(1－x ，－y )，由已知得

－3(x －4)＝6

1－x 2＋－y 2， 化简得3x 2＋4y 2＝12，即x 24＋y 23

＝1. ∴点P 的轨迹方程是椭圆C ：x 24＋y 2

3

＝1. 9．已知点H (－3,0)，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且

满足HP ·PM ＝0，PM ＝－32

MQ . 当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C .

解：设M (x ，y )，P (0，y ′)，Q (x ′，0)(x ′>0)，

∵PM ＝－32

MQ ，HP ·PM ＝0， ∴(x ，y －y ′)＝－32

(x ′－x ，－y )且(3，y ′)·(x ，y －y ′)＝0，

∴x ′＝13x ，y ′＝－12

y,3x ＋yy ′－y ′2＝0. 消去y ′得轨迹C 的方程为y 2＝4x (x >0)．

∴动点M 的轨迹C 是以O (0,0)为顶点，以(1,0)为焦点的抛物线(除去原点)．

10．已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆的圆心为点C .

(1)求动点C 的轨迹方程；

(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP ·RQ 的最小值． 解：(1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离，

∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线，

∴动点C 的轨迹方程为x 2＝4y .

(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去y ，得x 2－4kx －4＝0.

设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ， x 1x 2＝－4.