最小二乘法多项式拟合

最小二乘法多项式拟合

对于给定的数据点N i y x i i ≤≤1),,(，可用下面的n 阶多项式进行拟合，即

为了使拟合出的近似曲线能尽量反映所给数据的变化趋势，要求在所有数据点上的残差

都较小。为达到上述目标，可以令上述偏差的平方和最小，即

称这种方法为最小二乘原则，利用这一原则确定拟合多项式)(x f 的方法即为最小二乘法多项式拟合。

确定上述多项式的过程也就是确定)(x f 中的系数n k a k ≤≤0,的过程，根据最小二乘原则，则偏差平方和应该是这些系数的函数，即

为使上式取值最小，则其关于n k a k ≤≤0,的一阶导数应该为零，即有

将上面各等式写成方程组的形式可有

写成矩阵形式有

上述方程组可以通过克莱姆法则来计算，从而解出各系数n k a k ≤≤0,得到拟合方程。 考虑到一般情况提高拟合多项式的阶数并不能提高拟合精度，所以常用的多项拟合阶数为一阶和二阶，即线性拟合和二次拟合。两者的计算公式如下：

关于线性拟合，除上面按克莱姆法则来计算外，还可以有另一思路，下面对此进行说明。由于是线性拟合，最后得到的是一条直线，因此，直线可以由斜率和截距

两个参数来确定，因此，求出这两个参数即可。首先对克莱姆法的求解结果进行展开可以得到

下面考虑先计算斜率再计算截距的方法，从下图可见，斜率计算与坐标系的位置

无关，所以可以将坐标原点平移到样本的i x 和i y 坐标的均值所在点上

图中

则在新的坐标系),(y x ''下斜率的计算公式与前面1a 的计算公式相同，将其中的坐标

),(y x 换成),(y x ''即可得到下面的计算公式

由样本在新坐标系下的坐标i x '和i y '的均值为零，或者由下面推导可知

则斜率的计算公式可以简化为

还原为原坐标有

下面推导截距的计算公式

这样可以得到两组计算公式，分别如下

x

'

或