3.二维形式的柯西不等式-教学设计公开课

3.1二维形式的柯西不等式

一、教学目标

1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．

二、课时安排

1课时

三、教学重点

认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．四、教学难点

通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．

五、教学过程

（一）导入新课

复习基本不等式。

（二）讲授新课

教材整理二维形式的柯西不等式

（三）重难点精讲

题型一、二维柯西不等式的向量形式及应

例1已知p，q均为正数，且p3＋q3＝2.求证：p＋q≤2.

【精彩点拨】为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量．

【自主解答】设m＝p，q，n＝(p，q)，则

p2＋q2＝pp＋qq＝|m·n|≤|m||n|

＝·＝.

又∵(p＋q)2≤2(p2＋q2)，

∴

2()2p q +≤p 2＋q 2

≤，

∴

2()2

p q +≤·，则(p ＋q )4

≤8(p ＋q )．

又p ＋q >0，

∴(p ＋q )3

≤8，故p ＋q ≤2. 规律总结：

使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量．同时，要注意向量模的计算公式|a |＝对数学式子变形的影响．

[再练一题]

1．若本例的条件中，把“p 3

＋q 3

＝2”改为“p 2

＋q 2

＝2”，试判断结论是否仍然成立？

【解】 设m ＝(p ，q )，n ＝(1,1)，

则p ＋q ＝p ·1＋q ·1＝|m ·n |≤|m |·|n |＝·. 又p 2

＋q 2

＝2. ∴p ＋q ≤·＝2.

故仍有结论p ＋q ≤2成立.

题型二、运用柯西不等式求最值

例2 若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值．

【精彩点拨】由2x＋3y＝1以及4x2＋9y2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(12＋12)作为一个因式而解决问题．【自主解答】由柯西不等式得(4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1.

∴4x2＋9y2≥，

当且仅当2x×1＝3y×1，

即x＝，y＝时取等号．

∴4x2＋9y2的最小值为.

规律总结：

1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配凑，保证出现常数结果．

2．常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③适当添项；④适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的．

[再练一题]

2．若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点.

【解】由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得25(x2＋y2)≥4.

所以x2＋y2≥，

当且仅当＝时，“＝”成立．为求最小值点，需解方程组∴因此，当x＝，y＝时，x2＋y2取得最小值，最小值为，最小值点为.

题型三、二维柯西不等式代数形式的应用

例3已知|3x＋4y|＝5，求证：x2＋y2≥1.

【精彩点拨】探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明．

【自主解答】由柯西不等式可知(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，所以(x2＋y2)≥.

又因为|3x＋4y|＝5，

所以＝1，

即x2＋y2≥1.

规律总结：

1．利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形．2．变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．[再练一题]

3．设a，b∈R＋且a＋b＝2.求证：＋≥2.

【证明】根据柯西不等式，有

[(2－a)＋(2－b)]＝[()2＋()2]＋

≥＝(a＋b)2＝4.

∴＋≥＝2，

当且仅当·＝·，

即a＝b＝1时等号成立．

∴＋≥2.

（四）归纳小结

二维柯西不等式—

（五）随堂检测

1．设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为( )

A.B．169C．13D.0

【解析】(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，

∴x2＋y2≥13.

【答案】C

2．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则(＋)2的最大值是( ) A．2B.C．6D.12

【解析】(＋)2

＝(1×＋1×)2

≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2]

＝2×(4×1＋2)＝12，

当且仅当＝，

即a＝b＝时等号成立．故选D.

【答案】D

3．平面向量a，b中，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b ＝5，则向量b＝________.

【解析】|a|5，且|b|＝1，

∴a·b＝|a|·|b|，

因此，b与a共线，且方向相同，

∴b＝.

【答案】

六、板书设计

七、作业布置

同步练习：3.1二维形式的柯西不等式八、教学反思