(完整版)齿轮的齿廓曲线

k K
Fn rk
NB rb k k KA0
力方向与速度方向所夹锐角
O
为渐开线上该点之压力角
αk(pressure angle)。
基圆
rb＝rk cosαk
离中心越远，渐开线上的压力角
越大。基圆上的压力角为0。
(4)渐开线形状取决于基圆 基圆越大，渐开线越平直，
当rb→∞，变成直线。
Σ3 Σ1
Σ2
互相啮合的一对齿轮在任一位置时的传动比，
都与连心线O1O2被其啮合齿廓的在接触处的公法线 所分成的两段成反比。
如果要求传动比为常数，则应使O2P/O1P为常数。
由于O2 、O1为定点，故P必为一个定点，称为节点
(the pitch point) 。
o1
节圆(the pitch circle)：
r’1
发生线
K
当直线沿一圆周作相切纯滚 动时，直线上任一点的轨迹 AK，称为该圆的渐开线。
B
rb
定直线
基圆
A
k
O
二、渐开线的性质
发生线
(1)BK = A B
(2) BK为渐开线在K点的法 线，又因发生线恒切于基 圆，故知渐开线上任意点 的法线切于基圆。
(3)渐开线上点Ｋ的压力角 定义：啮合时K点正压
Vk
(5)基圆内无渐开线。
B2
B1
rb1
思考：10-20
K
KO2
o2 KO1 o1
三、渐开线方程式及渐开线函数
αk
k
rk是渐开线在任意点K的向径。当渐开线与 vk
r r cos 其共轭齿廓在K点啮合时，在三角形BOK
中
A
θk
b
K
K
rk
αk B rb
O
)
tan K
BK rb
AB rb
rb ( K K )
(1) 无侧隙啮合和标准中心距
O1
处于实际啮合线段范围内的轮齿的 两侧同时处于啮合状态
ra1
r1
ω1 rb1 N1
当节圆与分度圆重合时能满足无侧 隙传动
N2
P
s1
e1
s2
e2
m
2
标准中心距：无侧隙安装时的中心距
rb2
r2
ω2
a
r1
r2
m(z1 2
z2 )
O2
2) 标准顶隙（也称径向间隙）
顶隙 —— 一对相互啮合的齿 轮中，一个齿轮的齿根圆与另一 个齿轮的齿顶圆之间在连心线上 度量的距离，用C 表示。
Modules of the first series are preferable.
③分度圆压力角(pressure angle)
同一渐开线齿廓上各点的压力角不同，α随 rk 增大而增大 通常所说的齿轮压力角是指在其分度圆上的压力角。
由 rb＝ri cosαi 得:αi＝arccos(rb/ri)
rb
K
K
可得渐开线的极坐标方程式：
rK rb / cos K K invK tgK K
例10-21
例10-21
四 、 渐开线齿廓的啮合特性
O1
ω1
1.渐开线齿廓满足定传动比要求(the
N1
transmission ratio is constant)
K
两齿廓在任意点K啮合时，过 K点处两齿廓的公法线必然同时与
一、外齿轮(external gear)
1.名称与符号
分度圆（d 和 r）
齿距pk 齿厚sk 齿槽宽ek 分度圆 齿顶圆
齿顶圆（da 和 ra）
齿根圆（df 和 rf） 齿顶高ha
基圆 齿根圆
基圆（db 和 rb）
齿数 厚sk
z齿齿距槽pk宽ek齿
齿根高hf
rf rb
ra rk
o
pk sk ek
传动比： i12 = --ωω12 = -dd- ’’21 = --ddbb21= -dd- 2 = --ZZ21
ω2
啮合O过2 程
2.中心距(centre distance) a及啮合角(working pressure angle)
α’
为了便于润滑、制造和装配误差，以及受力受热变形膨 胀所引起的挤压现象，实际上侧隙不为零，由公差保证。
O
思考题
10-26
10-27 试比较正常齿制渐开线标准直齿圆柱齿 轮的基圆和齿根圆，在什么条件下基圆大于齿 根圆？
10-26、
5
50
90
2650 260 260
450 460 260
235
423
260
5
15.7
7.85 7.85
§10－5 渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动
0、一对渐开线轮齿的啮合过程
2、中心距的可分离性
•渐开线齿廓啮合的中心距可 变性——— 当两齿轮制成后， 基圆半径便已确定，以不同的 中心距(a或a')安装这对齿轮， 其传动比不会改变。对加工和 装配很有利。
i12
1 2
o2c o1c
rb 2 rb1
i1' 2
1 2'
o2' c ' o1c '
rb 2 rb1
N2
N2'
1
o1
基节pb=法节pn
为了便于计算齿轮各部分尺寸，在齿 轮上选择一个圆作为尺寸计算基准，
称该圆为齿轮的分度圆。
p
同一圆上
se ha h hf
齿距 (周节)—— pk= sk +ek 同侧齿廓弧长
B pk
sk
ek
pn
pb
rb
rf r ra
法向齿距(法节) —— pn = pb(基节)
齿宽(face-width)—— B
ω1
设想在P点放一只笔，则笔尖 节圆 在两个齿轮运动平面内所留轨迹。 a
n k
两节圆相切于P点，且两轮节 点处速度相同，故两节圆作纯滚 动(rolling without slipping)。
中心距： a=r’1+r’2
P n
ω2 r’2
o2
凡能按给定传动比规律相互啮合传动的一对齿廓称为 共轭齿廓
2.齿廓曲线的选择 凹凸圆弧齿轮啮合
O
轮齿介于分度圆与齿顶圆之间的部分 称为齿顶，其径向高度称为齿顶高，
2.基本参数
①齿数(teeth)——z 齿轮在整个圆周上轮齿的总数
②模数(module)——m，
设一齿轮的齿数为 z，分度圆的直径为d ，齿距为p，
则
分度圆周长：πd=zp,
d=zp/π
• 模数—— 人为地把 p / 规定为一些简单的有理
pn=pcosα
pn
α
α
α
p
B
三、内齿轮(internal gears)
结构特点：轮齿分布在空心圆柱体内表面上。
不同点：
1)轮齿与齿槽正好与外齿轮相反。
2) df>d>da，da＝d－2ha，df＝d＋2hf
3) 为保证齿廓全部为渐开线，
要求da>db。
se p
B
hhfha
N
pn
rb
ra r
α
rf
N2
K’
P C2 C1
两齿廓基圆相切，又因基圆为定圆， rb2
其为定直线。
ω2
两轮中心连线也为定直线，故
O2
交点P必为定点。
i12=ω1/ω2=O2P/O1P=rb2/rb1 =const
工程意义：i12为常数可减少因速度变化所产生的附 加动载荷、振动和噪音，延长齿轮的使
用寿命，提高机器的工作精度。
正压力总是沿法线方向，故其传
力方向不变。这对于传动的平稳 rb2
性是有利的。
ω2
啮合线与节圆公切线之间的夹角α’ ， O2
称为啮合角(working pressure angle)
实际上α’ 就是节圆上的压力角
注意！！啮合线、啮合点的公法线和基圆的内公切 线三线合一
§10－4 渐开线齿轮基本参数和几何尺寸
§10－2 齿轮的齿廓曲线
o1
传动比：i主从=ω主/ω从
ω1
1.齿廓啮合基本定律
n
根据三心定律可知：P点为相对瞬心。 v12
k
由： v12 ＝O1P ω1 ＝O2P ω2 得： i12 ＝本定律(fundamental law
o2
of gearing):
Involutes(渐开线) gears
凡能按预定传动比规律相互啮合传动的一对齿廓称为共轭齿廓。一
2.齿廓曲线的选择 般说来，对于预定的传动比，只要给出一轮的齿廓曲线，就可根据 齿廓啮合基本定律求出与其啮合传动的另一轮上的共轭齿廓曲线。 渐开线(involutes) ——应用最广
摆线 圆弧 抛物线
First series
0.12, 0.15, 0.2, 0.25, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.8, 1, 1.25, 1.5, 2, 2.5, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 25
Second series
0.35, 0.7, 0.9, 1.75, 2.25, 2.75, (3.25), 3.5, (3.75), 4.5, 5.5, (6.5), 7, 9, (11), 14, 18, 22, 28, (30)
c cm
c
'
o1 rr1'1'
r2' o2
齿数，模数，压力角，齿顶高系数、顶隙 系数是决定渐开线形状的五个基本参数。
齿轮各部分尺寸的计算公式：见教材P180表10－2 标准齿轮(standard gears)：
m、α、ha* 、c* 取标准值，且e=s的齿轮。 一个标准齿轮的基本参数值确定之后，其主要尺寸和 齿廓形状就完全确定了。
数，该比值称为模数 m=p/π
于是有： d=mz， r = mz/2
模数的单位：mm，它是决定齿轮尺寸的一个基本参 数。齿数相同的齿轮，模数大，尺寸也大。
Z=18 不同模数的齿轮
为了便于制造、检验和互换使用，国标GB1357 －87规定了标准模数系列。
Tab 10-1 modules of Involute Cylindrical Gears
由前述可知，一对渐开线齿廓
1.正确啮合条件(proper meshing conditions)
能保证定传动比传动，但这不 等于说任意两个渐开线齿轮都
两对齿分别在K,K’点啮合，根据啮合基本
能搭配起来正确传动，比如说 一个齿轮的齿距很小，另一个
定律，K在N1N2上，K’在N1N2上，KK’ 两齿同侧齿廓间的法向齿距
N1 N1' c
c'
o2
2
o'2
'
由于上述特性，工程上广泛采用渐开线齿廓曲线。
3.齿廓间正压力方向不变
N1N2是啮合点的轨迹，称为 啮合线(the trajectory of contact) 由渐开线的性质可知：
啮 合 线 又 是 接 触 点 的 法 线 ，N2
O1 ω1
N1 α’ K K’ P C2 C1
理论上，满足齿廓啮合定律的曲线有无穷多，但考虑到便于制造
和检测等因素，工程上只有极少数几种曲线可作为齿廓曲线，如渐 开线、其中应用最广的是渐开线，其次是摆线(仅用于钟表)和变态 摆线。(摆线针轮减速器)，近年来提出了圆弧和抛物线。
渐开线齿廓的提出已有近两百多年的历史，目前还没有其它曲线可以替代。
渐开线具有很好的传动性能，而且便于制造、安
B1B2——实际啮合线
由于基圆内无渐开线，故B1、B2两点不能超出N1、N2 两点，因此N1、N2两点称为啮合极限点。
N1N2： 理论上可能的最长啮合线段——理论啮合线段
一般情况下，实际啮合线段长度小于理论啮合线段长 度。
一对轮齿啮合传动的区间是有限的。要使齿轮 能连续转动，则在前一对轮齿脱离啮合之前，后 一对轮齿必须及时地进入啮合。
ha ha* m
ha (hf * c*) m
、齿顶高系数和顶隙系数
齿顶高系数:ha* 正常齿： ha*＝1
ha hf
顶隙系数: c*
正常齿： c*＝0.25
r
齿顶圆直径 da d 2m
齿根圆直径 d f d 2.5m
顶隙（也称径向间隙）
顶隙 —— 一对相互啮合的 齿轮中，一个齿轮的齿根圆 与另一个齿轮的齿顶圆之间 在连心线上度量的距离，用 C 表示。
国家标准（GB/T1356-1988)：α＝20° 在一些特殊场合，也允许采用其它的值
Ki αi
α是决定渐开线齿廓形状的一 个重要参数。
Bi
B1 αi
ri K1 A
α1
ω
r1
O rb
齿顶高用ha 表示，齿根高用hf 表示，齿全高用
h 表示： h ha h f
齿顶圆直径 da d 2ha
齿根圆直径 d f d 2hf
装(manufactured and assembled easily)、测量和互换使用等 优点。因此它的应用最为广泛，故本章着重介绍渐开 线齿轮(involutes gears)。
§10－3 渐开线齿廓及其啮合特性
一、 渐开线的形成(Generation of Involutes)和特性
(1)渐开线的形成
在齿轮1上： kk’=pb1
为相
邻
齿轮的齿距很大，显然两个齿
轮是无法搭配传动的。
pb1
O1
rb1
ω1
在齿轮2上： kk’= pb2
r1
∴ pb1= pb2
N1
K’
将pb=πmcosα代入得： m1cosα1=m2cosα2
KP
N2
因m和α都取标准值，使上式成立
r2 rb2
的条件为： m1=m2，α1=α2
d、db 、pb 、da、df
二、齿条(the rack) z→∞的特例。齿廓曲线（渐开线）→直线
特点：
1)齿条相当于齿数无穷多的齿轮，故齿轮中的圆在齿条 中都变成了直线，即齿顶线，齿根线，分度线，等等
2)齿廓是直线，各点法线和速度方向线分别平行，压 力角处处相等，且等于齿形角，
α为常数。 3)齿距处处相等: p=πm