在解析几何中求参数范围的9种方法
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QF2 | PF |
2 3 ，求直线 PF2 的
y0 y0 2 1 x 0 y2 0 m x0 c x0 c
将①与 由此得
①
2 x0 m 1 2 1 2 2 y0 1 联立，解得 x 0 , y0 m 1 m m
m2 1 0 m 1 m 1 0 1 m m 0
0 | PF1 | 2 | PF2 | 2 | F1 F2 | 2 ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 4c 2 x 2 y 2 b2 2 a2 b2 2 a2 2 2 2 2 2 2 c x 2 (a x ) c x c b x 2 (c b 2 ) 2 c a a
( 1) y 2 ( x 1), 或( 1) y 2 ( x 1)
当 [ 4, 9] 时，方程 l 在 y 轴上的截距 m
2 2 或m 。 1 1
由
2 2( 1) 2 1 ( 1)( 1)
k 2 1 1 1 2 。 |k| k
∵ | k | [
3 , 3] 3
∴
2 3 2 3 2 3 | m 1 | 2 1 m 3或 1 m 1 3 3 3 2 3 2 3 ] [1 , 3] 3 3
2
故 m [ 1, 1
2
(2)答案是 x ( 2 2 1) y 1 （解答略） 例 8： （2004 年全国高考卷Ⅱ理科 21 题）给定抛物线 C : y 4 x ，F 是 C 的焦点，过点
2
y2 1 ，得 2
( 2 k 2 ) x 2 ( 2 k 2 2 k ) x k 2 2 k 3 0 。 x1 x 2 2k 2 2k 设 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), 则 1, 即 2 2 k 2, 此时 2 k 2 (2k 2 2k ) 2 4(2 k 2 )( k 2 2k 3) 0, 不满足 2 k 2 0且 0 。
设双曲线方程为
c ，h)，E(x0，y0), 其 2
c x2 y2 － =1，则离心率 e = 。 2 2 a a b c 代入双曲线方程得 a
由点 C、E 在双曲线上，将点 C、E 的坐标和 e =
e2 h2 1 4 b2 e2 2 2 2 h2 ( ) ( ) 1 4 1 1 b2
故满足已知条件的直线 l 不存在。 例 6： （2004 年湖北省高考题理科 20 题 文科 20 题）直线 l : y kx 1 与双曲线
C : 2 x 2 y 2 1 的右支交于不同的两点 A、B。
(1)求实数 k 的取值范围； (2)是否存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过曲线 C 的右焦点 F？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由。 解：(1)将直线 y kx 1 代入双曲线方程，并整理得 ( k 2) x 2kx 2 0 依题意，直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点，故
故 m [1 , + )
m 1
-3-
(2)答案为 y = ( 3 2 ) (x- 2 ) 背景之三：二次方程有解的条件
( 解答略)
直线和圆锥曲线的关系，是解析几何中最常见的关系，它们联立消元后所得的判别式非 负是直线和圆锥曲线有公共点的充要条件；若有限制条件，则还应考虑根的分布情况等，这 是确定参数取值范围的一个常见背景。
从高考解几题谈求参数取值范围的九个背景
解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出 现此类问题。由于不少考生在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或 不等关系从何而来，本文通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，期望对 考生的备考有所帮助。 背景之一：题目所给的条件 利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不 等式或不等式组求解。这是求范围问题最显然的一个背景。 例 1：椭圆
的取值范围是__________。 （答案为 x (
3 5 3 5 )） ， 5 5
例 2： （2000 年全国高考题理科第 22 题）如图，已知梯形 ABCD 中， AB =2 CD ，点 E 分有向线段 AC 所成的比为 ，双曲线过点 C、D、E 三点，且以 A、B 为焦点。当 时，求双曲线离心率 e 的取值范围。
x2 y2 圆、椭圆、双曲线及抛物线都有自身的范围，如椭圆 2 2 1( a >b>0) a b
中，x [ a, a ], y [ b, b], 0 e 1, ，利用这些范围是确定参数范围的途径之一。 例 3： （2002 年全国高考题）设点 P 到点 M(－1，0)、N(1，0)距离之差为 2m，到 x 轴、y 轴距离之比为 2，求 m 的取值范围。 解：设点 P 的坐标为(x，y)，由题设得
3 , 3 ] ，求实数 m 的取值范围； 3
2 1 时， APQ 的内心恰好是点 M，求此双曲线的方程
解：(1)由条件知直线 AP 的方程为 y k ( x 1), 即kx y k 0 ，因为点 M 到直线 AP 的距离为 1，所以
| mk k | k 2 1
1 | m 1 |
| y| 2 ，即 y = 2 x, x 0 ① |x|
由于 x 0 ，所以点 P(x，y)、M(－1，0)、N(1，0)三点不共线，得
0 | PM | | PN | 2 | m || MN | 2 0 | m | 1
-2-
因此，点 P 在以 M、N 为焦点，实轴长为 2 m 的双曲线上，故
2
1
2 ，可知在 [ 4, 9] 上是递减的。 1
∵ [ 4, 9] ∴
3 4 4 3 m 或 m 。 4 3 3 4
故直线 l 在 y 轴上截距 m 的变化范围是 [
4 3 3 4 , ] [ , ]。 3 4 4 3
说明：例 7 和例 8 都是已知一个变量的范围求另一变量的范围，可先利用题设条件建立 变量的关系式，将所求变量和另一已知变量分离，得到函数关系，再由已知变量的范围求出 函数的值域，即为所求变量的范围。这类背景也可归结为背景一。 2、双参数中的范围均未知 例 9： （2004 年全国卷Ⅰ文 2 理 21） 设双曲线 C :
x2 y2 1的 m 1
两个焦点是 F1(－c, 0)与 F2(c, 0) (c > 0)，且椭圆上存在一点 P，使得直线 PF1 与 PF2 垂直。 (1)求实数 m 的取值范围； (2)设 l 相应于焦点 F2 的准线，直线 PF2 与 l 相交于 Q，若 方程。 解：(1)依题设有 m＋1>1,即 m > 0，c = m ,设点 P 的坐标为(x0, y0)，由 PF 1 ⊥PF2 ，得
2 3 3 4
-1-
解：如图，以线段 AB 的垂直平分线为 y 轴。因为双曲线经过点 C、D ，且与 A、B 为焦 点，由双曲线的对称性知 C、D 关 y 轴对称，依题意，记 A ( c, 0) ，C( 中c=
1 AB 为双曲线的半焦距，h 是梯形的高。 2 c c 2 ( 2) c h 由定比分点坐标公式得：x0= ，y0= 。 = 1 1 2( 1)
2 2
-4-
k 2 2 0 2 2 (2k ) 8(k 2) 0 2 k 2 22k 0 k 2 2 0 2 k 2
(2)答案是存在 k
6 6 满足题设。 5
说明：问题(1)涉及到直线与双曲线右支相交的问题，转化为方程有不等 的两正根，由方程根的分布的充要条件建立不等式组即可。 背景之四：已知变量的范围 利用题中给出的某个已知变量的范围，或由已知条件求出某个变量的范围，然后找出这 个变量与欲求的参变量之间的关系，进而求解。 1、双参数中知道其中一个参数的范围； 例 7： （2004 年浙江省高考题理科 21 题 文科 22 题）已知双曲线的中心在原点，右顶点 为 A(1, 0)，点 P、Q 在双曲线的右支上，点 M(m, 0)到直线 AP 的距离为 1。 (1)若直线 AP 的斜率为 k，且 | k | [ (2)当 m
2 2
a 2 a 2 c b2 x c b2 。 c c
说明： 利用∠F1PF2 为钝角， 得到一个不等式是解题的关键。 把本题特殊化就可以得到 2000 年全国高考题理科第 14 题： 椭圆
x2 y2 1 的焦点为 F1、F2，点 P 为其上的动点，当∠F1PF2 为钝角时，点 P 横坐标 9 4
x2 y2 =1 m2 1 m2
②
将①式代入②，解得 x
2
m 2 (1 m 2 ) 1 5m 2
2
由 x m 且 1 m 0 ，得 1 5m 0
2
2
2
5 5 ，又 m 0 m 5 5
∴ m (
5 , 0) (0, 5
5 ) 5
说明：P 到 x 轴、y 轴距离之比为 2，所以 P 不能在 x 轴上，由此得到 m 0 ，这一隐含条 件容易忽视。 例 4： （2004 年全国卷Ⅲ理科 21 题 文科 22 题）设椭圆
y2 例 5： （全国高考题）给定双曲线 x － = 1，过点 B(1，1)能否作直线 2
２
l，使 l 与所给双曲线交于 P1 及 P2，且点 B 是线段 P1P2 的中点？这样的直线 l 如果存在，求出 它的方程；如果不存在，说明理由。 解：画出图像知，当直线斜率不存在时，满足题设条件的 l 不存在。 当直线 l 斜率存在时，设为 k，则 l 方程为 y = k(x－1)＋1，联立 x
-52
F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点。 (1)设 l 的斜率为 1，求 OA与OB 的夹角的大小； (2)设 FB AF , 若 [ 4, 9] ，求 l 在 y 轴上截距 m 的变化范围。 解：(1)答案为 arccos
3 14 （解答略） 。 41
(2)F(1, 0), 设 A(x1, y1), B(x2, y2), 由题设 FB AF , 得
( x 2 1, y 2 ) (1 x1 , y1 ) ，
即
x 2 1 (1 x1 ) y 2 y1
2 2 2
1 2
由得②得 y 2 y1
2 2
∵ y1 4 x1 , y 2 4 x 2 ∴ x 2 x1
2
③
联立①、③解得 x 2 ，依题意有 0 ∴ B ( , 2 ), 或B ( , 2 ), 又F (1, 0) 得直线 l 方程为：
x2 y2 1 a2 b2
(a c b 0, c为半焦距) 的焦点为 F1、F2，点 P(x, y)为其上
的动点，当∠F1PF2 为钝角时，点 P 的横坐标的取值范围是___。 解：设 P(x1, y)，∠F1PF2 是钝角 cos∠F1PF2 =
| PF1 |2 | PF2 |2 | F1 F2 |2 2 | PF1 | | PF2 |
由①式得
①
②
h2 e2 1 4 b2
③
e2 1 3 将③式代入②式，整理得： 1 2 2 2e e 2
∴
2 3 3 1 2 7 e 10 3 e 2 4
说明：建立 与 e 的函数关系式，再利用已知 的范围，即可求得 e 的范围。 背景之二：曲线自身的范围
QF2 | PF |
2 3 ，求直线 PF2 的
y0 y0 2 1 x 0 y2 0 m x0 c x0 c
将①与 由此得
①
2 x0 m 1 2 1 2 2 y0 1 联立，解得 x 0 , y0 m 1 m m
m2 1 0 m 1 m 1 0 1 m m 0
0 | PF1 | 2 | PF2 | 2 | F1 F2 | 2 ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 4c 2 x 2 y 2 b2 2 a2 b2 2 a2 2 2 2 2 2 2 c x 2 (a x ) c x c b x 2 (c b 2 ) 2 c a a
( 1) y 2 ( x 1), 或( 1) y 2 ( x 1)
当 [ 4, 9] 时，方程 l 在 y 轴上的截距 m
2 2 或m 。 1 1
由
2 2( 1) 2 1 ( 1)( 1)
k 2 1 1 1 2 。 |k| k
∵ | k | [
3 , 3] 3
∴
2 3 2 3 2 3 | m 1 | 2 1 m 3或 1 m 1 3 3 3 2 3 2 3 ] [1 , 3] 3 3
2
故 m [ 1, 1
2
(2)答案是 x ( 2 2 1) y 1 （解答略） 例 8： （2004 年全国高考卷Ⅱ理科 21 题）给定抛物线 C : y 4 x ，F 是 C 的焦点，过点
2
y2 1 ，得 2
( 2 k 2 ) x 2 ( 2 k 2 2 k ) x k 2 2 k 3 0 。 x1 x 2 2k 2 2k 设 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), 则 1, 即 2 2 k 2, 此时 2 k 2 (2k 2 2k ) 2 4(2 k 2 )( k 2 2k 3) 0, 不满足 2 k 2 0且 0 。
设双曲线方程为
c ，h)，E(x0，y0), 其 2
c x2 y2 － =1，则离心率 e = 。 2 2 a a b c 代入双曲线方程得 a
由点 C、E 在双曲线上，将点 C、E 的坐标和 e =
e2 h2 1 4 b2 e2 2 2 2 h2 ( ) ( ) 1 4 1 1 b2
故满足已知条件的直线 l 不存在。 例 6： （2004 年湖北省高考题理科 20 题 文科 20 题）直线 l : y kx 1 与双曲线
C : 2 x 2 y 2 1 的右支交于不同的两点 A、B。
(1)求实数 k 的取值范围； (2)是否存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过曲线 C 的右焦点 F？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由。 解：(1)将直线 y kx 1 代入双曲线方程，并整理得 ( k 2) x 2kx 2 0 依题意，直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点，故
故 m [1 , + )
m 1
-3-
(2)答案为 y = ( 3 2 ) (x- 2 ) 背景之三：二次方程有解的条件
( 解答略)
直线和圆锥曲线的关系，是解析几何中最常见的关系，它们联立消元后所得的判别式非 负是直线和圆锥曲线有公共点的充要条件；若有限制条件，则还应考虑根的分布情况等，这 是确定参数取值范围的一个常见背景。
从高考解几题谈求参数取值范围的九个背景
解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出 现此类问题。由于不少考生在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或 不等关系从何而来，本文通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，期望对 考生的备考有所帮助。 背景之一：题目所给的条件 利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不 等式或不等式组求解。这是求范围问题最显然的一个背景。 例 1：椭圆
的取值范围是__________。 （答案为 x (
3 5 3 5 )） ， 5 5
例 2： （2000 年全国高考题理科第 22 题）如图，已知梯形 ABCD 中， AB =2 CD ，点 E 分有向线段 AC 所成的比为 ，双曲线过点 C、D、E 三点，且以 A、B 为焦点。当 时，求双曲线离心率 e 的取值范围。
x2 y2 圆、椭圆、双曲线及抛物线都有自身的范围，如椭圆 2 2 1( a >b>0) a b
中，x [ a, a ], y [ b, b], 0 e 1, ，利用这些范围是确定参数范围的途径之一。 例 3： （2002 年全国高考题）设点 P 到点 M(－1，0)、N(1，0)距离之差为 2m，到 x 轴、y 轴距离之比为 2，求 m 的取值范围。 解：设点 P 的坐标为(x，y)，由题设得
3 , 3 ] ，求实数 m 的取值范围； 3
2 1 时， APQ 的内心恰好是点 M，求此双曲线的方程
解：(1)由条件知直线 AP 的方程为 y k ( x 1), 即kx y k 0 ，因为点 M 到直线 AP 的距离为 1，所以
| mk k | k 2 1
1 | m 1 |
| y| 2 ，即 y = 2 x, x 0 ① |x|
由于 x 0 ，所以点 P(x，y)、M(－1，0)、N(1，0)三点不共线，得
0 | PM | | PN | 2 | m || MN | 2 0 | m | 1
-2-
因此，点 P 在以 M、N 为焦点，实轴长为 2 m 的双曲线上，故
2
1
2 ，可知在 [ 4, 9] 上是递减的。 1
∵ [ 4, 9] ∴
3 4 4 3 m 或 m 。 4 3 3 4
故直线 l 在 y 轴上截距 m 的变化范围是 [
4 3 3 4 , ] [ , ]。 3 4 4 3
说明：例 7 和例 8 都是已知一个变量的范围求另一变量的范围，可先利用题设条件建立 变量的关系式，将所求变量和另一已知变量分离，得到函数关系，再由已知变量的范围求出 函数的值域，即为所求变量的范围。这类背景也可归结为背景一。 2、双参数中的范围均未知 例 9： （2004 年全国卷Ⅰ文 2 理 21） 设双曲线 C :
x2 y2 1的 m 1
两个焦点是 F1(－c, 0)与 F2(c, 0) (c > 0)，且椭圆上存在一点 P，使得直线 PF1 与 PF2 垂直。 (1)求实数 m 的取值范围； (2)设 l 相应于焦点 F2 的准线，直线 PF2 与 l 相交于 Q，若 方程。 解：(1)依题设有 m＋1>1,即 m > 0，c = m ,设点 P 的坐标为(x0, y0)，由 PF 1 ⊥PF2 ，得
2 3 3 4
-1-
解：如图，以线段 AB 的垂直平分线为 y 轴。因为双曲线经过点 C、D ，且与 A、B 为焦 点，由双曲线的对称性知 C、D 关 y 轴对称，依题意，记 A ( c, 0) ，C( 中c=
1 AB 为双曲线的半焦距，h 是梯形的高。 2 c c 2 ( 2) c h 由定比分点坐标公式得：x0= ，y0= 。 = 1 1 2( 1)
2 2
-4-
k 2 2 0 2 2 (2k ) 8(k 2) 0 2 k 2 22k 0 k 2 2 0 2 k 2
(2)答案是存在 k
6 6 满足题设。 5
说明：问题(1)涉及到直线与双曲线右支相交的问题，转化为方程有不等 的两正根，由方程根的分布的充要条件建立不等式组即可。 背景之四：已知变量的范围 利用题中给出的某个已知变量的范围，或由已知条件求出某个变量的范围，然后找出这 个变量与欲求的参变量之间的关系，进而求解。 1、双参数中知道其中一个参数的范围； 例 7： （2004 年浙江省高考题理科 21 题 文科 22 题）已知双曲线的中心在原点，右顶点 为 A(1, 0)，点 P、Q 在双曲线的右支上，点 M(m, 0)到直线 AP 的距离为 1。 (1)若直线 AP 的斜率为 k，且 | k | [ (2)当 m
2 2
a 2 a 2 c b2 x c b2 。 c c
说明： 利用∠F1PF2 为钝角， 得到一个不等式是解题的关键。 把本题特殊化就可以得到 2000 年全国高考题理科第 14 题： 椭圆
x2 y2 1 的焦点为 F1、F2，点 P 为其上的动点，当∠F1PF2 为钝角时，点 P 横坐标 9 4
x2 y2 =1 m2 1 m2
②
将①式代入②，解得 x
2
m 2 (1 m 2 ) 1 5m 2
2
由 x m 且 1 m 0 ，得 1 5m 0
2
2
2
5 5 ，又 m 0 m 5 5
∴ m (
5 , 0) (0, 5
5 ) 5
说明：P 到 x 轴、y 轴距离之比为 2，所以 P 不能在 x 轴上，由此得到 m 0 ，这一隐含条 件容易忽视。 例 4： （2004 年全国卷Ⅲ理科 21 题 文科 22 题）设椭圆
y2 例 5： （全国高考题）给定双曲线 x － = 1，过点 B(1，1)能否作直线 2
２
l，使 l 与所给双曲线交于 P1 及 P2，且点 B 是线段 P1P2 的中点？这样的直线 l 如果存在，求出 它的方程；如果不存在，说明理由。 解：画出图像知，当直线斜率不存在时，满足题设条件的 l 不存在。 当直线 l 斜率存在时，设为 k，则 l 方程为 y = k(x－1)＋1，联立 x
-52
F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点。 (1)设 l 的斜率为 1，求 OA与OB 的夹角的大小； (2)设 FB AF , 若 [ 4, 9] ，求 l 在 y 轴上截距 m 的变化范围。 解：(1)答案为 arccos
3 14 （解答略） 。 41
(2)F(1, 0), 设 A(x1, y1), B(x2, y2), 由题设 FB AF , 得
( x 2 1, y 2 ) (1 x1 , y1 ) ，
即
x 2 1 (1 x1 ) y 2 y1
2 2 2
1 2
由得②得 y 2 y1
2 2
∵ y1 4 x1 , y 2 4 x 2 ∴ x 2 x1
2
③
联立①、③解得 x 2 ，依题意有 0 ∴ B ( , 2 ), 或B ( , 2 ), 又F (1, 0) 得直线 l 方程为：
x2 y2 1 a2 b2
(a c b 0, c为半焦距) 的焦点为 F1、F2，点 P(x, y)为其上
的动点，当∠F1PF2 为钝角时，点 P 的横坐标的取值范围是___。 解：设 P(x1, y)，∠F1PF2 是钝角 cos∠F1PF2 =
| PF1 |2 | PF2 |2 | F1 F2 |2 2 | PF1 | | PF2 |
由①式得
①
②
h2 e2 1 4 b2
③
e2 1 3 将③式代入②式，整理得： 1 2 2 2e e 2
∴
2 3 3 1 2 7 e 10 3 e 2 4
说明：建立 与 e 的函数关系式，再利用已知 的范围，即可求得 e 的范围。 背景之二：曲线自身的范围