1.6向量在轴上的射影

A
C
a1
B
a2
C
A
u
B
Pr j ( a a a ) Pr j a Pr j a Pr j a 推论: u 1 2 n u 1 u 2 u n 性质3: 设为某一实数. 则 Pr ju (a ) Pr ju a
A
A

B
B
Pr ju AB Pr ju AB
B
u u
| AB | cos
定理1的说明：
(1) 0 , 射影为正； 2
( 2) , 射影为负； 2 ( 3) , 射影为零； 2
c
b

a
u
推论： 相等向量在同一轴上射影相等；
性质2. 两个向量的和在轴上的射影等于两个向量 在该轴上的射影之和. Pr ju (a1 a2 ) Pr ju a1 Pr ju a2
(0Fra Baidu bibliotek )
b
(a , b )
a
注1. 若 a , b 中有一个为零向量，规定它们的夹
角可在0到之间任意取值. 注2. 类似可定义向量与一轴的夹角或空间两轴的 夹角. 注3. 若 a, b 同向，则 (a , b) 0；若 a, b 反向，则 (a , b) = ; 若 a, b 不平行，则 0 (a , b) 。
A x
称 OA、OB、OC分别是OM 在 x 轴, y 轴, z 轴上 的分向量, 而x, y, z,分别是OM 在三坐标轴上的投影, 称为OM 的坐标. 简记为 r ={x, y, z}, 此称为向量r = OM的坐标表示式.
第六节 向量在轴上的射影
一、向量在轴上的射影与射影定理 1、空间两向量的夹角的概念：
设有非零向量 a , b (起点同). 规定： a , b 正向间位于0到之间
的那个夹角为 a , b 的夹角,
b
(a , b )
a
(a, b ) (b , a)
B
u
设向量AB的起点A和终点B在轴u上的射影分别 为点A 和B .
轴u叫做射影轴.
（3）空间一向量在轴上的射影
在轴 l 上取定标架 {o; e}, 其中 e 是和 l 同 方向的单位向量 . 则有:
4. 向量的射影性质. 性质1. (射影定理) 设向量AB与轴u的夹角为 . 则 射影uAB = | AB |· cos 即 向量 AB 在轴 u上的射影等于向量的模乘 以轴与向量的夹角的余弦。 证
二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 1. 起点在原点的向量OM 设点 M (x,y, z) 以 i, j, k分别表示沿x, y, z轴 正向的单位向量, 称为基本单位 向量.
z zC o i k j N M B y y
x
r = OM = OA + AN +NM = OA + OB + OC = xi + yj + zk
2、空间两向量的有向角的概念： 向量
a , b 的有向角, 记作
(a, b ) , 定义为:
a 不平行于 b 时, 以向量 a 扫过 a , b 之 间的夹角 (a, b ) 旋转到与向量 b 同方向的
当 位置时,
如果旋转是逆时针方向的, 如果是顺时针方向的, 那么 当
(a, b ) (a, b )
(a, b ) (a, b )
a //b
时,
(a, b ) (a, b )
2、空间两向量的有向角的概念：
3、向量在轴上的射影
（1）、空间一点在轴上的射影

A
A
过点A 作轴u 的垂直 即为点 A 平面，交点 u A 在轴u 上的投影.
（2）空间一向量在轴上的射影向量
B A
A