03消费者理论：对偶与显示偏好

含义：在价格p下，消费者需要多少货币才能 与其消费商品束x的境况一样好？
10
m(p,x)类似于支出函数(对p单调、齐次、凹) m(p,x)还是一个效用函数(当p固定时，对x)
P固定，e(p,u)对u递增。 若偏好满足连续性、严格单调性， e(p,u)对u严 格递增。 m(p,x)是效用函数的正单调变换。
恢复偏好
经过X点的无差异曲线
30
●y
●X ●Z
●
显示偏好弱公理(WARP)
31
若(x1,x2)被直接显示偏好于(y1,y2)，且两者 不同，则后者不可能被直接显示偏好于前者
违反WARP（图）
p x p x p y p y 1 1 2 2 1 1 2 2
p ' x p ' x p ' y p ' y 1 1 2 2 1 1 2 2
应用：货币测度的效用函数
11
应用：几个重要的恒等式&货币测度的效用函数 例1：已知两商品经济下的支出函数为 e(p1,p2,u) = Kp1ap21-au 求相应的间接效用函数、直接效用函数、货币测度的效用函数、 需求函数 m = e(p, u)；v(p,m)=u，则有： v(p,m) = m/(Kp1ap21-a) 又由货币测度的间接效用函数的定义，有： u(p;q,m) ≡ e(p,v(q,m)) = p1ap21-a m/(q1aq21-a) 直接效用函数？ m(p, x) ≡ e(p,u(x))=Kp1ap21-ax1ax21-a
z x
8
货币测度的间接效用函数
给定p，对于(q,m)，至少需要多少货币才能 达到(q,m)下所能达到的效用水平？ u(p;q,m) ≡ e(p,v(q,m))
称上述u(p;q,m)为货币测度的间接效用函数 Min z0 pz
s.t. u(z) v(q,m)
9
货币度量的效用函数
对偶与显示偏好
Duality and Revealed Preferences
Questions
如何从间接效用函数得到直接效用函数？
消费者行为理论中的对偶性
6
理性偏好假设是必须的吗？
显示偏好
货币测度的效用函数
若偏好满足严格单调性，则e(p,u) 对u严格递 增 u(· )对正单调变换具有不变性
n
16
u ( x ) m i nv ( p , px )
p0
如果函数v(p, m) 满足间接效用函数的性质， 那么该函数就是一个间接效用函数，而且 根据上式所构造的函数就是产生该间接效 用函数的直接效用函数。
直接效用函数的构造: v u
v(p, y ) m a x u ( x )s . t . p x y v ( p ,) y u ( x ) i f p x y xRn 0有 p
第一年 数量 商品一 商品二 100 100 价格 100 100 数量 120 ？ 第二年 价格 100 80
本次课程内容主要参考资料
Varian,Microeconomic Analysis. [M-W-G]Chap 3.F [J-R]
36
习题
r r 1 / r v (, p p , m ) m ( p p ) 已知 求U(X) 1 2 1 2
35
消费者仅消费两种商品，具体信息如下表。问：消费者 在第二年购买的商品2数量在什么范围内可以表明： （1）违反显示偏好弱公理；（2）消费者第一年的消费 束显示偏好于第二年的消费束；（3）消费者第二年的 消费束显示偏好于第一年的消费束；（4）商品一是劣 等品（假设显示偏好弱公理满足）；（5）商品二是劣 等品（假设显示偏好弱公理满足）.
27
Revealed Preferece
可观察的选择出发+一致性假设需求行为
• Samuelson（1947）
显示偏好与偏好
显示偏好：
p x p x p y p y 1 1 2 2 1 1 2 2
28
(x1,x2)是(y1,y2)的直接显示偏好 支付得起而未选择的消费束必较不受偏好
∙ （x , x ）
1 2
∙ （y , y ）
1 2
显示偏好弱公理(WARP)
满足WARP（图）
32
∙ （x , x ）
1 2
∙ （y , y ）
1 2
检验显示偏好弱公理
实际观测：
(p1,p2) (1,2) (2,1) (1,1) (x1, x2) (1,2) (2,1) (2,2)
33
计算购买成本：
3
等价性
Hicks补偿
x2
y/p2
4
x0
p1
xh
x0=x(p0,y) x1=x(p1,y) xh=h(p1,u0) =x(p1,y+y) x1 u1 u0 x1
0 x1 (p1 ,p2 ,y)
h 0 1 x1 (p1,p2 ,u )
x (p1,p ,u )
h 1
0 2
0
p1 p
0
0 2
x1
5
(x1, x2) (p1,p2)
(1,2) 5 4* 3*
(2,1) 4* 5 3*
(2,2) 6 6 4
(1,2) (2,1) (1,1)
显示偏好强公理(SARP)
34
若(x1,x2)被直接或间接显示偏好于(y1,y2)， 且两者不同，则后者不可能被直接或间接显 示偏好于前者 这是最优化行为对消费者的全部要求
∙ （x , x ）
1 2
•从显示偏好到偏好： •(x1,x2) (y1,y2)
•行为假设：消费者总是选择能支付起 的最佳消费束
∙ （y , y ）
1 2
间接显示偏好
(x1,x2) (z1,z2)
29
∙ （x , x ） ∙ （y , y ）
1 2 1 2
∙ （z , z ）
1 2
思考：经过（x1,x2）的无差异曲线位置？恢复偏好
12
小结：e
u
13
偏好
UMP
对 偶
EMP
的货 效币 用测 函度 数
v (p, m )
Roy恒等式 可 积 性
恒等式
e (p , u )
p· h Shephard引理
x (p, m )
恒等式
h (p, u )
间接效用函数与偏好
14
偏好
UMP EMP
v(p, y )
e (p , u )
从间接效用函数能够恢复其偏好关系


例：求反需求函数
24
u ( x , x ) ( x x ) 1 2 1 2

1 /
ux (1 ,x ) 1 / 1 1 2 ( x x ) x 1 2 i x i
* 1 1 p x ( x x ) 1 1 1 2
i 1 ,2 ,...,n
证明
in v(p ,1 ) u ( x ) m p 0
St.: p x 1
23
L ( p ,) v ( p , 1 ) ( 1 p x )
u ( x ) L ( x , ) * * i 1 ,2 ,...,n 包络定理： p i x x i i n n u ( x ) * * * x p i ix i x i 1 i 1 i
7
用e(p,u)代表效用、偏好 ——货币测度的效用函数
(Chap. 7.5)
货币测度的直接效用函数
给定p，对于消费束x，为购买与x同样好的 消费束所需要的最小支出？ m(p,x) ≡ e(p, u(x))
称上述m(p,x)为货币测度的直接效用函数 Min z0 pz
s.t. u(z) u(x)
（Consumer’s Theory ）
微观经济学:对偶与显示偏好
版权所有，仅供复旦大学学生学习使用，未经允许请勿擅自引用或传播
What have we learned?
马歇尔需求函数与间接效用函数 希克斯需求函数与支出函数 几个重要的恒等式 需求函数的性质与禀赋
2
补充：Hicks补偿与Slutsky补偿
两种补偿概念：
Hicks补偿：在新价格水平下，保持原来的效 用水平，收入必须发生的变化 △m=e(p+△p, u)-e(p, u) x(p+△p, m+△m)=x(p+△p, e(p+△p, u)) Slutsky补偿：在新价格水平下，保持原来的 购买力，收入必须发生的变化 △m= △p.x(p, m)
21
pi

j
ຫໍສະໝຸດ Baidu
u / xi x ju / x j
反需求函数
pi pi (x)
22
Hotelling’s Lemma：
设 u(x) 是消费者的效用函数，那么商品i 的 反需求函数为
p x ) i(
u ( x )/ x) x (
n j 1 j j
u ( x )/ x i
应用：货币测度的效用函数
应用：几个重要的恒等式&货币测度的效用函数 例2：已知两商品经济下的效用函数为 u(x1,x2) = (x1a+x2a)1/a 求相应的需求函数、货币测度的直接和间接效用函数
由支出最小化，可得e(p,u)= (p1b+p2b)1/b u 从而， 替换v(p,m)=u，则有： v(p,m) = m (p1b+p2b)-1/b 又由Roy恒等式，可得x1(p,m), x2(p,m) 再由货币测度的直接效用函数的定义，有： m(p,x) ≡ e(p,u(x)) = (p1b+p2b)1/b (x1a+x2a)1/a 以及货币测度的间接效用函数的定义，有： u(p;q,m) ≡ e(p,v(q,m)) = (p1b+p2b)1/b(q1b+q2b)-1/bm
v ( p ,px ) u ( x )
如果 p
17
( p , px ) u ( x ) 0 v
p0
u ( x ) m i nv ( p , p x )
从间接效用函数到直接效用函数
将收入标准化为1，则：
18
从而，直接效用函数为：
定理
u ( x ) 在 R n 上拟凹而且可微，一阶偏导严格 n v (p,p x) R 为正，那么间接效用函数 在 上取得最小值，并且有：
小结
15
偏好
UMP
对 偶
EMP
的货 效币 用测 函度 数
v (p, m )
Roy恒等式 可 积 性
恒等式
e (p , u )
p· h Shephard引理
x (p, m )
恒等式
h (p, u )
定理
u ( x ) 在R 上拟凹而且可微，一阶偏导严格为 n v (p,p x) R 正，那么间接效用函数 在 上取得 最小值，并且有：
p x x x ) 2( 1 2
* 2
1
1
25
显示偏好
显示偏好
偏好假设（or理性偏好or一致偏好）对于 现代消费者理论是必需的吗？
No
26
显示偏好
从消费者的选择行为出发研究消费者的需求 规律
显示偏好
古典需求理论
对不可观察的偏好进行公理化假设最优化行 为
19
u (x) min v(p)
p 0
s.t. px 1
对偶应用：v到u
一个例子：
已知v(p1,p2,m)=lnm-alnp1-blnp2， 求u(x1,x2)
20
Min p : v(p1,p2,m)=lnm-alnp1-blnp2 st.:p1x1+p2x2=m
应用：从v到u
由直接效用函数的求解，