高数第七章无穷级数知识点

第七章 无穷级数
一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）：
1、形如∑∞
=-11
n n aq
的几何级数（等比级数）：当1<q 时收敛，当1≥q 时
发散。

2、形如∑∞
=1
1
n p
n
的P 级数：当1>p 时收敛，当1≤p 时发散。

3、⇒
≠∞
→0lim n n U 级数发散； 级数收敛
lim =⇒∞
→n n U
4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数∑∞
=1
n n
U
，满足
条件l
U U n n n =+∞→1
lim
：
当1<l 时，级数收敛；
当1>l 时，级数发散（或+∞=l ）；
当1=l 时，无法判断。

5、根值判别法（适用于含有因式的n 次幂）：若正项级数∑∞
=1n n
U
，满足
条件λ
=∞→n n n U lim ：
当1<λ时，级数收敛；
当1>λ时，级数发散（或+∞=λ）；
当1=λ时，无法判断。

注：当1,1==λl 时，方法失灵。

6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。

（通过不等式的放缩）
推论：若∑∞
=1
n n
U
与
∑∞
=1
n n
V
均为正项级数，且
l
V U n
n
n =∞→lim
（n V 是已知敛散
性的级数) 若+∞<<l 0，则级数∑∞
=1n n
U
与
∑∞
=1
n n
V
有相同的敛散性；
若0=l 且级数∑∞
=1
n n
V
收敛，则级数
∑∞
=1
n n
U
收敛；
若+∞=l 且级数∑∞
=1
n n
V
发散，则级数
∑∞
=1
n n
U
发散。

7、定义判断：若
⇒
=∞
→C S n n lim 收敛，若n
n S ∞→lim 无极限⇒发散。

8、判断交错级数的敛散性（莱布尼茨定理）：
满足1+≥n n U U ，⇒=∞→0lim n n U 收敛，其和1u S ≤。

9、绝对收敛：级数加上绝对值后才收敛。

条件收敛：级数本身收敛，加上绝对值后发散。

二、无穷级数的基本性质：
1、两个都收敛的无穷级数，其和可加减。

2、收敛的无穷级数
∑∞
=1
n n
U
，其和为S ，则∑∞
=1
n n
aU
，其和为aS （0≠a ）
（级数的每一项乘以不为0的常数后，敛散性不变） 3、级数收敛，加括号后同样收敛，和不变。

（逆否命题：加括号后发散，则原级数发散）
加括号后级数收敛，原级数未必收敛。

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