基于中国邮递员问题的物流配送线路优化

基于中国邮递员问题的物流配送线路优化

[摘要]：针对物流配送的线路优化问题，以配送总路程最小为目标，在充分考虑中国邮递员问题的基础上，寻求求解优化方案以及建立线路优化模型。

[关键词]：线路优化中国邮递员问题最小树法优化模型

1.引言

随着市场竞争的日益加剧、世界经济一体化的程度的加快和科学技术的飞速发展，许多企业已经把物流作为提高竞争力和提升核心的竞争能力的重要手段，将先进的物流理论和物流技术引入企业的生产和经营管理中。这一产业在我国现今还处于发展阶段，与国外物流业相比，我国物流业自身存在的一些问题逐渐对企业自身的发展和盈利造成了瓶颈。在众多的问题中，物流效率问题是较为突出的一个。而物流网络是否科学健全又是决定物流效率的关键一环，作为实现物流合理化的重要内容和手段，研究物流配送路径有助于企业降低物流成本，提高运作效率，全面提高顾客满意度，使企业在现今物流业服务竞争逐渐激烈的环境下站稳脚跟，让企业获得更多的利润和更为长远的发展。

用图的语言来描述物流线路优化问题，就是给定一个连通图G，在每条边上有一个非负的权，要寻求一个圈，经过G的每条边至少一次，并且圈的权数最小。这个问题是由我国管梅谷同志于1962年首先提出来的，因此国际上称它为中国邮递员问题。

2.问题描述

中国邮递员问题的描述：一个邮递员送信，在邮局里挑选出他所有负责的街区的各条街道的邮件，并按一定的次序排列，然后按一定路线投递这些邮件，最后返回邮局。自然邮递员必须走过他负责的街区的每一条街道至少一次，并希望选择一条总路程最短的投递路线。

下面我们介绍一下图论问题中的定义和定理。

定义1：在一个多重边的连通图中，从某个顶点出发，经过不同的线路，又

回到原出发点，这样的线路称为欧拉图。

定义2：设G 是一个无向连通图，若存在一个回路，经过G 中的每一条边一次且仅一次，则称这个同路为欧拉回路：

定义3：设G 足一个无向连通图，若在G 中通过某顶点的弧的个数为偶数时，这个顶点被称为偶点，否则被称为奇点。

定理1：一个非空连通图是欧拉图当且仅当它没有奇点。 定理2：一个连通图有欧拉迹当且仅当它最多有两个奇点。

定理3：设C 是一条经过赋权连通图C 的每条边至少一次的回路，则C 是G 的最优回路，当且仅当C 对应的欧拉图G 满足：

(1)G 的每条边至多重复出现一次；

(2)G 的每个圈上重复出现的边的权之和不超过该圈总权的一半。 基于以上定义和定理，应用图论描述中国邮递员问题如下：

在一个连通图G=(V ，E)中，E 中的每一条边对应一条街道，每条边的权重l(e)=街道的长度。v 中某一个顶点为邮局，其余为街道的交叉点。在连通图c=(V ，E)上找一个圈，该圈过每边至少一次，且圈上所有边的权和最小。

此问题分为两种情况：

（1）若G 中的顶点均为偶点，即G 中存在欧拉回路，则该回路过每条边一次且仅一次，此回路即为所求的投递路线；

（2）若G 中有奇点，不存在欧拉回路，所投递的路线至少有一街道要重复走一次或多次。

在G 中有奇点的情况中，选择的最佳投递路线就等同于选择重复边的权和最小的路线。下面我们来介绍初始邮递路线的确定、改进，以及一个邮递路线是否是最优路线的判定标准的方法-----图上作业法。

（1）初始邮递路线的确定方法。

任何一个图中，若奇点的个数为偶数，就可以把它们两两配成对，而每对奇点之间必有一条链（图是连通的），我们把这条链的所有边作为重复边追加到图中去，这样得到的新连通图必无奇点，这就给出了初始投递路线。

如在下图中，v1是邮局所在地，并有四个奇点v2,v4,v6,v8,将它们两两配对，比如v2和v4为一对，v6和v8为一对。

v7

v8

v1

v7

v8

v1

2

4

（2）改进邮递路线，使重复边的总长不断减少。

一般地，在邮递路线上，如果在边[vi,vj]旁边有两条以上的重复边，从中去掉偶数条，那么可以得到一个总长度较少的邮递路线。 根据定理3的满足条件，在最优邮递路线上，图中每一个圈的重复边的总权

小于或者等于该圈总权的一半，得出下列欧拉圈就是最优邮递路线。

3. 网络最小树法求解中国邮递员问题

中国邮递员问题简单图上作业法虽然最后找出了最优路线，但寻找奇点的配对关系，难免带有一定的盲目性，不如针对这一症结所在，尽可能地将初始方案做得好一些，以减少后期调整所出现的麻烦，这就需要考虑和利用网络最小树的理念。

v6 v3 v4

v5

v2 2

5 5 9 4

4

3 4

6

4 4

3 v9 v6 v3

v4

v5

v2 5 5 9 4

4 3 6

4 4

3 v9

v6

v4

v5

v2 2

5

5 9 4 4 3 4

6 4 4 3 v9

v7 v6

v3

v4

v5

v8

v1 v2 2

5 5 9

4

4

3 4

6

4 4

3

V 9 v3

v1

v8

v7

管谷梅先生在1960的时候给出过求最优集的相关判定定理，然而实际操作中我们却有更贴近实际的解决方法，这即是判优准则。以上面提到的线路为例，

演示此方法，具体的步骤如下： (1)奇点出作出标记。

(2)求该网络最小树(使用避圈法或是破圈法，在操作中尽可能多保留与奇点相连的边)。

(3)在最小树的奇点处添加添加重复边，以消灭奇点。 (4)同到原来的问题，且按判优准则。

(5)检验和调整，直至最优。经过判优法检验，可知已经为最优解，该题圆满解决!

v7 v6 v3 v4 v5

v8 v1 v2 2 5 5 9 4 4 3 4 6 4

4 3 v9 v7 v6 v3

v4

v5

v8 v1 v2 2

5 5

9 4 4 3

4

6 4 4

3 v9 v7

v6

v3 v4 v5 v8

v1

v2

2

5

5

9 4 4

3

4

6

4

4

3 v9

v7 v6

v3 v4 v5 v8 v1 v2 2 5 5 9 4 4 3

4 6 4 4 3 V 9