工程力学(材料力学)6 弯曲内力

重点
截面法求剪力和弯矩； 剪力方程和弯矩方程； 剪力图和弯矩图； 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系。
难点
• 剪力和弯矩方向判定； • 剪力方程和弯矩方程的列法； • 三种作剪力图和弯矩图的方法； • 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系。
第一节 平面弯曲的概念及梁的计算简图
一、平面弯曲的概念
工程实例
一致。 计算弯曲内力时，选用截面左侧还是右侧计算以计算简便为
原则。 集中力作用处，左、右两侧剪力不同，弯矩相同。 集中力偶作用处，左、右两侧剪力相同，弯矩不同。
剪力图和弯矩图
1.剪力方程和弯矩方程 内力与横截面位置坐标x间的函数关系式为
Q Q(x) M M(x)
剪力方程； 弯矩方程。
2. 剪力图和弯矩图
Байду номын сангаас
qx2
x2
(
a 2
,
3a ) 2
（3）绘制Q图和M图 。 （4）最大剪力和最大弯矩值。
Qmax
5qa 8
M max
9qa2 128
绘制剪力与弯矩方程时应注意：
截面上的剪力和弯矩始终假定为正向。由平衡方程所得结果的正 负号就与正负号规定相一致。
截面位置参数可以从坐标原点算起，也可以从另外的点算起，需 写清方程的适用范围即可。
方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作用处，剪力方程 应为开区间，在此处剪力图有突变；在集中力偶作用处，弯矩方程 应为开区间，在此处弯矩方程有突变。
若所得方程为x的二次或二次以上方程，则在作图时除计算该段的 端值外，应注意曲线的凸、凹向极值。
第三节 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
一、载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系
X 0 , FX A 0
Fa mA 0 , FB l
Y 0,
FYA
F (l a) l
a A
l
FXA A FYA
F B
F B
FB
（2）应用截面法，求内力
Y
0,
Q FYA
F(l a) l
mC 0 , M FYA x
弯曲构件内力
剪力Q 弯矩M
弯矩M：横截面上轴线所在平面内的
弯曲变形：杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩的作用,轴线 变成了曲线，这种变形称为弯曲变形。
梁：以弯曲变形为主的杆件。
常见梁的截面形状
平面弯曲：所有外力都作用在梁的纵向对称面内时，梁变形 后轴线所在平面与外力所在的平面重合，这种弯曲称为平面 弯曲。
F1
q
F2
M
纵向对称面
二、梁的计算简图
梁的支承条件与载荷情况一般比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要 的简化，抽象出计算简图。
qa
由 Y 0 得
FA FB qa 0
FB
M 2a
5qa 4
由 MA 0
校核
M 5qa2 2
FB 2a 0
可据此判断支座反力计算正确。
（2）计算剪力
如图所示，设1-1截面上的剪力为Q1（按规定其图示为正向），可得
Y 0 FA Q1 0
y
1 M1
Q1 FA
同理可得 Q2 FA
（3）列出各段梁的剪力方程和弯矩方程； （4）根据剪力和弯矩方程画出剪力图和弯矩图； （5）确定最大剪力和最大弯矩及其所在的截面。 4.载荷集度q、剪力Q和弯矩M三者之间有以下的微分关系，即
dQ q dx
dM Q dx
d2M q dx 2
利用这些规律，可校核所作内力图的正误，更简捷的作出内 力图。
q(x)
对dx 段进行平衡分析，有
y
Y 0即为
x Q(x) q(x)dx Q(x) dQ(x) 0
x dx
q(x)dx dQ(x)
q(x)
M(x) Q(x)
Q(x)+d Q(x) A dx M(x)+d M(x)
剪力与分布载荷间的关系为
dQx qx
dx
MA 0 即为
Q(x)dx M (x) 1 q(x)(dx)2 [M (x) dM (x)] 0 2
例11-3 已知图示简支梁，受力P、2P的作用,AC=CD=DB=a。 作剪力图和弯矩图，确定Qmax和Mmax。
解 （1）求支座约束反力。
Y 0 FA FB P 2P 0
M B 0 FA 3a P 2a 2P a 0
得 FA=4P/3，FB=5P/3
（2）列剪力方程和弯矩方程。
弯曲内力
本章目的和要求
• 梁的弯曲变形是工程中非常重要的一种构件变形形式。
• 主要内容：介绍梁在弯曲变形时的内力计算（剪力和 弯矩的计算）。
• 要重点掌握采用截面法确定剪力和弯矩的计算。
• 做出正确的剪力图和弯矩图。 • 熟悉作剪力图和弯矩图的具体方法。 • 掌握载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系。
q>0
q<0
水平直线
Q
图Q
Q
斜直线
Q
Q
特
征
x
x
x
x
Fs >0 Fs <0
M 图M 特 征
x
斜直线 M
x
增函数 降函数
抛物线
M
M
x
x
增函数 降函数 凹状 凸状
集中力
P C
集中力偶 m
C
突变
Q Q1
C
Q2
x
Q1 –Q2 =P
折角
无变化 Q C x
突变
M
M
M1 x
x
M2
M1 M2 m
例11-5 如图所示外伸简支梁，同时受集中力F，弯矩M0，均布载荷q作用， 试作出梁的剪力图、弯矩图。
F=3KN
q=2KN/m
C
A
1
4
m
m
解 （1）根据平衡条件求支座反力。
M0 6KN.m
D
B
1 m
MA 0
MB 0
FB 3.8KN
FA 7.2KN
（2）由微分关系判断各段的Q-图、M-图的形状。
CA
载荷
q0
Q 图
M 图 倾斜直线
AD q C 0
DB
q0
倾斜直线
(3)从左向右绘制剪力图和弯矩图。
2.本章主要介绍了三种作剪力图和弯矩图的方法： （1）根据剪力方程和弯矩方程作图； （2）用叠加法作图； （3）用载荷集度、剪力和弯矩三者之间的微分关系作图。 其中，用剪力方程和弯矩方程作图是最基本的方法，要重 点掌握。
本章小结
3.作剪力图和弯矩图的基本方法，可分为以下几个步骤： （1）根据平衡条件求支座反力； （2）在集中力（包括支座反力）、集中力偶作用处，或均布 荷载规律发生变化处分段；
作剪力图和弯矩图，确， 定Qmax和Mmax。
解 （1）求支座约束反力。
3 Y 0 FC FB q 2 a 0
M
B
0
FC
a
q
3 2
a
3 2
a
2 0
得
9
FC
qa 8
FB
3 qa 8
(2)列剪力方程和弯矩方程。
Q1x1 qx1
a
x1 (0,
) 2
Q2 x2
qx2
FC
9qa 8
C
A
a
FA
Q1 1
x
Q3 FA
Q4 FA FB
(3)计算弯矩
如图所示，设1-1截面上的弯矩为M1（按规定其图示为正向），可得
MC 0 FA a M1 0
同理可得
M1 FAa M2 FA a M
M3 FA 2a M
M4 FA 2a M
由以上可得： 计算内力时按支座反力的实际方向确定正负号，与坐标系相
杆件的简化 通常取梁的轴线来代替梁。轴线是杆件横截面形心的连线。折 杆或曲杆可用中心线代替。
载荷的分类 作用于梁上的载荷（包括支座反力）有三种类型： 集中载荷、均布载荷和集中力偶。
q
M
F
支座的分类 m
简支梁 悬臂梁 外伸梁
第二节 梁的内力
已知如图所示，F、a、l。
求距A端x处截面上内力。
（1）求外力
M(+)
M(+)
上弯为正
M(–)
M(–)
例11-1 如图所示简支外伸梁，受集中力偶M和均布荷载q的作用。 求梁的1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和弯矩。
A RA
M
4q
1 2
x
C
3
D
B
3
B
12
a
a
4
RB
a
解 （1）计算支座反力。
由 MB 0 得
FA
2a
M
1 2
qa 2
0
FA
M 2a
1 4
5P 3
M max
5 Pa 3
当梁上有几项载荷作用时，由每一项载荷所引起的梁的支座 反力、剪力和弯矩不受其他载荷的影响。
可以先分别计算出梁在各项载荷作用下截面上的剪力和弯矩， 再求出它们的代数和，得到梁在几项载荷共同作用下该截面 上的剪力和弯矩。即叠加法。
例11-4 如图所示外伸简支梁，已知梁受均布荷载q作用，CB=a,AC=a/2。
Q1x1
FA
4 3
P
Q2
x2
FA
P
1 3
P
x1 0, a x2 a, 2a
Q3
x3
FA
P
2P
5 3
P
x3 2a, 3a
（3）绘制Q图和M图。
在三段内力中剪力为常数值，剪力图是三条水平线段，如图所示； 弯矩方程是一次函数，在弯矩图中为三条直线段，如图所示。
（4）最大剪力和最大弯矩值。
Qmax
剪力图 弯矩图
Q Q(x) 的图线表示； M M(x) 的图线表示。
梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化
剪力图、弯矩图
剪力、弯矩方程法
Q Q(x) M M (x)
剪力方程 弯矩方程
剪力图 弯矩图
例11-2 已知如图悬臂梁受均布荷载q的作用，梁的长度为l。求此梁的剪力 图和弯矩图。
Aq
内力偶。矩心为横截面形心。
剪力Q：横截面上过截面形心平行于 截面的内力。
m FXA A
FYA
x
m
Q A
C
FYA
Q
MC
P B
FB
M F
FB
截面内力正负规定:
剪力Q。 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。
Q(+)
左上右下为正
Q(–) Q(+)
Q(–)
弯矩M。梁产生上弯趋势的为正弯矩；反之为负弯矩。
B
x L
解（1）求支座反力。
Y 0
MA 0
FA ql 0
MA
ql 2 2
0
FA ql
M
A
ql 2 2
(2)写出内力方程。
Q FA qx Q
FA （+）
M
l
2
M
M A
qx2 2
FA
x
(0 x l)
x
(3)根据方程画内力图。
x
Q ql max
ql2 2
ql2 8
M ql2 max 2
弯矩与分布载荷间的关系为
dM (x) Q(x) dx
弯矩、剪力与分布载荷间的关系为 d2M (x) dQ(x) q(x)
dx2
dx
Q图上某处的斜率等于梁在该处的分布载荷集度q； M图上某处的斜率等于梁在该处的剪力Q。
二、几种常见载荷作用下梁的内力图特征
无分布载荷段 外 力
q=0
均布载荷段
Q
4.2KN
(+)
(-)
E
-3KN
(-)
3.8KN.m
M
3.8KN.m
x
(-)
1.41KN.m
(+)
-3KN.m
(+)
x
本章小结
1.梁弯曲时横截面上有两种内力：剪力和弯矩。 确定横截面上剪力和弯矩的基本方法是截面法。在掌握这 一方法的基础上，也可以直接利用外力确定剪力和弯矩。 微段左上右下，剪力为正；微段上凹下凸，弯矩为正。