高中数学第三章圆锥曲线与方程3.3.1双曲线及其标准方程课件
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双曲线及其标准方程ppt课件
x2
y2
变式．给出曲线方程
＋
＝1.
4＋k 1－k
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围.
y2 x2
例 5．已知双曲线 C 的方程是 － ＝1，其上下焦点分别是 F2，
16 20
F1，点 M 在双曲线 C 上，且|MF1|＝9，则|MF2|＝________.
归纳总结
y
图形
y
P
P
x
O
F1
F1 O F2
方程
焦点
a,b,c之间的关系
F2
x
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c)，F2(0,c)
c2=a2+b2
a，b大小不定
椭圆与双曲线的区别
O
焦点在对应轴上
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
① 方程用“－”号连接；
y
F2
F1
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
② c2=a2+b2 ；
③分母是a2, b2, 且a>0, b>0，但a, b大小不定；
④ 如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；
如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上.
x
F1 O
F2
结论：已知F1，F2分别是双曲线C：
选择必修 第三章 3.3.1 抛物线及其标准方程 课件(共24张PPT)
知新探究
利用信息技术作图.如图，F是定点，是不经
过点的定直线，是直线上任意一点，我们先
连接，再作的垂直平分线，过作定直
线的垂线，交直线于点.你能发现点满足
的几何条件吗？拖动点，观察点的轨迹，它
的轨迹是什么形状呢？你是否接触过类似的图
形呢？
可以发现,在点M随着点H运动的过程中，始终有ǀMFǀ=ǀMHǀ,即点M与定点F的
并能解决简单的求抛物线标准方程问题．
3.数学抽象素养和数学运算素
养.
知新引入
通过前面的学习可以发现点M到定点F的
距离与M到定直线l（不过点F）的距离之比
为k，当0<k<1时，点M的轨迹为椭圆；当
k>1时，点M的轨迹为双曲线；当k=1时，即
动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离
相等时，点M的轨迹会是什么形状？
∴4＝－2p×(－3)或9＝2p×2.
∴ =
2
或
3
=
9
．
4
4
3
9
2
∴所求抛物线方程为 2 = − 或 2 = .
初试身手
1.⑴已知抛物线的方程是y=-2x2，求它的焦点坐标和准线方程;
1
2
⑵已知抛物线的准线为y=- ,求它的标准方程;
解： ⑴因为y=-2x2可化为x2 =-1y，抛物线焦点在y轴负半轴上，所以焦点
2
2
向向右.
p的几何意义是焦点到准线的距离(焦准距).
在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选取不同的坐标系我们得到了不同形式的
标准方程.抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探究之后填写下表.
新知探究
图形
标准方程
y2=2px(p＞0)
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.3.1双曲线及其标准方程省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在 y 轴，经过点(3，－4 2)和(94，5)； (2)与双曲线1x62－y42＝1 共焦点，且过点(3 2，2)． (链接教材 P39 例 1)
第14页
[解] (1)由已知可设所求双曲线的标准方程为ay22－xb22＝1(a>0，
b>0)，则
32aa2522－－b19862＝1b21＝，1，解得ab22＝＝19，6，
第8页
4．双曲线1x02－y22＝1 的焦距为( D )
A．3 2
B．4 2
C．2 3
D．4 3
解析：a2＝10，b2＝2，c2＝a2＋b2＝12，c＝2 3，2c＝4 3.
第9页
1．对双曲线定义的五点说明 (1)在此定义中“常数要大于 0 且小于|F1F2|”这一限制条件十 分重要，不可忽略． (2)如果定义中常数改为等于|F1F2|，此时动点轨迹是以 F1、 F2 为端点的两条射线(包括端点)． (3)如果定义中常数改为大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在． (4)如果定义中常数改为等于 0，此时动点轨迹为线段 F1F2 的 垂直平分线． (5)如果定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话，动 点的轨迹成为双曲线的一支．
第10页
2．两类双曲线标准方程的统一表示 方程 Ax2＋By2＝1(AB<0)包含双曲线的焦点在 x 轴上或在 y 轴上两种情况，方程可变形为x12＋y12＝1(AB<0)．
AB (1)当A1<0 时，表示双曲线的焦点在 y 轴上； (2)当B1<0 时，表示双曲线的焦点在 x 轴上．
第11页
3．双曲线与椭圆之间区分 椭圆
标准方程
_xa_22－__yb_22_＝__1_(_a_>_0_，__b_>_0_)
第14页
[解] (1)由已知可设所求双曲线的标准方程为ay22－xb22＝1(a>0，
b>0)，则
32aa2522－－b19862＝1b21＝，1，解得ab22＝＝19，6，
第8页
4．双曲线1x02－y22＝1 的焦距为( D )
A．3 2
B．4 2
C．2 3
D．4 3
解析：a2＝10，b2＝2，c2＝a2＋b2＝12，c＝2 3，2c＝4 3.
第9页
1．对双曲线定义的五点说明 (1)在此定义中“常数要大于 0 且小于|F1F2|”这一限制条件十 分重要，不可忽略． (2)如果定义中常数改为等于|F1F2|，此时动点轨迹是以 F1、 F2 为端点的两条射线(包括端点)． (3)如果定义中常数改为大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在． (4)如果定义中常数改为等于 0，此时动点轨迹为线段 F1F2 的 垂直平分线． (5)如果定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话，动 点的轨迹成为双曲线的一支．
第10页
2．两类双曲线标准方程的统一表示 方程 Ax2＋By2＝1(AB<0)包含双曲线的焦点在 x 轴上或在 y 轴上两种情况，方程可变形为x12＋y12＝1(AB<0)．
AB (1)当A1<0 时，表示双曲线的焦点在 y 轴上； (2)当B1<0 时，表示双曲线的焦点在 x 轴上．
第11页
3．双曲线与椭圆之间区分 椭圆
标准方程
_xa_22－__yb_22_＝__1_(_a_>_0_，__b_>_0_)
新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程 1双曲线及其标准方程课件新人教A版选择性必修第一册
化化归法.
3.常见误区:(1)双曲线焦点位置的判断易出错,易忽略双曲线成立的必要条
件;(2)双曲线在实际生活的应用中,建模容易出错.
学以致用·随堂检测促达标
2
1.(例1对点题)已知双曲线 9
−
2
=1
16
的左、右焦点分别是F1,F2,若双曲线上
一点P使得∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面积.
2
2
−
=1(b>0),把
2
16
y 轴上时,设所求标准方程为
A 点的坐标代入,得 b2=9.
2
2
故所求双曲线的标准方程为16 − 与双曲线
16
−
2
=1
4
有相同的焦点,且经过点(3 2,2);
解 (方法 1)∵焦点相同,
2
∴设所求双曲线的标准方程为 2
解得
256
+ 25 = 1,
9
2
∴双曲线的标准方程为 9
=
=
1
- 16 ,
1
.
9
2
− 16=1.
规律方法
待定系数法求双曲线的标准方程的步骤
(1)定型:确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.
(2)设方程:根据焦点位置设出相应的标准方程的形式.①若不知道焦点的
位置,则进行讨论,或设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0);②与双曲线
-1
解得 k>1 或 k<-4,故实数 k 的取值范围是(-∞,-4)∪(1,+∞).
2
2
(2)将所给方程化为 −
=1,若该方程表示焦点在
1-
-4-
3.常见误区:(1)双曲线焦点位置的判断易出错,易忽略双曲线成立的必要条
件;(2)双曲线在实际生活的应用中,建模容易出错.
学以致用·随堂检测促达标
2
1.(例1对点题)已知双曲线 9
−
2
=1
16
的左、右焦点分别是F1,F2,若双曲线上
一点P使得∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面积.
2
2
−
=1(b>0),把
2
16
y 轴上时,设所求标准方程为
A 点的坐标代入,得 b2=9.
2
2
故所求双曲线的标准方程为16 − 与双曲线
16
−
2
=1
4
有相同的焦点,且经过点(3 2,2);
解 (方法 1)∵焦点相同,
2
∴设所求双曲线的标准方程为 2
解得
256
+ 25 = 1,
9
2
∴双曲线的标准方程为 9
=
=
1
- 16 ,
1
.
9
2
− 16=1.
规律方法
待定系数法求双曲线的标准方程的步骤
(1)定型:确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.
(2)设方程:根据焦点位置设出相应的标准方程的形式.①若不知道焦点的
位置,则进行讨论,或设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0);②与双曲线
-1
解得 k>1 或 k<-4,故实数 k 的取值范围是(-∞,-4)∪(1,+∞).
2
2
(2)将所给方程化为 −
=1,若该方程表示焦点在
1-
-4-
3.3.1抛物线及其标准方程(PPT)课件(人教版)
1．抛物线 y＝41x2 的准线方程是(
)
A．y＝－1 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
A 解析：因为 y＝41x2⇔x2＝4y，所以抛物线的准线方程是 y＝
－1.
2．顶点在原点，焦点是 F(0，3)的抛物线标准方程是( ) A．y2＝12x B．x2＝12y C．y2＝112x D．x2＝112y
解： (1)由于点 M(－6，6)在第二象限， 所以过点 M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在 x 轴上，设其方程为 y2＝－2px(p>0)． 将点 M(－6，6)代入，可得 36＝－2p×(－6)，所以 p＝3. 所以抛物线的方程为 y2＝－6x.
若抛物线开口向上，焦点在 y 轴上，设其方程为 x2＝2py(p>0)． 将点 M(－6，6)代入，可得 36＝2p×6，所以 p＝3， 所以抛物线的方程为 x2＝6y. 综上所述，抛物线的标准方程为 y2＝－6x 或 x2＝6y.
3．已知动点 P(x，y)满足 （x－1）2＋（y－2）2＝|3x＋45y－10|， 则点 P 的轨迹是( )
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 D 解析：由题意知，动点 P 到定点(1，2)和定直线 3x＋4y－10 ＝0 的距离相等，又点(1，2)不在直线 3x＋4y－10＝0 上，所以点 P 的轨迹是抛物线．
1．已知抛物线 y2＝4x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点， 又有点 A(3，4)，则|PA|＋|PF|的最小值为________．
2 5 解析：由题意可知点 A(3，4)在抛物线的外部． 因为|PA|＋|PF|的最小值即为 A，F 两点间的距离，F(1，0)， 所以|PA|＋|PF|≥|AF|＝ 42＋22＝2 5， 即|PA|＋|PF|的最小值为 2 5.
3.2.1双曲线及其标准方程课件(人教版)(1)
2 =5
2
则有 25 4
,解得 2
,双曲线的标准方程为 5 －y2＝1.
− 2 = 1
=1
2
法二∵焦点在x轴上，c＝
25
2
y2
6，∴设所求双曲线方程为 λ －6−λ＝1(其中0<λ<6)．
4
∴ λ －6−λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
2
∴所求双曲线的标准方程是 5 －y2＝1.
P到焦点F2的距离．
【错解一】
a=4，由|PF1|－|PF2|＝8，即9－|PF2|＝8，得|PF2|＝1.
【错解二】
a=4，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，所以|9－|PF2||＝8，
所以|PF2|＝1或17.
【错因】 错解一是对双曲线的定义中的差的绝对值掌握不够，是概念性的错误．错解二没有验证两解
将P、Q两点坐标代入可得
y2
225
9
−
=1
162
2
25
256
−
=1
2
92
2
2 =9
,解得 2
,
= 16
y2
2
（三）典型例题
1.求双曲线的标准方程
例1.根据下列条件，求双曲线的标准方程．
15
16
(1)经过点P(3， 4 )，Q(－ 3 ，5)．
2 y2
法二：设双曲线方程为 ＋ ＝1(mn<0)．
焦点
两个定点叫做双曲线的焦点
焦距
两焦点间的距离叫做双曲线的焦距
集合
语言
P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0<2a<|F1F2|}
2
则有 25 4
,解得 2
,双曲线的标准方程为 5 －y2＝1.
− 2 = 1
=1
2
法二∵焦点在x轴上，c＝
25
2
y2
6，∴设所求双曲线方程为 λ －6−λ＝1(其中0<λ<6)．
4
∴ λ －6−λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
2
∴所求双曲线的标准方程是 5 －y2＝1.
P到焦点F2的距离．
【错解一】
a=4，由|PF1|－|PF2|＝8，即9－|PF2|＝8，得|PF2|＝1.
【错解二】
a=4，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，所以|9－|PF2||＝8，
所以|PF2|＝1或17.
【错因】 错解一是对双曲线的定义中的差的绝对值掌握不够，是概念性的错误．错解二没有验证两解
将P、Q两点坐标代入可得
y2
225
9
−
=1
162
2
25
256
−
=1
2
92
2
2 =9
,解得 2
,
= 16
y2
2
（三）典型例题
1.求双曲线的标准方程
例1.根据下列条件，求双曲线的标准方程．
15
16
(1)经过点P(3， 4 )，Q(－ 3 ，5)．
2 y2
法二：设双曲线方程为 ＋ ＝1(mn<0)．
焦点
两个定点叫做双曲线的焦点
焦距
两焦点间的距离叫做双曲线的焦距
集合
语言
P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0<2a<|F1F2|}
双曲线及其标准方程完整版课件
2
2
则双曲线的标准方程为20 − 16 =1.
(2)设双曲线方程为 mx2-ny2=1,
1
= 25 ,
49-72 = 1,
则有
解得
1
28-9 = 1,
= ,
75
2
2
则双曲线的标准方程为25 − 75 =1.
归纳总结
求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可
以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b
联立两方程解得 x=8(舍负),y=5 3,
所以 P(8,5 3),
kPA=tan∠PAx= 3,所以∠PAx=60°,
所以 P 点在 A 点的北偏东 30°方向.
当堂达标
1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时
,P点的轨迹为(
)
A.双曲线和一条直线
情景导学
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声
音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双
曲线的有关问题。
问题导学
新知探究
如图，在直线
l 上取两个定点
在平面内，取定点
F1 , F 2，以点 F1 为圆心、线段
在以 F 2 为圆心、线段
我们知道，当点
2
2
解析:∵方程1+ + -2=1,∴(m-2)(m+1)<0,
解得-1<m<2,∴m的取值范围是(-1,2).
答案:D
)
4. 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知
1
tan∠PEF=
2
则双曲线的标准方程为20 − 16 =1.
(2)设双曲线方程为 mx2-ny2=1,
1
= 25 ,
49-72 = 1,
则有
解得
1
28-9 = 1,
= ,
75
2
2
则双曲线的标准方程为25 − 75 =1.
归纳总结
求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可
以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b
联立两方程解得 x=8(舍负),y=5 3,
所以 P(8,5 3),
kPA=tan∠PAx= 3,所以∠PAx=60°,
所以 P 点在 A 点的北偏东 30°方向.
当堂达标
1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时
,P点的轨迹为(
)
A.双曲线和一条直线
情景导学
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声
音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双
曲线的有关问题。
问题导学
新知探究
如图，在直线
l 上取两个定点
在平面内，取定点
F1 , F 2，以点 F1 为圆心、线段
在以 F 2 为圆心、线段
我们知道，当点
2
2
解析:∵方程1+ + -2=1,∴(m-2)(m+1)<0,
解得-1<m<2,∴m的取值范围是(-1,2).
答案:D
)
4. 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知
1
tan∠PEF=
双曲线及其标准方程PPT课件(公开课)ppt文档
M
2、|MF2| － | MF 1| =2a (2a< |F1F2| )
F1
F2
3、若常数2a=0
F1
F2
4、若常数2a = | F1F2 |
F1
F2
5、若常数2a＞| F1F2 |
轨迹不存在
变式１ 已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)，平面上一动 点P，｜PF1|－|PF2|= 6，求点P的轨迹方程.
解: 由题知点P的轨迹是双曲线的右支，
根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：
x2 y2 a2b2 1 (a0,b0)
∵ 2a = 6, c=5 ∴ a = 3, c = 5
双曲线及其标准方程PPT课件(公开课)
1、复习
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹是 椭圆 .
动
画
Y Mx,y
2. 引入问题：
O
F 1c,0
F 2 c,0 X
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
平面上动点M到两定点距离的差为常数的轨迹是什么 ?
∴ a = 3, c = 5
∴ b2 = 52-32 =16
所以所求双曲线的标准方程为： x2 y2 1 9 16
走进高考
x2 y2
1.若双曲线 16 9 1 上的点P 到点
(5,0) 的距离是15，则点P 到点(5,0) 的
距离是（ D ） A.7 B. 23 C. 5或25 D. 7或23
所以所求双曲线的标准方程为：
x2 y2 1 或
y2 x2 1
9 16
9 16
课堂练习
2022年秋高中数学第三章圆锥曲线的方程3.3抛物线3.3.1抛物线及其标准方程课件新人教A版选择性
2
探究点三 利用抛物线的定义解决轨迹问题
【例3】 已知动点M(x,y)满足5 (-1)2 + 2=|3x-4y+2|,则动点M的轨迹是
(
)
A.椭圆 B.双曲线
C.直线 D.抛物线
答案 D
2
解析 方程 5 (-1) +
2
(-1) +
2 表示点
2 =|3x-4y+2|可化为
2
(-1) +
规律方法 定义法解决轨迹问题
根据动点坐标满足的方程判断其轨迹时,要注意结合两点间的距离公式以
及点到直线的距离公式,对所给方程进行适当变形,分析其几何意义,然后
结合有关曲线的定义作出判定.
变式训练2
一个动圆经过点A(2,0),并且和直线l:x=-2相切,则动圆圆心M的轨迹方程是
.
答案 y2=8
解析 设动圆的半径为R.因为动圆经过点A(2,0),所以|MA|=R.又因为动圆和
离之和最小,最小值为|AF|= √5 .
图①
(2)同理,|PF|与点P到准线x=-1的距离相等.
如图②所示,
过点B作BQ垂直于准线交准线于点Q,交抛物
线于点P1.
由题意知|P1Q|=|P1F|,
所以|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.
所以|PB|+|PF|的最小值为4.
图②
规律方法 求圆锥曲线上到两定点的距离之和最小的点的位置时,通常有
面宽为 2√6 米.
本节要点归纳
2
1
p=6;
若抛物线的标准方程为 x =-2py(p>0),则由(-3) =-2p×(-1),解得
探究点三 利用抛物线的定义解决轨迹问题
【例3】 已知动点M(x,y)满足5 (-1)2 + 2=|3x-4y+2|,则动点M的轨迹是
(
)
A.椭圆 B.双曲线
C.直线 D.抛物线
答案 D
2
解析 方程 5 (-1) +
2
(-1) +
2 表示点
2 =|3x-4y+2|可化为
2
(-1) +
规律方法 定义法解决轨迹问题
根据动点坐标满足的方程判断其轨迹时,要注意结合两点间的距离公式以
及点到直线的距离公式,对所给方程进行适当变形,分析其几何意义,然后
结合有关曲线的定义作出判定.
变式训练2
一个动圆经过点A(2,0),并且和直线l:x=-2相切,则动圆圆心M的轨迹方程是
.
答案 y2=8
解析 设动圆的半径为R.因为动圆经过点A(2,0),所以|MA|=R.又因为动圆和
离之和最小,最小值为|AF|= √5 .
图①
(2)同理,|PF|与点P到准线x=-1的距离相等.
如图②所示,
过点B作BQ垂直于准线交准线于点Q,交抛物
线于点P1.
由题意知|P1Q|=|P1F|,
所以|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.
所以|PB|+|PF|的最小值为4.
图②
规律方法 求圆锥曲线上到两定点的距离之和最小的点的位置时,通常有
面宽为 2√6 米.
本节要点归纳
2
1
p=6;
若抛物线的标准方程为 x =-2py(p>0),则由(-3) =-2p×(-1),解得
双曲线及其标准方程ppt课件
C.(0,-5),(0,5)
D.(0,- 7),(0, 7)
双曲线的定义
2
1.设 F1,F2 分别是双曲线 x2-24=1 的左、右焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|, 则△PF1F2 的面积等于 ( )
A.4 2
B.8 3
C.24
D.48
2.已知动点 P(x,y)满足 ( + 2)2 + 2- ( -2)2 + 2=2,则动点 P 的轨迹是 ( )
这两个定点叫做双曲线的焦点. 两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
y
M
F1 o F2 x
如何理解绝对值？若去掉绝对值则图像有何变化？
03 双曲线的标准方程
1. 建系：如图建立直角坐标系xOy，使x轴经 过点F1，F2，并且点O与线段F1F2中点重合.
y M
F1 O F2
x
2.设点:设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数=2a
利用定义求轨迹方程
P P127 习题3.2 第5题
如图,圆O的半径为定长 ,A是圆O外一定点,P是圆上任
意一点,线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q,当
O
点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?
A Q
P115 习题3.1 第6题 如图,圆O的半径为定长 ,A是圆O内一定点,P是圆上 任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点 Q,当点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?
A.椭圆 C.双曲线的左支
B.双曲线 D.双曲线的右支
双曲线的定义
22
【变式练习】
已知
P
是双曲线
双曲线的标准方程(1)课件高二上学期数学选择性
21，5
12345
内容索引
5. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)
a＝4，经过点
A1，4
310；
(2) 焦点在 y 轴上，且过点(3，－4 2)，94，5.
【解析】 (1) 当双曲线的焦点在 x 轴上时， 设双曲线的方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)． 将 a＝4 代入，得1x62 －by22＝1.
12345
内容索引
又点
A1，4
310在双曲线上，
所以116－196b02 ＝1，无解，故舍去．
当双曲线的焦点在 y 轴上时， 设双曲线的方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)． 将 a＝4 代入，得1y62 －bx22＝1，
将点 A 的坐标代入，得91×6106－b12＝1，
解得 b2＝9， 故所求双曲线的标准方程为1y62 －x92＝1.
内容索引
思考2►►► 若双曲线的焦点在y轴上，你能从焦点在x轴上的双曲线方程的结构 特征猜想此时的标准方程吗？怎样推导？
【解析】 ay22－bx22＝1(a>0，b>0)，推导略．
内容索引
思考3►►► 双曲线的标准方程有什么结构特征？ 【解析】 略 思考4►►► 两种形式双曲线的标准方程有哪些相同点？有哪些不同点？如何区 分？ 【解析】 略
(1) 方程表示双曲线； (2) 方程表示焦点在 x 轴上的双曲线； (3) 方程表示焦点在 y 轴上的双曲线． 【解析】 (1) 原方程可变形为|k|y－2 3－1－x2 k＝1. 若方程表示双曲线，则(|k|－3)(1－k)>0， 即1|k－|－k3>>00， 或1|k－|－k3<<00，， 解得 k<－3 或 1<k<3.
3.2.1 双曲线及其标准方程(课件
9A＋21265B＝1， 因为点 P，Q 在双曲线上，则2596A＋25B＝1，
A＝－116， 解得B＝19.
故双曲线的标准方程为y92－1x62 ＝1.
总结
求双曲线标准方程的步骤 (1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确 定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式． (2)定量：是指确定 a2，b2 的数值，常由条件列方程组求解． 提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方 程为 mx2＋ny2＝1 的形式，注意标明条件 mn＜0.
二．双曲线的标准方程
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
标准方程
ax22－by22＝1(a＞0，b＞0) ay22－bx22＝1 (a＞0，b＞0)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c 的关系
c2＝ a2＋b2
思考：如何从双曲线的标准方程判断焦点的位置？
焦点 F1，F2 的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲 线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若 x2 项的系数为正， 则焦点在 x 轴上；若 y2 项的系数为正，则焦点在 y 轴上．
题型二 双曲线中焦点三角形问题
例 2 若 F1，F2 是双曲线x92－1y62 ＝1 的两个焦点． (1)若双曲线上一点 M 到它的一个焦点的距离等于 16，求点 M 到另一个焦点 的距离；
(2)如图，若 P 是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2 的面积．
解：双曲线的标准方程为x92－1y62 ＝1，故 a＝3，b＝4，c＝ a2＋b2＝5. (1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点 M 到它的一个焦点的距离 等于 16，假设点 M 到另一个焦点的距离等于 x，则|16－x|＝6，解得 x＝10 或 x＝22. 故点 M 到另一个焦点的距离为 10 或 22. (2)将|PF2|－|PF1|＝2a＝6 两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， 则|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2 中，由余弦定理得 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|P|PFF1|·2||P2－F2||F1F2|2＝1020×－31200＝0，且∠F1PF2∈(0°，180°)， 所以∠F1PF2＝90°， 故 S△F1PF2 ＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.
人教版高中数学选修一3.3.1 抛物线及其标准方程 课件
6
p 4
[由抛物线的方程得2＝2＝2，再根据抛物线的定义，
可知所求距离为 4＋2＝6.]
4．如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4
米．水位下降 1 米后，水面宽________米．
2 6
[建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为 x2＝－
2py，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得 p＝1，所以 x2＝－2y.当 y
(2)已知抛物线的焦点在 y 轴上，可设方程为 x2＝2my(m≠0)，由焦点
到准线的距离为 5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两
条，它们的标准方程分别为 x2＝10y 和 x2＝－10y.
(3)∵点(－3，－1)在第三象限，
∴设所求抛物线的标准方程为
y2＝－2px(p>0)或 x2＝－2py(p>0)．
(－9)＝10，得 p＝2，故抛物线方程为 y2＝－4x.
由点 M(－9，y)在抛物线上，得 y＝±6，故点 M 的坐标为(－9,6)或(－
9，－6)．
6.若位于 y 轴右侧的动点 M 到
1
F2，0的距离比它到
1
y 轴的距离大2.
求点 M 的轨迹方程．
[解]由于位于 y 轴右侧的动点 M 到
题，并求出抛物线的标准方程。
如图所示，以直线 为 轴，线段的垂直平分线为轴，建立
平面直角坐标系，此时，抛物线的焦点为F
,0
2
设M , 是抛物线上一点，则M到F的距离为
=
( −
2
) + 2 ,
2
则M到直线的距离为 +
双曲线及其标准方程ppt课件
课后提升
1.必做题：P127页课本习题3.2第1，2，5题
2. 思考题（选做）:定位问题
某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告，正西、
正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其
它两个观测点晚4秒。已知各观测点到该中心的距离都是1020m，试
确定该巨响发生的位置。
（假定声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面内。）
−
= 令 = −
−
你能在y轴上找一点B，使得|OB|=b吗？
1
验证
设点
2
坐标法
4
化简
列式
3
绝对值
教学过程分析
3
通过图象，生成定义
绘制图象，合作探究
2
1
类比启发，方程推导
重
点
4
5
类比推理，举一反三
列表对比，加深理解
教学过程分析
方程推导
在学生脑海里留下更加深刻的印象。
通过学生的自主学习、小组合作、师生互
动，让学生学会交流、表达、质疑、反思。
04
01
02
03
谢
大
谢
家
5.及时练习，巩固所学
6.回顾小结，思维提升
7.课后延伸，探究发现
教学过程分析
复习回顾，课题导入
复习回顾：
椭圆及其标准方程
创设情境
导入课题：双曲线及其标准方程
教学过程分析
3
通过图象，生成定义
绘制图象，合作探究
2
1
类比启发，方程推导
4
类比推理，举一反三
5
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1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的__差__的__绝__对__值__ 等 双于曲常线数 ．这(小_于_两_|_F个_1_F定_2_|点且__不叫等做于双零曲)线的的点焦的点轨，迹_叫_两_做_ _焦__点__间__的__距__离____叫做双曲线的焦距．
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第三章 圆锥曲线与方程
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第三章 圆锥曲线与方程
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求双曲线的标准方程 已知双曲线通过 M(1,1)，N(－2,5)两点，求 双曲线的标准方程．
[思路导引] 定位置 ⇒ 设标准方程 ⇒ 将M，N代入 ⇒ 解方程组 ⇒ 求出标准方程
编队远赴亚丁湾，在索马里海域执行护航任 务．某日“马鞍山”舰哨兵监听到附近海域有快艇 的马达声，与“马鞍山”舰相距1 600 m的“千岛湖” 舰，3 s后也监听到了该马达声(声速为340 m/s)．如果把快艇视为一个动点，那么该动点满足 的条件是什么？它的轨迹是什么曲线呢？
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第三章 圆锥曲线与方程
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1．若动点 P 到 F1(－5,0)与 P 到 F2(5,0)的距离的差
为±8，则 P 点的轨迹方程是( )
A.2x52＋1y62 ＝1
B.2x52－1y62 ＝1
C.1x62 ＋y92＝1
D.1x62 －y92＝1
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[强化拓展] (1)定义中的条件2a＜|F1F2|不可缺少． 若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是以F1或F2为端点的 射线； 若2a＞|F1F2|，则动点的轨迹不存在． (2)定义中的常数2a是小于|F1F2|且大于0的实数． 若a＝0，则动点的轨迹是线段F1F2的中垂线． (3)注意定义中的关键词“绝对值”. 若去掉定义中的 “绝对值”三个字，则动点的轨迹只能是双曲线的 一支．
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[提示] 用A、B分别表示“马鞍山”舰和“千岛湖”舰 所在的位置，点M表示快艇，则|MB|－|MA|＝340×3 ＝1 020(小于|AB|＝1 600)．因此，点M(快艇)的运动 轨迹应是双曲线的一支．
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_ay_22_－__xb_22_＝__1_ (a>0，b>0) (0，－c)，(0，c)
c2＝__a_2＋__b_2__
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[强化拓展] (1)①在椭圆的定义中要求 a＞b＞0，而在双曲线的定 义中 a＞0，b＞0，a 不一定大于 b. ②双曲线标准方程中，a、b 确定 了双曲线的形状和大小，是双曲线 定形的条件．其中 c2＝a2＋b2，双 曲线中的 a、b、c 构成阴影直角三 角形的三条边，如图所示，正确理解 a、b、c 的几何 意义，对解决双曲线的有关问题有很大帮助．
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2．双曲线的标准方程 焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图 形
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标准方程
焦点坐标 a，b，c 的关系
__xa_22－__by_22_＝__1_ (a>0，b>0) (－c,0)，(c,0)
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2．已知方程1＋x2k－1－y2 k＝1 表示双曲线，则 k 的取
值范围是( )
A．－1＜k＜1
B．k＞0
C．k≥0
D．k＞1 或 k＜－1
解析： ∵方程1＋x2 k－1－y2 k＝1 表示双曲线，
∴(1＋k)－1＜k＜1.
答案： A
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(2)焦点位置的判断方法 双曲线的标准方程中，焦点的位置由x，y前的符 号来确定．如果x2前的符号为正，焦点就在x轴上 ；如果y2前的符号为正，则焦点就在y轴上．同学 可以这样来记“焦点位置看符号，焦点跟着正的 走”． (3)双曲线的标准方程可以统一为mx2＋ny2＝1(mn ＜0)．当焦点所在的坐标轴不易判断时，可设此 种形式．
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§3 双曲线 3．1 双曲线及其标准方程
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我海军“马鞍山”舰和“千岛湖”舰组成第四批护航
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4．已知圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A、B 都在双曲线上，且A、B两点恰好将此双曲线两焦点 间线段三等分，求双曲线的标准方程．
解析： 在 x2＋y2－4x－9＝0 中令 x＝0，得 A(0，－ 3)，B(0,3)， ∴|AB|＝6，∴双曲线的焦距 2c＝3×6＝18，∴c＝9. 又 a＝|A2B|＝3， ∴b2＝c2－a2＝72， ∴所求双曲线的标准方程为y92－7x22 ＝1.
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解析： 由题知 P 点的轨迹是双曲线， 因为 c＝5，a＝4，所以 b2＝c2－a2＝25－16＝9.
因为双曲线的焦点在 x 轴上， 所以 P 点的轨迹方程为1x62－y92＝1. 答案： D
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3．双曲线1x62－y92＝1 的焦点坐标为________．
解析： c2＝16＋9＝25，∴c＝5，又焦点在x轴 上，∴焦点坐标为(－5,0)，(5,0)． 答案： (－5,0)，(5,0)
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