高中数学第三章圆锥曲线与方程3.3.1双曲线及其标准方程课件

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1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的__差__的__绝__对__值__ 等 双于曲常线数 ．这(小_于_两_|_F个_1_F定_2_|点且__不叫等做于双零曲)线的的点焦的点轨，迹_叫_两_做_ _焦__点__间__的__距__离____叫做双曲线的焦距．
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第三章 圆锥曲线与方程
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求双曲线的标准方程 已知双曲线通过 M(1,1)，N(－2,5)两点，求 双曲线的标准方程．
[思路导引] 定位置 ⇒ 设标准方程 ⇒ 将M，N代入 ⇒ 解方程组 ⇒ 求出标准方程
编队远赴亚丁湾，在索马里海域执行护航任 务．某日“马鞍山”舰哨兵监听到附近海域有快艇 的马达声，与“马鞍山”舰相距1 600 m的“千岛湖” 舰，3 s后也监听到了该马达声(声速为340 m/s)．如果把快艇视为一个动点，那么该动点满足 的条件是什么？它的轨迹是什么曲线呢？
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1．若动点 P 到 F1(－5,0)与 P 到 F2(5,0)的距离的差
为±8，则 P 点的轨迹方程是( )
A.2x52＋1y62 ＝1
B.2x52－1y62 ＝1
C.1x62 ＋y92＝1
D.1x62 －y92＝1
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[强化拓展] (1)定义中的条件2a＜|F1F2|不可缺少． 若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是以F1或F2为端点的 射线； 若2a＞|F1F2|，则动点的轨迹不存在． (2)定义中的常数2a是小于|F1F2|且大于0的实数． 若a＝0，则动点的轨迹是线段F1F2的中垂线． (3)注意定义中的关键词“绝对值”. 若去掉定义中的 “绝对值”三个字，则动点的轨迹只能是双曲线的 一支．
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[提示] 用A、B分别表示“马鞍山”舰和“千岛湖”舰 所在的位置，点M表示快艇，则|MB|－|MA|＝340×3 ＝1 020(小于|AB|＝1 600)．因此，点M(快艇)的运动 轨迹应是双曲线的一支．
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_ay_22_－__xb_22_＝__1_ (a>0，b>0) (0，－c)，(0，c)
c2＝__a_2＋__b_2__
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[强化拓展] (1)①在椭圆的定义中要求 a＞b＞0，而在双曲线的定 义中 a＞0，b＞0，a 不一定大于 b. ②双曲线标准方程中，a、b 确定 了双曲线的形状和大小，是双曲线 定形的条件．其中 c2＝a2＋b2，双 曲线中的 a、b、c 构成阴影直角三 角形的三条边，如图所示，正确理解 a、b、c 的几何 意义，对解决双曲线的有关问题有很大帮助．
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2．双曲线的标准方程 焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图 形
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标准方程
焦点坐标 a，b，c 的关系
__xa_22－__by_22_＝__1_ (a>0，b>0) (－c,0)，(c,0)
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2．已知方程1＋x2k－1－y2 k＝1 表示双曲线，则 k 的取
值范围是( )
A．－1＜k＜1
B．k＞0
C．k≥0
D．k＞1 或 k＜－1
解析： ∵方程1＋x2 k－1－y2 k＝1 表示双曲线，
∴(1＋k)－1＜k＜1.
答案： A
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(2)焦点位置的判断方法 双曲线的标准方程中，焦点的位置由x，y前的符 号来确定．如果x2前的符号为正，焦点就在x轴上 ；如果y2前的符号为正，则焦点就在y轴上．同学 可以这样来记“焦点位置看符号，焦点跟着正的 走”． (3)双曲线的标准方程可以统一为mx2＋ny2＝1(mn ＜0)．当焦点所在的坐标轴不易判断时，可设此 种形式．
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§3 双曲线 3．1 双曲线及其标准方程
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我海军“马鞍山”舰和“千岛湖”舰组成第四批护航
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4．已知圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A、B 都在双曲线上，且A、B两点恰好将此双曲线两焦点 间线段三等分，求双曲线的标准方程．
解析： 在 x2＋y2－4x－9＝0 中令 x＝0，得 A(0，－ 3)，B(0,3)， ∴|AB|＝6，∴双曲线的焦距 2c＝3×6＝18，∴c＝9. 又 a＝|A2B|＝3， ∴b2＝c2－a2＝72， ∴所求双曲线的标准方程为y92－7x22 ＝1.
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解析： 由题知 P 点的轨迹是双曲线， 因为 c＝5，a＝4，所以 b2＝c2－a2＝25－16＝9.
因为双曲线的焦点在 x 轴上， 所以 P 点的轨迹方程为1x62－y92＝1. 答案： D
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3．双曲线1x62－y92＝1 的焦点坐标为________．
解析： c2＝16＋9＝25，∴c＝5，又焦点在x轴 上，∴焦点坐标为(－5,0)，(5,0)． 答案： (－5,0)，(5,0)
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