双曲线的标准方程动态演示_图文
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双曲线及其标准方程ppt课件
x2
y2
变式．给出曲线方程
＋
＝1.
4＋k 1－k
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围.
y2 x2
例 5．已知双曲线 C 的方程是 － ＝1，其上下焦点分别是 F2，
16 20
F1，点 M 在双曲线 C 上，且|MF1|＝9，则|MF2|＝________.
归纳总结
y
图形
y
P
P
x
O
F1
F1 O F2
方程
焦点
a,b,c之间的关系
F2
x
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c)，F2(0,c)
c2=a2+b2
a，b大小不定
椭圆与双曲线的区别
O
焦点在对应轴上
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
① 方程用“－”号连接；
y
F2
F1
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
② c2=a2+b2 ；
③分母是a2, b2, 且a>0, b>0，但a, b大小不定；
④ 如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；
如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上.
x
F1 O
F2
结论：已知F1，F2分别是双曲线C：
双曲线定义与方程(带动画)
(1)F1F2延长线和反向延长线(两条射线) (2)轨迹不存在 (3)线段F1F2的垂直平分线
F
1
M
o
F
2
3.双曲线的标准方程
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴， 如何求这优美的曲线的方程？ 线段F1F 2的中点为原点建立直角坐 标系 2.设点． 设M（x , y）,双曲线的焦 距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式． |MF1|
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数2a （小于︱F1F2︱） 的点的轨迹叫做双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距. 注意
M
(1)距离之差的绝对值
| |MF1| - |MF2| | = 2a
|MF1| - |MF2| = 2a
F
1
o
F2
x2 y2 2.已知方程 1 9k k 3 3 k 9且 k 6； (1)方程表示椭圆，则 k的取值范围是 __________ ______
小结 ----双曲线定义及标准方程
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
M F2
y
图象
F1
o
F2
x
2 2
2
(c a ) x a y a (c a )
2 2 2 2 2 2 2 2
令c2－a2=b2
x y 2 1 2 a b
2
2
双曲线的标准方程
y
M
y
M F2 x
F
O
1
F
2
x
O
F
1
M
o
F
2
3.双曲线的标准方程
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴， 如何求这优美的曲线的方程？ 线段F1F 2的中点为原点建立直角坐 标系 2.设点． 设M（x , y）,双曲线的焦 距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式． |MF1|
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数2a （小于︱F1F2︱） 的点的轨迹叫做双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距. 注意
M
(1)距离之差的绝对值
| |MF1| - |MF2| | = 2a
|MF1| - |MF2| = 2a
F
1
o
F2
x2 y2 2.已知方程 1 9k k 3 3 k 9且 k 6； (1)方程表示椭圆，则 k的取值范围是 __________ ______
小结 ----双曲线定义及标准方程
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
M F2
y
图象
F1
o
F2
x
2 2
2
(c a ) x a y a (c a )
2 2 2 2 2 2 2 2
令c2－a2=b2
x y 2 1 2 a b
2
2
双曲线的标准方程
y
M
y
M F2 x
F
O
1
F
2
x
O
双曲线及其标准方程(共19张PPT)
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y2 a2 b2 1(a 0,b 0)
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)
F（±c，0） F（0，±c）
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
y
P
F1 O F2 x
双曲线的更多秘密， 等着我们一起探索！
绘制距离之差为定值 的点的运动轨迹
设︱FF2︱=2a
-6-
运动过程中，平面上动点M到两定点距离的差为常数
特点观察
-7-
绘制距离之差为定值的 点的运动轨迹过程中
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，
|MF2||MF1|=|F1F|=2a
由①②综合可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a
焦点在X轴上的双曲线标准方程
c2=a2+b2
-12-
焦点位置改变，标准方程如何变化？
y
M
F1 O F2 x
y M
F2 x
O
F1
x2 a2
F2(c,0)
c2=a2+b2
(a 0，b 0)
y2 x2 a2 b2 1
F1(0,-c),F2(0,c)
-13-
根据标准方程判断焦点位置
2.3 双曲线及其标准方程
生活中的双曲线
发电厂冷却塔外形线
-2-
巴西利亚大教堂
花瓶轮廓线
反比例函数图像
-3-
数学中的双曲线
F1 o F2
双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程ppt课件
C.(0,-5),(0,5)
D.(0,- 7),(0, 7)
双曲线的定义
2
1.设 F1,F2 分别是双曲线 x2-24=1 的左、右焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|, 则△PF1F2 的面积等于 ( )
A.4 2
B.8 3
C.24
D.48
2.已知动点 P(x,y)满足 ( + 2)2 + 2- ( -2)2 + 2=2,则动点 P 的轨迹是 ( )
这两个定点叫做双曲线的焦点. 两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
y
M
F1 o F2 x
如何理解绝对值？若去掉绝对值则图像有何变化？
03 双曲线的标准方程
1. 建系：如图建立直角坐标系xOy，使x轴经 过点F1，F2，并且点O与线段F1F2中点重合.
y M
F1 O F2
x
2.设点:设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数=2a
利用定义求轨迹方程
P P127 习题3.2 第5题
如图,圆O的半径为定长 ,A是圆O外一定点,P是圆上任
意一点,线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q,当
O
点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?
A Q
P115 习题3.1 第6题 如图,圆O的半径为定长 ,A是圆O内一定点,P是圆上 任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点 Q,当点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?
A.椭圆 C.双曲线的左支
B.双曲线 D.双曲线的右支
双曲线的定义
22
【变式练习】
已知
P
是双曲线
双曲线定义带动画PPT课件
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
M
② |F1F2|=2c ——焦距.
说明： 0<2a<2c ；
F
1
oF
2
x
思考：
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？ (1)两条射线
（2）若2a>2c,则轨迹是什么？ (2)不表示任何轨迹 （3）若2a=0,则轨迹是什么？ (3)线段F1F2的垂直平分线
第6页/共20页
y
y
M M
F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关 系
x2 y2 1 a2 b2
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
第19页/共20页
感谢您的欣赏！
第20页/共20页
4.化简.
第7页/共20页
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
( (x c)2 y2 )2 ( (x c)2 y2 2a)2
cx a2 a (x c)2 y2
F1
(c2 a2 )x2 a2y2 a2(c2 a2)
令c2－a2=b2
x2 a2
y2 b2
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0)
焦点
a.b.c的关 系
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
第12页/共20页
课堂巩固
已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上一点到焦点的 距离差的绝对值等于6，则
M
② |F1F2|=2c ——焦距.
说明： 0<2a<2c ；
F
1
oF
2
x
思考：
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？ (1)两条射线
（2）若2a>2c,则轨迹是什么？ (2)不表示任何轨迹 （3）若2a=0,则轨迹是什么？ (3)线段F1F2的垂直平分线
第6页/共20页
y
y
M M
F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关 系
x2 y2 1 a2 b2
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
第19页/共20页
感谢您的欣赏！
第20页/共20页
4.化简.
第7页/共20页
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
( (x c)2 y2 )2 ( (x c)2 y2 2a)2
cx a2 a (x c)2 y2
F1
(c2 a2 )x2 a2y2 a2(c2 a2)
令c2－a2=b2
x2 a2
y2 b2
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0)
焦点
a.b.c的关 系
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
第12页/共20页
课堂巩固
已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上一点到焦点的 距离差的绝对值等于6，则
高中数学人选修2-1第二章 2.3.1 双曲线的标准方程
[例2] 如果方程
x2
y2
1
2m m1
表示双曲线，求m的取值范围.
思考：
方程 x2 y2 1表示焦点在y轴
2m m1
双曲线时，则m的取值范围__________.
[例2] 如果方程
x2
y2
1
2m m1
表示双曲线，求m的取值范围.
思考：
方程 x2 y2 1表示焦点在y轴
2m m1
双曲线时，则m的取值范围___m_<_－__2___.
(3) 若2a=0,则轨迹是什么？
思考：
(1) 若2a=2c,则轨迹是什么？ 两条射线
(2) 若2a>2c,则轨迹是什么？ 不表示任何轨迹
(3) 若2a=0,则轨迹是什么？ 线段F1F2的垂直平分线
双曲线的标准方程
双曲线的标准方程 1. 建系.
y
以F1,F2所在的直线
x
为x轴，线段F1F2的中点
变式训练1：已知两定点F1(－5, 0)、
F2(5, 0)，动点P满足：||PF1|－|PF2|| =10，求动点P的轨迹方程.
变式训练2：已知两定点F1(－5,
0)、F2(5, 0)，动点P满足：|PF1|－|PF2| =6，求动点P的轨迹方程.
[例2] 如果方程
x2
y2
1
2m m1
表示双曲线，求m的取值范围.
轴上？
***问题*** 1. 如何判断双曲线的焦点在哪个
轴上？ 2. 双曲线的标准方程与椭圆的标
准方程有何区别与联系?
[例1] 已知两定点F1(－5, 0)、F2(5, 0)，动点P满足：||PF1|－|PF2||=6，求动 点P的轨迹方程.
双曲线第一课定义(带动画)
如果我是双曲线，你就是那渐近线 如果我是反比例函数，你就是那坐标轴 虽然我们有缘，能够生在同一个平面 然而我们又无缘，漫漫长路无交点 为何看不见，等式成立要条件 难到正如书上说的，无限接近不能达到 为何看不见，明月也有阴晴圆缺 此事古难全，但愿千里共婵娟
(2) 双曲线的标准方程为______________
(3)双曲线上一点Ｐ， |PF1|=10, 则|PF2|=_4_或__1_6____
小结 ----双曲线定义及标准方程
定义 图象
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M M
F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关 系
cx a2 a (x c)2 y2
F1
(c2 a2)x2 a2y2 a2(c2 a2)
令c2－a2=b2
x2 a2
y2 b2
1
y
M
o
双曲线的标准方程
y
M
y M
F
1
OF
2
x
F2 x
O
F1
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
(a 0，b 0)
北京摩天大楼
巴西利亚大教堂
法拉利主题公园
花瓶
反比例函数的图像
冷却塔
罗兰导航系统原理
画双曲线
演示实验：用拉链画双曲线
画双曲线
演示实验：用拉链画双曲线
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)， |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a
双曲线及其标准方程-PPT精选文档
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
说明
（1）2a<2c ；
思考：
（2）2a >0 ；
F1 o F2
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？ (1)两条射线
（2）若2a>2c,则轨迹是什么？ (2)不表示任何轨迹 （3）若2a=0,则轨迹是什么？ (3)线段F1F2的垂直平分线
4.化简
(xc)2y2(xc)2y22a
2
2
( x c ) 2 y 2 2 a ( x c ) 2 y 2
c xa2a(xc)2y2
(c 2 a 2 )x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 )
c2a2b2
x2 a2
例3.(课本第54页例)已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆
炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点
的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
∴可设双曲线方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 ( x ≥ 3) . 9 16
课本例2
练习
写出适合下列条件的双曲线的标准方程
1.a=4,b=3,焦点在x轴上; 2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5) 3.a=4,过点(1, 4 1 0 )
双曲线的标准方程动态演示ppt课件
思考：
方程 x2 y2 1 表示焦点在y轴双曲线时， 2m m1
则m的取值范围____m_______2__.
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
y
M
F1 O F2 x
3.列式 |MF1| - |MF2|=±2a
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
4.化简
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
2
2
(x c)2 y 2 2a (x c)2 y 2
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2Βιβλιοθήκη y2 a2x2 b2
1(a
0,b
0)
F（±c，0） F（0，±c）
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设所求方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 . 9 16
变式训练 1:已知两定点 F1(5, 0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 10 ,求动点 P 的轨迹方程. 解： ∵ F1F2 10 , PF1 PF2 10 ∴ 点 P 的轨迹是两条射线, 轨迹方程为 y 0( x ≥ 5或x ≤ 5) . 变式训练 2:已知两定点 F1(5, 0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 6 ,求动点 P 的轨迹方程.
方程 x2 y2 1 表示焦点在y轴双曲线时， 2m m1
则m的取值范围____m_______2__.
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
y
M
F1 O F2 x
3.列式 |MF1| - |MF2|=±2a
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
4.化简
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
2
2
(x c)2 y 2 2a (x c)2 y 2
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2Βιβλιοθήκη y2 a2x2 b2
1(a
0,b
0)
F（±c，0） F（0，±c）
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设所求方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 . 9 16
变式训练 1:已知两定点 F1(5, 0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 10 ,求动点 P 的轨迹方程. 解： ∵ F1F2 10 , PF1 PF2 10 ∴ 点 P 的轨迹是两条射线, 轨迹方程为 y 0( x ≥ 5或x ≤ 5) . 变式训练 2:已知两定点 F1(5, 0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 6 ,求动点 P 的轨迹方程.
高中数学高二下册-12.5 双曲线的标准方程 课件
一定不要把别人都当傻子，事实上，所有你能遇到的人都比你聪明。如果你能抱着这样的心态为人处世，那么你的人脉会越来越宽，财富越来 越多，人生也就越来越好！
身体健康，学习进步！ 有理想在的地方，地狱就是天堂。
有的时候一句古诗要比一个外语单词有用的多。
定义解读
2、如果把括号内的附 加条件改为2a=|F1F2|， 那么轨迹是什么？ 改成2a>|F1F2|呢?
探究双曲线的方程
建系 列式 化简 证明
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b和方程形式有什么对 应关系？
例1、（求双曲线的标准方程）
已知 M(点 x,y)与F 点 1(3,0)和F 点 2(3,0)的距 离之差的绝 4， 对求 值 M的 点 等轨 于迹方
12.5双曲线的标准方程
回顾椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离和等 于常数2a（2a>|F1F2|）的点的轨迹 叫做椭圆
提出并探究新的轨迹问题
平面内与两个定点F1，F2距离之 差为定值的点的轨迹是什么？
几何画板
双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2距离之差的绝对值等 于常数2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲 线。
这两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两个焦 点之间的距离|F1F2|叫做焦距。
定义解读
1、定义中的“绝对值”必不可少，如果不 含绝对值，表示的是双曲线的单支，即若 |PF1|-|PF2|=2a(2a>0),表示的是靠近F2的 一支，若|PF2|-|PF1|=2a(2a>0),表示的是 靠近F1的一支，
( 15, 2)，求双曲线的标准.方程 3
课堂小结
1、双曲线的概念 ①文字叙述 ②数学式表示 2、双曲线的标准方程 ①方程形式②位置特征③数量关系 ④推导方法 3、求双曲线的标准方程 ①判定方程类型②确定基本参数 4、注意与椭圆的类比
身体健康，学习进步！ 有理想在的地方，地狱就是天堂。
有的时候一句古诗要比一个外语单词有用的多。
定义解读
2、如果把括号内的附 加条件改为2a=|F1F2|， 那么轨迹是什么？ 改成2a>|F1F2|呢?
探究双曲线的方程
建系 列式 化简 证明
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b和方程形式有什么对 应关系？
例1、（求双曲线的标准方程）
已知 M(点 x,y)与F 点 1(3,0)和F 点 2(3,0)的距 离之差的绝 4， 对求 值 M的 点 等轨 于迹方
12.5双曲线的标准方程
回顾椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离和等 于常数2a（2a>|F1F2|）的点的轨迹 叫做椭圆
提出并探究新的轨迹问题
平面内与两个定点F1，F2距离之 差为定值的点的轨迹是什么？
几何画板
双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2距离之差的绝对值等 于常数2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲 线。
这两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两个焦 点之间的距离|F1F2|叫做焦距。
定义解读
1、定义中的“绝对值”必不可少，如果不 含绝对值，表示的是双曲线的单支，即若 |PF1|-|PF2|=2a(2a>0),表示的是靠近F2的 一支，若|PF2|-|PF1|=2a(2a>0),表示的是 靠近F1的一支，
( 15, 2)，求双曲线的标准.方程 3
课堂小结
1、双曲线的概念 ①文字叙述 ②数学式表示 2、双曲线的标准方程 ①方程形式②位置特征③数量关系 ④推导方法 3、求双曲线的标准方程 ①判定方程类型②确定基本参数 4、注意与椭圆的类比
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双曲线的标准方程动态演示_图文.ppt
复习
1. 椭圆的定义 平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
2. 引入问题：
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数
的点的轨迹是什么呢？
拉链双曲线
以上可以作为椭圆与双曲线另一种产生方法 .
解:由已知得
根据双曲线的定义,点Q的轨迹是以O,A为焦 点，2a=r的双曲线
几何画板演示轨迹
练习
1
.
D
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
x2
y2
2.⑴证明椭圆 25 + 9 = 1
与双曲线x2-15y2=15的焦点相同.
⑵若此椭圆与双曲线的一个交点P
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
说明
（1）2a<2c ；
思考：
（2）2a >0 ；
F1 o F2
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？ (1)两条射线
（1）
√ （2）
×
（3）
√ （4）
×
练习2.写出以下双曲线的焦点坐标 F(±5,0) F(0,±5)
例题讲解
变式2答案
练习3
写出适合下列条件的双曲线的标准方程
1.a=4,b=3,焦点在x轴上;
2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,-5)
3.焦点在x轴上，经过点
4.a=4,过点(1,
P
为P，F为焦点，求|PF|
F1
F2
定义 | |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|） 图象
方程
焦点
a.b.c 的关系
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
双曲线图象
问题2：如果把上述定义改为:到两定点
距离之差
为常数,那么点的轨迹会发生怎样的变化？ 实验探究
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F1|=2a
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=|F1F2|=2a 由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
同理,直线BM的斜率是 由已知有
化简,得点M的轨迹方程为
进一步分析,可以发现: 一个动点M与两个定点A、B连线的斜率之积是 一个正常数n.则动点M的轨迹为双曲线（扣除 这两个定点）
当斜率之积是一个负常数n(n<0)时呢？ 当n=-1时,动点M的轨迹为圆（扣除这两个点）. 当n<0且n -1时,动点M的轨迹为椭圆（扣除这两 个定点）.
与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为
|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线
在靠近B处的一支上.
如图所示，建立直角坐标系xOy,使A、B两点在x轴上，并
且点O与线段AB的中点重合
设爆炸点P的坐标为(x,y)，
y
P
则
即 2a=680，a=340
Ao Bx
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
)
例2:如果方程
线，求m的取值范围.
解:
表示双曲
思考：
方程
表示焦点在y轴双曲线时，
则m的取值范围_____________.
例3.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B
地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解:由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地
试求点M的轨迹方程.与2.2例3比较,你有什
么发现?
分析:设点M的坐标为(x,y),那 么直线AM,BM的斜率就可以用含 x,y的式子表示,由于直线AM,BM 的斜率之积是 ,因此,可以建 立x,y之间的关系式,得出点M的 轨迹方程
y M
Ao B
x
解:设点M的坐标为(x,y),因为点A的坐标是(-5,0), 所以直线AM的斜率是
答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处 测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方 程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的 准确位置.这是双曲线的一个重要应用.
y
C P
A o Bx
设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线
AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是 ,
3.列式 |MF1| - |MF2|=±2a
y
M
F1 O F2 x
4.化简
此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准
方程
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
y
M
M
F1 O F2 x
F2 x
O
F1
问题
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
看
前的系数，哪一个为正
，则在哪一个轴上
2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区 别与联系?
双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭圆
双曲线
定义
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|－|MF2||=2a
方程
焦点
a.b.c的关 系
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
练习1.判断下列方程是否表示双曲线，若是 ，求出三量 a,b,c 的值
（2）若2a>2c,则轨迹是什么？ (2)不表示任何轨迹 （3）若2a=0,则轨迹是什么？ (3)线段F1F2的垂直平分线
双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤： 1. 建系.
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2.设点．
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
复习
1. 椭圆的定义 平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
2. 引入问题：
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数
的点的轨迹是什么呢？
拉链双曲线
以上可以作为椭圆与双曲线另一种产生方法 .
解:由已知得
根据双曲线的定义,点Q的轨迹是以O,A为焦 点，2a=r的双曲线
几何画板演示轨迹
练习
1
.
D
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
x2
y2
2.⑴证明椭圆 25 + 9 = 1
与双曲线x2-15y2=15的焦点相同.
⑵若此椭圆与双曲线的一个交点P
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
说明
（1）2a<2c ；
思考：
（2）2a >0 ；
F1 o F2
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？ (1)两条射线
（1）
√ （2）
×
（3）
√ （4）
×
练习2.写出以下双曲线的焦点坐标 F(±5,0) F(0,±5)
例题讲解
变式2答案
练习3
写出适合下列条件的双曲线的标准方程
1.a=4,b=3,焦点在x轴上;
2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,-5)
3.焦点在x轴上，经过点
4.a=4,过点(1,
P
为P，F为焦点，求|PF|
F1
F2
定义 | |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|） 图象
方程
焦点
a.b.c 的关系
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
双曲线图象
问题2：如果把上述定义改为:到两定点
距离之差
为常数,那么点的轨迹会发生怎样的变化？ 实验探究
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F1|=2a
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=|F1F2|=2a 由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
同理,直线BM的斜率是 由已知有
化简,得点M的轨迹方程为
进一步分析,可以发现: 一个动点M与两个定点A、B连线的斜率之积是 一个正常数n.则动点M的轨迹为双曲线（扣除 这两个定点）
当斜率之积是一个负常数n(n<0)时呢？ 当n=-1时,动点M的轨迹为圆（扣除这两个点）. 当n<0且n -1时,动点M的轨迹为椭圆（扣除这两 个定点）.
与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为
|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线
在靠近B处的一支上.
如图所示，建立直角坐标系xOy,使A、B两点在x轴上，并
且点O与线段AB的中点重合
设爆炸点P的坐标为(x,y)，
y
P
则
即 2a=680，a=340
Ao Bx
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
)
例2:如果方程
线，求m的取值范围.
解:
表示双曲
思考：
方程
表示焦点在y轴双曲线时，
则m的取值范围_____________.
例3.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B
地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解:由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地
试求点M的轨迹方程.与2.2例3比较,你有什
么发现?
分析:设点M的坐标为(x,y),那 么直线AM,BM的斜率就可以用含 x,y的式子表示,由于直线AM,BM 的斜率之积是 ,因此,可以建 立x,y之间的关系式,得出点M的 轨迹方程
y M
Ao B
x
解:设点M的坐标为(x,y),因为点A的坐标是(-5,0), 所以直线AM的斜率是
答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处 测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方 程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的 准确位置.这是双曲线的一个重要应用.
y
C P
A o Bx
设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线
AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是 ,
3.列式 |MF1| - |MF2|=±2a
y
M
F1 O F2 x
4.化简
此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准
方程
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
y
M
M
F1 O F2 x
F2 x
O
F1
问题
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
看
前的系数，哪一个为正
，则在哪一个轴上
2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区 别与联系?
双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭圆
双曲线
定义
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|－|MF2||=2a
方程
焦点
a.b.c的关 系
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
练习1.判断下列方程是否表示双曲线，若是 ，求出三量 a,b,c 的值
（2）若2a>2c,则轨迹是什么？ (2)不表示任何轨迹 （3）若2a=0,则轨迹是什么？ (3)线段F1F2的垂直平分线
双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤： 1. 建系.
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2.设点．
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)