第八篇第八节曲线与方程

第
第 八 章
八 节 曲
解
线
析
与
几
方
何
程
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考纲点击 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系
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1．动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则
点P的轨迹是
()
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．两条射线
D．一条射线
即y2＋5x＋5＝0
答案：y2＋5x＋5＝0
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5．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点 M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝
|MQ|，则Q点的轨迹方程是________．
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解析：设Q(x，y)，P(x0，y0)
则xy＋＋22yx00＝＝2－，1，
即xy00＝＝4－－2y－x，
x1＝1＋λx－λ， y1＝1＋λy0－λ.
②
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将①式代入②式，消去y0，得
x1＝1＋λx－λ， y1＝1＋λ2x2－λ1＋λy－λ.
③
又点B在抛物线y＝x2上，所以y1＝x21， 再将③式代入y1＝x21，得 (1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝[(1＋λ)x－λ]2，
(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝(1＋λ)2x2－2λ(1＋λ)x＋λ2，
方程叫做曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线.
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2．直接法求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上
任意一点M的坐标； (2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}； (3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0； (4)化方程f(x，y)＝0为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
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[做一题] [例2] 如图，已知定点F(－1,0)、N(1,0)，以 线段FN为对角线作周长是4 2的平行四边形
uuur MNEF.平面上的动点G满足|OG |＝2(O为坐标 原点)． 求点E、M所在曲线C1的方程及动点G的轨迹C2的方程．
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[自主解答] 因为四边形MNEF为周长为4 2 的平行四边形，所以 点E到点F、N的距离之和是2 2， 又|NF|＝2<2 2， 由椭圆的定义知，曲线C1为椭圆，a＝ 2，c＝1，b＝1. 故椭圆C1的方程为x22＋y2＝1.
A，B两点的坐标满足方程组
3x2＋4y2＝12c2， y＝ 3x－c.
消去y并整理，得
5x2－8cx＝0，解得x1＝0，x2＝85c.
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得方程组的解xy11＝＝－0， 3c，
x2＝85c，
y2＝3
5
3 c.
不妨设A(85c，353c)，B(0，－ 3c)．
设点M的坐标为(x，y)，则 uAuMuur＝(x－85c，y－353c)，
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2．用代入法求轨迹方程的关键是寻求关系式：x′＝f(x， y)，y′＝g(x，y)，然后代入已知曲线．求对称曲线(轴 对称、中心对称等)方程实质上也是用代入法(相关点 法)解题．
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[通一类] 3．由抛物线y2＝2x上任意一点P向其准线l引垂线，垂
足为Q，连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的 直线交于点R，求点R的轨迹方程．
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[做一题] [例1] 已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0) 连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)． (1)求动点P的轨迹C的方程： (2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状．
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[自主解答] (1)由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零， 所以kPM·kPN＝x＋y 1·x－y 1＝λ， 整理得x2－yλ2＝1(λ≠0，x≠±1)． 即动点P的轨迹C的方程为x2－yλ2＝1(λ≠0，x≠±1)．
答案：D
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4．已知点A(－2,0)、B(－3,0)，动点P(x，y)满足
uur uuur PA·PB ＝x2＋1，则点P的轨迹方程是________．
uur
uuur
解析：由题意得 PA＝(－2－x ，－y)， PB ＝(－3－x，
uur uuur －y)∴ PA·PB＝(－2－x)(－3－x)＋(－y)2＝x2＋1.
uuur
BM ＝(x，y＋ 3c)．
由y＝
3(x－c)，得c＝x－
3 3 y.
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于是
uAuMuur ＝(8153y－35x，85y－3 5 3x)，
uuur BM ＝(x，
3x)．
uuuur uuur 由 AM ·BM ＝－2，
即(8153y－35x)·x＋(85y－353x)· 3x＝－2， 化简得18x2－16 3xy－15＝0.
(k24＋k22)2＋k2＋4 2
＝ 2· (kk22＋＋21)2＝ 2·
(k2＋1)＋1k2＋1 1＋2≤ 22，
当且仅当 k＝0，上式取等号.
∴当
k＝0
时，△OAB
的面积取最大值为
2 2.
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[悟一法] 如果动点满足的几何条件就是一些与定点、定直 线有关的几何量的等量关系，而该等量关系又易于表 达成含x，y的等式，从而可直接得到轨迹方程，这种 求轨迹方程的方法称为直接法．
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解：设P(x1，y1)，R(x，y)则Q(－12，y1)，F(12，0)， ∴直线OP的方程为y＝xy11x，① 直线FQ的方程为y＝－y1(x－12)，② 则①②得x1＝1－2x2x，y1＝1－2y2x，将其代入y12＝2x1， 可得y2＝－2x2＋x.即点R的轨迹方程为y2＝－2x2＋x.
[错解] (1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．
由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，即
a－c2＋b2
＝2c，整理得2(
c a
)2＋
c a
－1＝
0，得ac＝－1(舍)，或ac＝12.所以e＝21.
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(2)由(1)知a＝2c，b＝ 3c，
可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，
直线PF2的方程为y＝ 3(x－c)．
2λ(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ(1＋λ)＝0.
因λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x－y－1＝0.
故所求点P的轨迹方程为 y＝2x－1.
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[悟一法] 1．动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点
P(x，y)却随另一动点Q(x′，y′)的运动而有规律地运动， 且动点Q的轨迹方程为给定或容易求得，则可先将x′、 y′表示为x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理 得点P的轨迹方程，此法称为代入法，也称相关点法．
∴kPA·kPB＝x＋y 1·x－y 1＝－1，即y2＝1－x2，
∴x2＋y2＝1(x≠±1)．
答案：B
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3．|y|－1＝ 1－x－12表示的曲线是
()
A．抛物线
B．一个圆
C．两个圆
D．两个半圆
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解析：由已知得|y|－1≥0， ∴y≥1或y≤－1， 将原方程两边平方， 得(x－1)2＋(|y|－1)2＝1， 即(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)或 (x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)． ∴原方程表示的曲线为两个半圆(如图所示)．
∴点M的轨迹方程为18x2－16 3xy－15＝0.
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[错因]
由上述求解过程可知，c>0，故c＝x－
3 3
y>0.所以轨迹方程
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[热点分析] 轨迹方程的有关问题是高考的一个重要考向，通
常以解答题的形式出现，一般第一问求轨迹方程，第 二问考查直线与所求轨迹的位置关系.2011年天津高考 以椭圆为载体，结合向量，单纯考查轨迹方程的求法， 是高考命题的一个新方向．
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[考题印证]
(2011·天津高考) (13分)在平面直角坐标系xOy中，点
解析：|PM|－|PN|＝2，而|MN|＝2，∴点P在 MN的延长线上． 答案：D
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2．与点A(－1,0)和点B(1,0)连线的斜率之积为－1的动点
P的轨迹方程是 A．x2＋y2＝1
() B．x2＋y2＝1(x≠±1)
C．x2＋y2＝1(x≠0) D．y＝ 1－x2 解析：设P(x，y)则kPA＝x＋y 1，kPB＝x－y 1(x≠±1)
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(2)①当λ>0时，轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的双 曲线(除去顶点)； ②当－1<λ<0时，轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的 椭圆(除去长轴两个端点)； ③当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心、1为半径的圆(除 去点(－1,0)，(1,0))； ④当λ<－1时，轨迹C为中心在原点、焦点在y轴上的椭 圆(除去短轴的两个端点)．
uuur 由| OG | ＝2知，动点G的轨迹为以坐标原点O为圆心、2为半径 的圆，其方程为x2＋y2＝4.
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[悟一法] 1.求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系
满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直 接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求 轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是解析几何中 有关曲线的定义． 2.利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整 的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲 线，则应对其中的变量x或y进行限制．
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[通一类] 1．在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A(－1,1)关于原点 O 对
称，P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于－13.求动点 P 的轨迹方程． 解：(1)因为点 B 与点 A(－1,1)关于原点 O 对称，所以点 B 的 坐标为(1，－1)． 设点 P 的坐标为(x，y)，由题意得xy－＋11·xy＋－11＝－13， 化简得 x2＋3y2＝4(x≠±1)． 故动点 P 的轨迹方程为 x2＋3y2＝4(x≠±1).
P(a，b)(a>b>0)为动点，F1、F2分别为椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1的
左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上 uuuur uuur
的点，满足 AM ·BM ＝－2，求点M的轨迹方程．
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[考题纠错]———————————(前人之鉴，后人之师)
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保持例题条件不变，若λ＝－2，过定点F(0,1)的直线l与轨迹C交
于A、B两点，求△AOB的面积的最大值．
解：由例1(2)知，当λ＝－2时，轨迹C为椭圆，其方程为x2＋
y2 2
＝
1(x≠±1)．
由题意知，l的斜率存在．
设l的方程为y＝kx＋1，代入椭圆方程中整理得
(k2＋2)x2＋2kx－1＝0(*)
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两个实根， ∴x1＋x2＝－k22＋k 2，x1x2＝－k2＋ 1 2. 设d为点O到直线AB的距离， 则S△OAB＝12|AB|·d ＝12 1＋k2|x1－x2|· k21＋1＝12|x1－x2|
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＝12 (x1＋x2)2－4x1x2＝12
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uuur uuur [自主解答] 由 QM ＝λ MP 知 Q，M，P 三点在同一条垂直于 x
轴的直线上，故可设 P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，则 x2－y0 ＝λ(y－x2)，即
y0＝(1＋λ)x2－λy.① uuur uuur
再设 B(x1，y1)，由 BQ ＝λQA，
即(x－x1，y0－y1)＝λ(1－x,1－y0)，解得
又∵P(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上， ∴2(－2－x)－(4－y)＋3＝0，即2x－y＋5＝0.
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答案：2x－y＋5＝0
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1．曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一 个二元方程方程 F(x，y)＝0 之间具有如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是 这个方程的解 ． (2)以这个方程的解为坐标的点都是 曲线上的点 .那么这个
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[做一题] [例 3] (2011·安徽高考)设 λ>0，点 A 的坐标为(1,1)，点 B 在抛物线
uuur uuur y＝x2 上运动，点 Q 满足 BQ ＝λQA，经过点 Q 与 x 轴垂直的直线交
uuur uuur 抛物线于点 M，点 P 满足 QM ＝ λ MP ，求点 P 的轨迹方程．
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[通一类] 2．已知圆 F1：(x＋1)2＋y2＝16，定点 F2(1,0)，动圆 M 过点 F2 且
与圆 F1 相内切． 求点 M 的轨迹 C 的方程． 解：由题意可知：|MF2|为动圆M的半径． 根据两圆相内切的性质得：4－|MF2|＝|MF1|， 即|MF1|＋|MF2|＝4. 所以点M的轨迹C是以F1、F2为左、右焦点的椭圆，设其方程 为xa22＋by22＝1( a>b>0)．则2a＝4，c＝1，故b2＝a2－c2＝3， 所以点M的轨迹C的方程为x42＋y32＝1.