第一课物理竞赛电磁学2 年

QQ

QQ

4 0a 4 0 3a 4 0a A W1 W2 W

Q2
4 oa

2 3

7 2

Q2 (3 4 )
4 0a
3
无穷远处一对电荷间的电势能
W2


Q2
4 0a
二、静电场中的导体
静电平衡条件
其他导体带电体，只要它处于静电平衡状态， E 都成立，
E 是所有电荷叠加后的合场强。
0
三、恒定电流
应记忆
1. 欧姆定律的微分形式
j E
例：如图，两边为电导率很大的导体，中间两层是电导率分别
为 1 和 2 的均匀导电介质，它们的厚度分别为d1和d2，导体的 横截面积为S，流过的电流为I。求：
W 1
2
i
qiU i
点电荷系
三、 连续带电体的静电能W （自能） 把电荷无限分割并分散到相距无穷远 时， 电场力作的功。
W
W自

1
2

q
Udq
多个带电体：
总静电能：
W W自i W互ij
i
i j
例：在每边长为a的正六边形各顶点处有固定的点电荷， 它们的电量相间地为Q 或 – Q. 1）试求因点电荷间静电作用而使系统具有的电势能W 2）若用外力将其中相邻的两个点电荷一起（即始终 保持它们的间距不变）缓慢地移动到无穷远处，
解：(1) 如图， +q
E Eq 0

E

E q

q
4 0 r 2
er
q
r -----
q
o+ +
++ E Eq
导体为等势体，求得球心o处的电势即可。
+q
导体上感应电荷都在 球表面，距球心R:
q
r -----
q
o+ +
++ E Eq
Uo

Eint dS q 0 0
+q
S
S内
Sq = 0；
S
–q
S
Q+q
处于静电平衡的导体表面某点的面电荷密度，
正比于该点紧邻处的场强大小；
由高斯定理可以证明 E σ
证明：
ε0
作扁圆柱形高斯面
S E dS ES
σS / ε0 E σ
ε0
S

P
++
精品课件！
3 2
RR
解: 该电路的等效电路为： B
1 111
RAB 2R 2R 5R
RAB

5 6
R
4. 无限网络
（1）单边型线型无限网络
因
（2）双边型线型无限网络
解：m，n之间的等效电阻可以看成是两边两个单边无限 网络，再加上一个R并联而成。
Rmn

1 3
3R 3
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十一、现有一质量半径为a的均匀带电圆薄盘，其面电荷密度为
σ，求圆盘边缘处的电势大小。（设无穷远处电势为零） 解：
以圆盘边缘为圆心，以r为半径，dr为宽度，作圆弧。
U p
2a 2r dr 0 40r
a2 r2 a2 2ra来自百度文库cos
arccos r
2a

U p 20
其余固定的点电荷位置不变，试求外力作功量A.
Q
-Q
a
1
W互

2

i
qi
U
i
-Q
Q
1）Q，- Q 所在处的电势
Q
-Q
U
2 Q 2 Q
4 oa 4 o
3a
Q
4 o 2a
W
1 2
3QU

U

2
Q
4 oa

2
3 QU 3QU
Q
4 o
直到导体球内各点的场强为0，达到静电平衡。此时，
由题意可知，P点附近导体球表面的面电荷密度为 2 。
故有：
E 2 0
可见，虽然导体表面一点的电荷面密度 与附近场强的关系
的形式不受外界影响，但外界条件可以通过影响导体表面各
点的电荷密度来间接影响其附近的场强。也就是说，不管导
体本身带电多少，也不管它附近是否存在影响它电荷分布的
2a
arccos
r
dr
0
2a
一、电荷系的静电能
一. 定义
带电体系处于状态 a
状态a时的静电能是什么？ 定义：把系统从状态 a 无限分裂到彼此 相距无限远的状态中静电场力作的功， 叫作系统在状态a时的静电势能。简称静 电能。 相互作用能
或：
把这些带电体从 无限远离的状态 聚合到状态a的过 程中，外力克服 静电力作的功。
E内 E0 E'
两者大小相等， 方向相反—— 完全抵消—— 达到静电平衡
导体刚放 入匀强电
场中
只要 E不为零， 自由电子作定
向运动
改变电荷分 布，产生附
加场
静电平衡条件
E内 0
处于静电平衡的导体是个等势体，导体表面是 个等势面
证明：在导体内部和表面任取 P，Q
和 R 各点，
Q
UPQ UP UQ

r

q2
q1
40r
q2U21
在q1处在的q电2 势所
也可以先移动 q2
q2 在q1 所
在处的电势
W

q1
q2
40r

q1U 12
作功与路径无关 表达式相同
q2U21
状态a
q1 r q2
为了便于推广 写为
1
1
W 2 q1U1 2 q2U2
Ui 除 qi
以外的电荷在 qi
处的电势
++
+
+ E0
+
静电平衡下导体空腔的性质
1、 金属空腔导体内部无带电体 ①导体空腔内表面不带任何电荷。 ②空腔内部电场强度处处为零，
空腔内部及导体中的各点是等 电势的。
这些结论不受腔外带电体的影响。
2、 金属空腔导体内部有带电体
A 导体部分是等势体
B 空腔内表面有感应电荷。内表面 所带总电量与空腔内带电体的电量 相等、符号相反。
解决复杂电路的一般方法是用基尔霍夫方程组：
1.基尔霍夫第一方程（节点电流方程）
In 0
节点n
2.基尔霍夫第二定律（回路电压方程）
i IiRi =0
i
i
电路网络结构的基本概念
1.支路：电路中的每一个二端元件称为一条支路； 2.节点：三条以上的支路的连接点称为节点； 3.网孔：电路中由各支路构成的无重复支路的回路为网孔； 4.回路：电路中由支路构成的闭和电路称为回路。
解：所求 RAB 对应的A、B两点恰好是网络的对角线，利用
对角线两侧电路的对称性，可将电路以AB为边“折叠” 起来（就像折纸一样），这样做不会改变电路的任何
性质。折叠后，每一段电阻由原先单一的电阻 R变成 相当于两个电阻 R 并联，即每段电阻阻值变为R 2
RAB

R 2

1
1
1

R 2

3R 2
S
ε0
q 0 S内
高斯
面
+ +P+ +
+ +
S+
+
++
实心带电导体
带空腔导体：
如果空腔内无带电体，电荷只能分布在外表面 如果空腔内有带电体，空腔内表面的净电荷总是与腔内
带电体所带的电量等量异号，其余电荷根据电荷守恒定律 分布在外表面。
证明：无论空腔内有无导体，取导体
内部的高斯面 S 包围整个空腔，则有
I
Rr
R
I ,r
A
B
（2）一段含源电路的欧姆定律
UAB (IiRi ) (i )
rR

说明：
A、B两点间电压等于这两点间电路的各电源和各电阻（含电 源内阻）上所有电压的代数和。
(1)假设电流方向（若实际电流方向已知，则不必再假设），选 定电路行走正方向。
(2)对电阻而言，其电势降IR符号规则为：电流方向与行走正方 向同向取正，反向取负。

q
40r

qi
4 0 R

q
40r
电荷守恒
s qi 0
(2) 若将金属球接地，球上的净电荷为何？
接地时，电荷不为零， 而电势为零 即
U 0
q
+q
r -----
o
设:感应电量为 q
o点的电势为0 则
q q 0
40R 40r
q R q r
解：无限大带电平面将在导体球内激发一个场强使得导体球 内的 E 0 。故导体球表面上的电荷分布将发生改变，
（1）两层导电介质中的电场强度；
（2）每层导电介质两端的电势差。
I
1 2
I
d1 d2
解：（1）由欧姆定律的微分形式，有：
E
j


I
S
于是：
E1

I
1S
I
E2 2S
（2）根据电势的定义可得：
U1

E1d1

Id 1
1S
U2

E2d2

Id2
2S
2. 有电动势的电路 (1)闭合电路欧姆定律
C 空腔外表面上的感应电荷的电量与内 表面上的电量之和，要遵守电荷守恒定律。
D 腔内场强不为零，腔内不是等势体
例：绝缘导体球不带电，距球心 r 处放一点电荷+q，
金属球半径R,
求:(1)金属球上感应电荷在球心处产生的电场强度及 此时导体球的电势。
(2)若将金属球接地，球上的净电荷为何？
(3)对电源而言，电动势ε符号规则为：行走正方向与电动势方 向同向取负，反向取正。
(4)当电流待求时，可按所列方程解出电流I。若I>0，则表示电 流的实际方向与所设的方向相同；若I<0，则表示电流的实际方 向与所设方向相反。
3. 复杂电路
无法用串联和并联电路的规律求出整个电路电阻时，这样 的电路成为复杂电路。
二. 点电荷之间的相互作用能
状态a
以两个点电荷系统为例
想象 q1 q2初始时相距无限远
q1 r q2
第一步 先把 第二步 再把
q1 摆在某处
外力不作功
q2 从无限远移过来 使系统处于状态a 外力
克服
q1 的场作功
r

W Aq1 q2 E1 dl q2 E1 dl
以右图的电路为例说明：支路、 节点、网孔和回路。
应用基尔霍夫定律，原则上可以解决任何一个复杂电路， 但如果电路中的回路稍多一些，解方程组就不是一件容易的
事，下面我们介绍一种解决复杂电路的常用方法——对称性 化简。
在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点（以 两端连线为对称轴），那么当在这个电路两端加上电压时， 这些点的电势一定是相等的，即使用导线把这些点连接起来， 导线中也不会有电流，这样就不会改变原来电路的一切情况。
3a
3Q 2
4 (
4 0a
Q
o 2a 2
3


U
5) 2
2) 外力作功量A.
Q
-Q
a
A W W末 W初
-Q
Q
余下四个点电荷系统的电势能
Q
-Q
W1

QQ
4 0a

Q Q
4 0 3a

QQ
4 0 2a



Q
Q
E dl
P
R
UPR UP UR
E dl
P
Q
R
E 0 , P E dl P E dl 0
即 UP UQ UR
R
Q
P
静电平衡导体的电荷分布
实心导体：内部无净电荷，电荷只能分布在导
证明：
体表面。

E 0 q
E dS S内 0