高中物理竞赛讲义之程稼夫篇

解：由图中信息可知，带正电荷的电荷Q1在x=0处，由于 处电势为0，所以另一个点电荷必须为负（-Q2）.它在x<0的位置上（设距离x=0距离为a）
利用图中x=0点电势为零方程：
X在 处，合电势为 ,方程
X在 处，合电力等于0,方程
联立三个方程得到
， ，
例3：在水平平面上有两相垂直相交的内壁光滑的联通细管，管内放置两个质量均为m，电荷量均为q的同号带电质点为A、B,初始时质点A至两管交点O的距离为d，质点B位于交点O处，速度相互垂直，方向如图，大小均为
解法一：上一例的解法
解法二：。。。。
解法三：
设移动Q过程中离板距离达到X，且移动缓慢，移动过程中外力始终等于作用在Q上的静电力，即
所以外力做功为
电场线
例1：计算在通过导体面上以0为圆心，R为半径的圆上的电量等于由Q发出的全部电量一半的条件下，求R=?
解：一个方法是先求出导体面上相对于0的表明感应电荷面密度的分布，求出半径为R的园面上电量为 时，R=?
例:求半径为R,带电量为Q的均匀带电球面,外侧的静电场能量密度.
解:静电场(真空)能量密度
本题球面外侧:
推论:如果在上述带电球体外侧无限空间中充满了相对电常数为 的多向同性均匀电合质,
下面求张力:它等于右半球表面所收到的静电力之和
前面求出过
本小题:
本题:
导体球放在匀强电场中,产生感应电荷的分布,令为
通常谈论的表面上电场强度是指什么?
例:求均匀带电球面 ,单位面积受到的静电力
解:令
过程无限缓慢
得出此过程中静电力做功的表达式:
或者算出
而且可以推广到一般的面电荷
在此面上电场强度
例:一个半径为R,带电量为Q的均匀带电球面,求上下两半球之间的静电力?
解:原则上,这个作用力是上半球面上的电荷受到来自下半球面的电荷产生的电场强度的空间分布,对上半球面上各电荷作用力之和,由于下半球面上电荷所产生的电场强度分布,所以这样计较有困难.
求：（1）求该电场线最终的场线与x轴间的夹角
（2）求该电场线或其最终的场线与x轴的交点c的位置
解：题给的那条由q发出的电场线将来去向何处，首先应该在q发出的千万条电场线中找出一条能达到B而未达到B的那条电场线在A发出时与AB的夹角α0
由于点电荷发出或者接受的电通量与该电荷的电量成正比，所以在写电量时均对应的电量表示，
电磁学
静电学
1、静电场的性质
静电场是一个保守场，也是一个有源场。
高斯定理
静电力环路积分等于零
电场强度与电势是描述同一静电场的两种办法，两者有联系
过程
一维情况下
2、几个对称性的电场
（1）球对称的电场
场源
E
U
点电荷
均匀对电球面
均匀带点球体
例:一半径为 的球体均匀带电,体电荷密度为 ,球内有一半径为 的小球形空腔,空腔中心与与球心相距为 ,如图
其原因是，这样的计算，已经考虑了全空间电荷的作用，不必重复考虑。
例：一个半径为R，带电量为Q的均匀带点表面，求因表面带电所增加的表面张力系数。
解：法一：球面上取一个小面元，半径
为 ，此面受两个力平衡：
静电力，沿径向向处，大小为
此面元边界上新增表面张力的合力，径向向里，设新增表面张力系数为
大小为
力平衡方程：
（1）电势为U的等势面半径为 的圆柱面，其中 ，圆柱的轴线与两带电的直线平行且共面，位置在x轴上， 处。
（2）在X-Y平面上，电场线的方程为 ，即圆心在y轴上的圆，其中b为常量。
解：本题情况，一般入射粒子速度比较大，由于速度快，所以带电直线受到的横向冲量就比较小（时间短），这样产生的α角度就会如题中告知是一个小量，
利用微元法处理，当带电粒子到达位置ψ时相距位矢量为 ，此刻带电粒子受力大小
，
此刻y方向动力方程为
其中dt可以利用x方向动力学方程表达
其中dx与dΨ满足关系（如图所示几何关系）
求图中带电圈环与带电半直线之间的相互作用力.
解:这题取下面方法:
先求均匀带电半直线产生的电场强度,对均匀带电圈处的电荷的作用力
上图中圈环上的点离半直线两端点的距离为R,环上P点处的电场强度,可以用辅助 圈弧( )在P点产生的场强大小.
圈环受到合力在 均为正值时，方向向左，大小为
在达到静电平衡的整个空间中，如果有一个处于静电平衡的带电面，在计算此面上某处受到的静电力，无需用整个空间中的各带电体，面，线，点，计算对其作用之和，只需先求出此面上该处的电场强度，该表面受到的静电力。
利用动能关系，求出外力做功
例2如图两个点电荷位于X轴上，在他们形成的电场中，若取无限远处的电势为零，则X轴上多点的电势如图曲线所示，当 时，电势 ;当 ，电势 ，电势为零的坐标为 ;电势极小值为 的点的坐标为 （α>0）,试根据图线提供的信息，确定这两个点电荷所带电的符号，电量的大小以及在X轴的位置。
写出通过圆面电通量的方程：
对应的R为：
例2：一个半径为R的接地导体球，球外距球心为d处放置一个电量为q的点电荷A,已知导体球面上 ，区域的感应电荷量为 ，求
解：本系统球外有一个点电荷Q和导体球上感应电荷共同激发产生的电场分布，或者说球外有一个由电荷q及其相应的电荷
如图
几何关系：
化简整理得：
例3：点电荷+q和-q’（q’<q）分别位于x轴上A.B两点，A,B的距离为L，从+q发出的某一条电力线与连线AB成α角度，
同样 受到除了 上电荷以外,球面上其它电荷对 上电荷的作用力,这个力同样包含了 对 的作用力.
如果把这里的 所受力相加,则 之间的相互作用力相抵消。
出于这个想法，现在把上半球面分成无限小的面元，把每个面元上所受的静电力（除去各自小面元）相加，其和就是下半球面上的电荷对上半球面上电荷的作用力。
求法:
再观察下,均匀带电球面上的电场强度=?
化简整理
利用
例2：如图所示一很细、很长圆柱形的电子术由速度为V的匀速运动的低速电子组成，电子在电子束中均匀分布，沿电子束轴线每单位长度包含n个电子，每个电子的电荷量-e（e>0）,质量为m，
该电子束从远处沿垂直于平行板电容极板方向射向电容器，其前端（右端）于t=0时刻刚好达到电容器左极板，电容器两极板上多开一个小孔使电子可以不受阻碍地穿过电容器两极板AB,加有如图所示的变化电压 ，电压的最大最小值分别为 ，周期为T，若以 表示每个周期中电压处于最大的时间间隔，则 是周期中电压处于最小的时间间隔，已知 的值正好使在 变化的第一个周期内通过电容器达电容器右边的所有电子，能够在某一个时刻 形成均匀分布的一段电子束。设两级间距很小，，电子穿越时间，且 ,不计电子间相互作用
（3）N足够大时，将非边缘的一对离子e、-e一起缓慢地移到无限远，其余离子仍在原位，试求外力做的功A.
提示
解：（1）
（2）足够大的N,
（4）将一个正离子缓慢移到无限远处，余下系统电势能
此时该正离子的空位相邻的一个负离子的所具有的电势能为
再将该负离子移到无限远处，余下系统的电势能
无限远处负离子移到正离子旁边，这一对正负离子的电势能
(1)求空腔中心处的电场
(2)求空腔中心处的电势
解:(1)在空腔中任选一点 ,
可以看成两个均匀带电球体产生的电场强度之差,
即ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
令
这个与 在空腔中位置无关,所以空腔中心处
(2)求空腔中心处的电势
电势也满足叠加原理
可以看成两个均匀带电球体产生电势之差
即
假设上面球面上,有两个无限小面原 ,计算 ,受到除了 上电荷之处,球面上其它电荷对 的静电力,这个静电力包含了 上电荷对 上电荷的作用力.
初始时，相对于A的运动为右图，守恒方程——联系初态和相距最近状态，
联系消去 ，解得
解之前利用
联立解得 ，
例4：电荷均匀分布在半径为R的圆面上，电荷量的密度为 ，试求园面边缘的电势。
解：利用 ，其中 （这里 是r的函数）
电势和电势能
例1：当电荷连续分布时，求静电能量有两个公式
，
试说明这两个公式的物理意义，并以平行板电容为例，分别利用上述公式求出它在电容C，蓄电量为Q时的静电场。
（1）满足题给条件的 ， 的值分别为？
（2）试在下图中画出t=2T那一刻，在0——2T时间内通过电容器的电子在电容器的右侧空间形成电流I,随离开右极板距离x的变化曲线，并在图上标出图线特征点的横、纵坐标。取X正方向为电流正方向，图中x=0处为右极板B的小孔位置，横坐标单位
解：（1）第一个周期内通过的所有电子在通过前是一段速度为V的均匀电子束（孔的左侧）。通过小孔以后，分成两段速度不同的电子束。
由于要求导体内
例:一个半径为R,原不带电的导体球放置于匀强电场 中,求由于静电感应所产生的感应电荷,所带来的两半球之间新增的张力.
解:预备知识:
一个半径为R的均匀各向同性介质在匀强电场中受到极化,求极化电荷的分布.
解:
时,
求极化介质球,由于极化电荷所产生的介质球内的电场强度
例:带电圈环: (均匀带电)
解：（1）利用 计算
（2）利用 计算
,
导体旁移动电荷，求外力做功
例1：如图一个原来不带电电荷的同心球壳，内外半径分别为a，b，球心处放一个点电荷，电量为Q
现在用外力把此点电荷从球心移到无限远处，求外力做功等于多少？
解：由于在Q移动过程中，导体球壳表面感应电荷变化，所产生的电场不是静电场，因此需要另外想办法。
这里采用方法是：在计算通过导体板上园面的电通量宁可不用叠加后的电场计算，而用叠加前的由Q发出，由-Q吸收的两个球对称的电场来处理，其结果显然是相同的。
以Q为球心，r为半径做一个球面
假设由Q发出的电量为N,那么具有球对称的，由Q发出的电通量，通过圆的电通量为
同样，由-Q吸收电场线，通过导体上同一个园面上的电通量必为这个值，而且通量方向相同。
求质点运动中，它们之间的最小距离
解：通常，这里应该采用两质点的相对运动处理。
设运动过程中，A,B两质点的位置矢量为 ,则相对位矢为
分别写出A、B两质点的动力学方程，然后写出相对动力学方程：
（其中 是B相对A的相对加速度）
B在运动时所受的力只有相反向的静电力，这个静电力是个有心力，同时又是一个保守力，上述两个方程为角动量守恒，守恒量可由初始值确定。
柱对称电场
场源
E
U
无限长均匀带电直线
（ ）
无限长均匀带电圈柱面
（ ）( )
无限长均匀带电圈柱体
（ ）（ ）
3、带电荷粒子在电场中的运动
例1：一个带点粒子从一开始就在垂直于均匀带电的长直导线平面内运动，它从这导线旁飞过，最后与开始入射方向偏转小角度α，
如图，如果当粒子飞入带电直线电场中时，它的动能为 ，电量为e，导线单位长度带电量为λ，离导线距离γ处电场强度设为 ，求α=？
这里采用初等方法，由于导体板右侧电场强度分布是由点电荷Q和导体板上感应电荷共同激发产生，或者等价的认为：导体板右侧电场分布是由点电荷Q及其相应的电荷-Q共同激发产生。
由于右侧空间电场强度分布的非球形对称性，所以计算通过导体板上半径为R的园面上电通量较困难，这是因为右侧的电场，已经由Q,-Q两点电荷产生的场叠加后形成的分布。
初始时刻，Q未移动之前，在Q处，导体球壳内，外表面的感应电荷产生的静电场有电势，其值：
（
另Q=nq，然后逐个移动q计算外力做功
.
.
外力做功之和
其中初始吧Q=nq（分散），移到无限远，又把nq=Q（集中）,合起来做功为零。
解法二：
如图
外力做功
例2：一块接地无限大导体平板，离板距离为a处有一个带电量为Q的点电荷，现在吧Q沿垂直于板的方向移到无限远处，求外力做多少功？
（1）当 时，题给的电场线将在B点，设这条电场线最终与AB夹角为β
解得
（2）当 时，
解得
当 时，c点即为B点
如图,
ΔPCA中，
ΔPCB中，
利用 ，
又 三角形中，
所以 ，另一个方程
,
例4.；两条均匀带电的无限平行直线，单位长的电荷量分别为λ和-λ，相距2a，两带电线构成的平面为Z-X平面，使Z轴与两线平行且距离相等，取直角坐标，试证明。
0—— 时间内，所加电压为 ，通过小孔后速度由V减小，设为V1，满足关系
——T时间内，所加电压为 ，通过小孔后速度由V增大，设为V2，满足关系式，
再由题中告知： 的值正好在 的变化的第一个周期内通过电容器达右边的所有电子，能够在 时刻形成均匀分布的一段电子束V
此话要求①在t= 时刻，达到小孔右侧的这两束电子束在前端应该在某处相重
②达到小孔右侧的两电子束的长度相等
由此可写方程
得到
所以 ，
（3）由于 ，观察的就是这个时刻右侧空间的电流分布，应该确定两件事情：
1电流在空间位置的分布
2电流强度的大小分布
电子束长度
4、静电势能、电势
例1：如图所示N对e、-e离子，等间距a，沿直线排列
（1）设 ,试确定某个e的电势能 和-e的电势能
（2）N足够大时， 近似取小题（1）的结论，求系统的电势能W