研究生数值分析(3-4)非线性方程

再令
x1

a1
2
b1
1.9
，则
f (x1) 0.044 0
因为 f (b1) f (x1) 0 ，所以取 a2 x1 1.9,b2 b1 2
如此继续下去，即得计算结果如下表。
k
ak
xk
f (ak ) 的符号 f (xk ) 的符号
0 1.6(+)
1.8(+)
1 1.8(+)
使 x1 g(x1 ) ， x2 g(x2 ) 则由微分中值定理和定理条件有
x1 x2 g(x1 ) g(x2 ) g( ) x1 x2
L x1 x2 x1 x2 其中ξ 在 x1 与 x2 之间。 上式出现的矛盾说明 x1 x2
设函数 f (x) 0 在 [a,b]上连续，严格单调， 且 f (a) f (b) 0 ，则 [a,b]为 f (x) 0 的一个有根 区间。
对分法的基本思想是：
用对分区间的方法根据分点处函数 f (x) 的符 号逐步将有根区间缩小，使在足够小的区间内， 方程有且只有1个实根。
首先取 a, b的中点
则说迭代法发散。
例2：求方程 f (x) x3 x 1 0 的根。
解：因为 f '(x) 3x2 1
当 x (1, 2) 时, f '(x) 0
所以在 [1, 2] 上单调增加函数 f (x) 有1个实根
将原方程转化为等价方程 (1) x 3 x 1 ，这时 g(x) 3 x 1 , 取 x0 1.5
y
yx
B1
B2 P
A2
来自百度文库
A1
A0
0 x* x2 x1 x0
y g(x)
x
y g(x)
yx
y
B1 P A0
B2
A1
A2
0
x2 x1 x0x* x
y y g(x)
A1 P
B2 A2
B1
yx A0
0
x1 x* x2
x0 x
y y g(x) y x
A1 P
B1
B2 A0 A2
0
x1 x*x0 x2
ik
ik
Lk 1 Lmk 1 L
x1 x0
令 m ，由于 0 L 1
得到
x* xk
Lk 1 L
x1 x0
又由 xi1 xi L xi xi1 Lik1 xk xk1
得到
m1
m1
xm xk
xi1 xi Lik 1 xk xk 1
（2）因 x0 [a,b] ，则由定理条件有 {xk} [a,b]
xk x g(xk1) g(x ) g(k ) xk1 x
L xk1 x Lk x0 x
其中 k 在 xk1 与x 之间， 因而 k (a, b) 。
a1 x0,b1 b 。这样，就得到一个新的有根区间 [a1, b1] ，其长度仅是 [a, b] 的一半。
对于缩小了的有根区间 [a1, b1] ，又可实施同样的
手续，即用中点 x1

a1 b1 将区间
2
[a1, b1]再分为两半，
然后判断 x1是不是根，并用 f (a1) f (x1) 0 是否成立，


则 xk 就是一个满足精度要求的近似根。
例1：用二分法求方程
f (x) sin x x2 0 4
的非零实根的近似值，使误差不超过 102 。
解：因为 f ' (x) cos x x
2
当 1.6 x 2 时，f '(x) 0 , f (x)为单调减少函数
又 f (1.6) 0, f (2) 0 ，因此 f (x) 0 在 [1.6, 2]
1.9(+)
2 1.9(+)
1.95(-)
3 1.9(+)
1.925(+)
4 1.925(+)
1.9375(-)
5 1.925(+)
1.93125(+)
6 1.93125(+)
1.934375(-)
bk
f (bk ) 的符号
2(-) 2(-) 2(-) 1.95(-) 1.95(-) 1.9375(-) 1.9375(-)
可以看出，迭代序列收敛。 当 k 越来越大时， xk 接近方程的近似根 x* 1.32472 。 （2） x x3 1 ，这时 g(x) x3 1 仍取初值x0 1.5 ，得迭代公式 xk1 xk3 1 k 1,2,3
x1 2.375 x2 12.3965 x3 1904.01 x4 6.90252 109
x0

ab 2
，将区间[a, b]
分为两半。若f (x0) 0，则 x0 就是 f (x) 0 的实根 x* ；
否则检查 f (x0 )与 f (a)是否异号，即是否 f (a) f (x0 ) 0
成立。
如果成立，则 x*必在 x0 的左侧，这时取
a1 a,b1 x0 ；否则 x* 必在 x0 的右侧，这时取

ab 2k
如果无限继续下去，
这些区间最终必收缩于一点 x* ，该点就是要求的根。
以 [ak , bk ]
的中点 xk
ak bk 2
作为所求根的近似值，
则第 k 个根的误差估计式
x xk
ak bk b a
2
2k 1
对于所给精度 0 ，只要数 k 满足
ba 2k 1
由于方程（2）与方程（1）等价，因而 x* 也是方程（1）的根。这种求方程近似根的方法称 为简单迭代法。
g(x) 称为迭代函数 x0 称为根的初始近似值 xk 称为根的k次近似值 {xk} 称为迭代序列 当迭代序列收敛，则说迭代法收敛 当 x0 x* ，迭代序列{xk } 在 [a, b] 内无极限，
由迭代公式 xk1 3 xk 1 求得
k 1, 2,3
x1 3 x0 1 3 2.5 1.35721 x2 3 x1 1 3 2.3572 1.33086 x3 3 x2 1 3 2.33086 1.32588 x4 3 x3 1 3 2.32588 1.32494 x5 3 x4 1 3 2.32494 1.32476 x6 3 x5 1 3 2.32476 1.32473 x7 3 x6 1 3 2.32473 1.32472 x8 3 x7 1 3 2.32472 1.32472
数值分析
第4章 非线性方程与 非线性方程组的迭代解法
主讲老师: 雷鸣
§1 非线性方程的迭代解法
设非线性方程 f (x) 0，如果有数 x* 使 f (x*) 0 ，则称 x* 为方程的根，或称为函数 的零点。
描述工程和科学技术实际问题的数学模 型，通常都难以获得根的简单易用的显式表达 式，因此，要研究求近似根的方法，并讨论这 些方法的收敛性和收敛速度。
x
注意：当恒有 g'(x) 1 时，迭代公式 xk1 g(xk ) 一定是发散的。
因为对任意给定的初值 x0 x* ，由
xk1 xk g(xk ) g(xk1) g'( ) xk xk1 xk xk1
(xk1 xk )
知 xk1 xk x1 x0 ，而 x1 x0 为非零常数，所以迭代 序列 {xk} 发散，即迭代公式 xk1 g(xk ) 是发散的。
(1) 简单迭代法 已知方程 f (x) 0（1）在 [a,b] 内有1个根。
将方程（1）改写成等价形式 x g(x) （2） 取 x0 [a,b]，用递推公式 xk1 g(xk ) （3）
可得序列 x0 , x1, x2 , ，如果当 k 时，序列 {xk } 有极限 x* ，且g(x) 在 x* 连续，则在（3）式两边 取极限，得 x* g(x*) ，因而 x*是方程（2）的根。
只有1个非零实根。由
2 1.6 2k 1
102
求得 k ln 40 5.332
ln 2
所以只要二分6次，才能得到满足精度要求的根。
记
a0 1.6,b0 2 ，令
x0

(a
2
b)
1.8，则
f (x0 ) 0.164 0
因为 f (b0 ) f (x0 ) 0 ，所以取 a1 x0 1.8, b1 b0 2
定理1（迭代法收敛的充分条件） 若迭代函数 g(x) 满足条件
（1） 在区间 [a上,b] 存g在'(x，) 且
g'(x) L 1
（2） 对任意 x ，[a,都b] 有 g(x) [a,b]
则（10）对任意初始近似值 x0 ，[a迭,b]代法
xk1 g (xk )
产生的迭代序列 {xk} 都收敛于方程 x g(x) 在 [a,b]
迭代序列发散。
按这一迭代公式计算下去，当 k 变大时， xk 远离的 f (x) 0 精确根。
用迭代法求方程近似根的基本问题
就是 g(x)如何构造才能使迭代序列{xk} 收敛。
迭代法的几何意义 求方程（2）的根，实质上就是求直线 y x 与曲线 y g(x) 的交点 P 的横坐标 x* ，如图。 从图可以看出： （1）如果迭代公式 xk1 g(xk ) 收敛，则迭代函数 y g(x) 曲线走势平坦，即 g' (x) 1 （2）如果迭代公式 xk1 g(xk ) 发散，则迭代函数 y g(x)曲线走势陡峭，即 g'(x) 1
若上面两个不等式中有一个等号成立，
则方程 x g(x) 有根 x a 或 x b
否则，根据连续函数的介值定理 必存在 x (a, b) ，使 F(x) x g(x) 0
即方程 x g(x) 有根 x (a,b)
设有两个不同的 x1, x2 (a,b)
求方程近似根的问题，一般分两步进行： （1）求根的隔离区间。确定根所在的区间，
使方程在这个小区间有且仅有一个根。所求的隔离 区间越小越好。
（2）将近似根精确化。用求方程根的数值方 法，使求得的近似根逐步精确化，使其满足给定的 精度要求。
1 对分法 在方程求近似根的方法中，最直观、最简单 的方法就是二分法。
判断所求根 x*在 x1 的哪一侧，从而确定一个新的
有根区间 [a2 , b2 ] ，其长度是 [a1, b1] 的一半。
如此反复下去，进行 k 次对分之后，就得到
一组不断缩小的有根区间 [a,b],[a1,b1],[a2,b2 ], ,[ak ,bk ]
从而[ak , bk ]
的长度 bk ak
因 0 L 1 ，故有
lim
k
xk

x
m1
（3）设 m>k，则有 xm xk (xi1 xi ) ik
而 xi1 xi g(xi ) g(xi1)
于是有
L xi xi1 Li x1 x0
m1
m1
xm xk xi1 xi Li x1 x0
2 简单迭代法及其收敛性 迭代法是数值计算中一类典型方法，不仅用
于方程求根，而且用于方程组求解，矩阵求特征 值。
迭代法的基本思想是一种逐次逼近的方法， 首先给定一个粗糙的初值，然后用同一个迭代公 式，反复校正这个初值，直到满足预先给出的精 度要求。
下面的各种求根方法，实质上就是如何构造 一个合适的迭代公式。
取
x*

x6

a6
b6 2
1.934375
1.93
，即可满足精度要求。
对分法的优点： 计算简单，方法可靠，只要求 f (x) 连续，对
函数的性质要求较低。 它的缺点是：
不能求偶数重根，也不能求复根，收敛速度与以 1为公比的等比级数相同，不算太快。
2
一般求方程的近似根，不大单独使用，常用 来为其它方法求方程近似根提供好的初值。方程 求根最常用的方法是迭代法。
上的唯一实根 x* ；
（20） （30）
x xk
1 1 L
xk 1 xk
x* xk
Lk 1 L
x1 x0
（1） （2）
证 （1）令 F(x) x g(x) ，则 F(x) C[a,b] 由定理条件可知
F(a) a g(a) 0 , F(b) b g(b) 0