不规则立体图形的表面积和体积

立体几何专题

不规则立体图形的表面积和体积

基础知识：规则立体图形的表面积和体积

表面积体积正方体（棱长为a）6a2a3

长方体（边长a、b、c）2（ab+bc+ca）abc

圆柱体（底面半径r，高h）2πr2+2πr·hπr2·h

圆锥体（底面半径r，高h）πr2+πr·l

例1.把19个边长为2厘米的正方体重叠起来，作成如图那样的组合形体，求这个组合形体的体积和表面积。

[答疑编号505787490101]

【答案】体积是152立方厘米；表面积是216平方厘米。

【解答】体积：19×23＝152（立方厘米）

上下看：3×3＝9

左右看：4＋3＋1＝8

前后看：4＋4＋3＝10

（9＋8＋10）×2×22＝216（平方厘米）

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进一步思考：

（1）对于由小正方体搭起来的组合形体，其表面积总是等于三个方向看到的面积之和的两倍？

[答疑编号505787490102]

【答案】不是

（2）如果挪动最上面那个小正方体，将它移动到其他位置，那么所得到的新的组合形体的表面积最少是多少？

[答疑编号505787490103]

【答案】200平方厘米

【解答】找盖住的面最多的位置，最多可以盖住3个面。

例2.如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体。问这个物体的表面积是多少平方米？（π取3.14。）

[答疑编号505787490104]

【答案】32.97平方米

【解答】结合例1的方法，我们将这个物体的表面积分为上下底的面积和

侧面积两部分，不难看出这种叠放并不影响上下底的面积。

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解：上底面积与下底面积相等，都是π×1.52=2.25π（平方米）；

侧面积就是三个圆柱体的侧面积之和，等于2π×（1.5+1+0.5）

×1=6π（平方米）；

这个物体的表面积是2.25π×2+6π=10.5π=32.97（平方米）。

进一步思考：

如果沿这个物体的中心轴切一刀，将之分成两个相同的立体图形，那么两个新立体图形的表面积之和是多少？

[答疑编号505787490105]

【答案】44.97平方米

【解答】原来的表面还是表面不变，增加的就是切口。

1×1＋2×1＋3×1＝6（平方米）

32.97＋6×2＝44.97（平方米）

例3. 如图，有一个边长是5的正方体，如果它的左上方截去一个边长分别是5、3、2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几？

[答疑编号505787490106]

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【答案】8%

【解答】与前面的例题类似，我们一般不直接计算切割后的立体图形的表面积，而是先将切割前后的两个立体图形进行比较。

减少的面就就是两个3×2＝6的小长方形。

12÷150×100%＝8%。

例4.如图，有一个边长为20厘米的大立方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米.那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？

[答疑编号505787490107]

【答案】3厘米

【解答】大立方体的表面积是20×20×6＝2400平方厘米.在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个面，但里面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面却多出4个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但是里面却多出5个面.所以最后的情况是挖掉了三个小正方体，但反倒多出了6个面.可以计算出每个面的面积是（2454－2400）÷6＝9，那么小正方体的棱长就是3.

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例5.如下图，是一个边长为2厘米的正方体。在正方体的上面的正中间向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞.接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为厘米。求最后得到的立体图形表面积是多少平方厘米。

[答疑编号505787490108]

【答案】29平方厘米

【解答】正方体在挖小洞之前的表面积为6×22平方厘米，挖了小洞之后面积不但没有减少，反而还要加上三个小洞的侧面积的和。三个小洞各有四个侧面，每个侧面的面积分别是：

12，（）2，（）2，

因此总的表面积为：

6×22＋4×12＋4×（）2＋4×（）2＝29（平方厘米）

例6.下图是一个边长为4厘米的正方体，分别从前后、左右、上下各

面的中心处向内挖去一个边长1厘米的正方体，做成一个玩具，它的表面

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积是多少平方厘米？

[答疑编号505787490109]

【答案】120平方厘米

【解答】42×6＋1×1×4×6＝120（平方厘米）

进一步思考：

如果将各个相对的面挖通，得到一个新的玩具，那么这个玩具的表面积是多少平方厘米？

[答疑编号505787490110]

【答案】126平方厘米

【解答】这回不容易直接想象内部的空间，那么可以反过来，从挖掉的部分入手考虑。

1×（4－1）×4×3＝36（平方厘米）

36＋42×6－12×6＝126（平方厘米）

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例1.有一个棱长为5厘米的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔（如图），求这个立体图形的表面积。

[答疑编号505787490201]

【答案】216平方厘米

【解答】由于正方体中间被穿了孔，表面积不好计算。我们可以将这个立体图形看成由8个棱长为2厘米的正方体和12个棱长为1厘米的立方体粘合而成。如右上图所示，八个棱长为2厘米的正方体分别在8个顶角，12个棱长1厘米的正方体分别在12条棱的中间。由于每个小正方体都有2个面分别粘接两个较大正方体，相对于不粘接，减少了表面积4平方厘米，所以总的表面积为

（2×2×6）×8＋（1×1×6）×12－4×12＝216（平方厘米）。

例2.如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求该图立体的表面积和体积?（π取＝3.14）

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