专题8：立体几何中求二面角几何法(解析版)

专题8：立体几何中求二面角几何法（解析版）

二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形

----,,l OA OB l OA l OB l AOB αβαβαβ⊂⊂⊥⊥∠如图：在二面角中，O 棱上一点，，，

的平面角。

且则为二面角 取值范围：（0。,180。）

1．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为a 的正方形，侧棱

,2PD a PA PC a ===，求二面角P BC D --的平面角的大小.

【答案】二面角P BC D --的平面角的大小为45°

. 【分析】

根据条件可知,PD DC PD AD ⊥⊥，知PD ⊥平面ABCD ，用,BC DC BC PD ⊥⊥，可知BC ⊥平面PDC ，找到二面角P BC D --的平面角，简单计算可得结果.

【详解】

,,2PD a DC a PC a ===，

222PC PD DC ∴=+，PD DC ∴⊥.

同理可证PD AD ⊥.

AD DC D ⋂=，且,AD DC ⊂平面ABCD

PD ∴⊥平面ABCD .

由BC ⊂平面ABCD ，PD BC ∴⊥.

又,BC DC PD DC D ⊥⋂=，,PD DC ⊂平面PDC

BC ∴⊥平面PDC .

PC ⊂平面PDC ，BC PC ∴⊥.

PCD ∴∠为二面角P BC D --的平面角.

在Rt PDC ∆中，,45PD DC a PCD ==∴∠=.

∴二面角P BC D --的平面角的大小为45°

. 【点睛】

本题考查线线、线面之间的关系，熟练使用线面垂直的判定定理，考验分析问题能力以及逻辑推理能力，属中档题.

2．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形，90BAC ∠=，且12,,AB AA E F ==分别是1,CC BC 的中点．

（1）求证：EF ⊥平面1AB F ；

（2）求锐二面角1B AE F --的余弦值；

【答案】（1）详见解析；（2）6

；

【解析】 试题分析：（1）由已知易证得AF ⊥面11BB C C ，从而可得AF EF ⊥．令1AC AB ==，

从而可得11,,B F EF B E 的边长，根据勾股定理可证得EF F B ⊥1．从而可证得EF ⊥平面1AB F ．（2）易证得1B F ⊥面AEF ，从而可得1B F AE ⊥．过F 作AE FM ⊥，从而可证得⊥EA 平面MF B 1，继而证得M B EA 1⊥．根据二面角的定义可知MF B 1∠即为所求，在1Rt B FM ∆中即可求得MF B 1∠的余弦值．

试题解析：（1）证明：AC AB =，且F 为BC 中点， AF BC ∴⊥．

又三棱柱中1BB ⊥面ABC ，AF ⊂面ABC ，1BB AF ∴⊥，

1BB BC B =，AF ∴⊥面11BB C C ，EF ⊂面11BB C C ，AF EF ∴⊥．

因为12AC AB AA ===

经计算得113B F EF B E ==

∴22121EF F B E B +=，即EF F B ⊥1，又因为1B F

AF F = ∴EF ⊥平面1AB F

（2）过F 作AE FM ⊥，连结M B 1

由（1）知EF F B ⊥1，1AF B F ⊥，又EF AF F =，1B F ∴⊥面AEF ． AE ⊂面AEF ， 1B F AE ∴⊥．

又AE MF ⊥， 1FM B F F =

∴⊥EA 平面MF B 1

∴M B EA 1⊥

∴MF B 1∠就是二面角F AE B --1的平面角 经计算得553,10301==

M B MF ，66cos 11==∠M B MF MF B

3．如图，三棱锥P ABC - 中，已知PA ⊥ 平面,ABC

3,6PA PB PC BC ==== .求二面角P BC A --的正弦值

【答案】3 【分析】 取BC 的中点D ，连结PD ，AD,根据线面垂直关系可知PDA ∠即为二面角P BC A --的平面角,根据所给边长关系可求得PDA ∠的正弦值.

【详解】

取BC 的中点D ，连结PD ，AD

∵PB PC =

∴PD BC ⊥

∵PA ⊥平面ABC ，

∴PA BC ⊥,且BC PAD ⊥面

即BC AD ⊥

∴PDA ∠即为二面角P BC A --的平面角

∵ 6PB PC BC === ∴3PD 63==PA 3sin PDA PD 33∠=== 即二面角P BC A --的正弦值是

33

【点睛】

本题考查了二面角的求法,关键是找到二面角的平面角,属于基础题.