离散数学教学代数系统演示文稿
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6、阅读教材、课堂听讲、反复思考, 并独立完成一 定数量的习题, 只有如此, 才能理解抽象代数的概念, 掌握有关理论, 从而提高分析问题的能力。
§7.1 代数系统的引入
代数系统是由一个集合（此集合称为代数的载 体）和定义在集合上的运算构成。
注：①载体一般是非空集合，
例：整数集，实数集，符号串集合等。 ②定义在载体上的n元运算是一个从An到B的
3、教材的基本思路是： 首先严格定义什么是代数 结构, 并讨论一般代数结构的基本性质。然后讨论代 数结构研究的两个方面：其一是通过一些基本性质来 规定一类特定的代数结构, 并对这类代数结构的性质 进行研究。其二是研究代数结构之间的各种关系, 通 过对代数结构之间关系的研究, 就可以把一个代数结 构中的某些性质推广到另一个代数结构中。
例：<A，*>，若a，b∈A，有a*b=b 证明：*满足结合律c ∴a*（b*c）=（a*b）*c
∴ *满足结合律
§7.2 运算及其性质
3、交换律 已知<A，*>，若x，y∈A，有
x*y=y*x，称*满足交换律。 例：设<有理数集，*>,*定义如下：
*
△
例：设A={，}，二元运 算*，△定义如左: 问分配律成立否？
抽象代数学的主要内容是研究各种各样的代数系统。 它把一些形式上很不相同的代数系统，用统一的方法 描述、研究和推理，从而得到反映出它们共性的一些 本质的结论，然后再把这些结论应用到具体的代数系 统中。
抽象代数学在计算机中的应用
抽象代数的概念和方法也是研究计算科学的重要数学 工具。有经验和成熟的计算科学家都知道，除了数理 逻辑处，对计算科学最有用的数学分支学就是代数， 特别是抽象代数。抽象代数是关于运算的学问，是关 于计算规则的学问。
映射。 例：１）取整 [X]，求绝对值 |X|，是一元运算
２）+,X是二元运算, ３）if x<y and y<z thenｕ 是三元运算
§7.2 运算及其性质
一、二元运算
1、运算封闭性：若x，y∈A，有x * y∈A， 称*在A上是封闭的 例： A={x｜x=2n，n∈N}， 问<A，x>运算封
闭否，<A，+>，<A，/>呢？ 解：2r，2s∈A， 2r x 2s=2r+s∈A （ｒ＋ｓ∈Ｎ）
∴<A，x>运算封闭
2，4∈A，2+4A，∴<A，+>运算不封闭
2，4∈A，2/4A， ∴<A，/>运算不封闭
§7.2 运算及其性质
2、结合律
已知<A，*>，若x，y，z∈A，有x*（y*z） =（x*y）*z，称*满足结合律。
学习本章的方法
4、结合具体例子与应用来理解抽象代数的概念与结论, 特别是“抽象”的概念, 在理解的基础上熟悉基本概 念与重要结论, 掌握基本推理方法, 领会抽象代数的 研究方法,并尝试去解决具体问题。
5、抽象代数以代数结构为研究对象，集合论是研究 代数结构的基础。而群是抽象代数所研究的最为重要、 最为基础的代数结构, 也是抽象代数部分的学习重点, 学习好群的相关知识, 习惯了代数的“抽象”思维, 环、域的学习也就相对容易了。
在许多实际问题的研究中都离不开数学模型，而构造 数学模型就要用到某种数学结构，而抽象世代数研究 的中心问题就是一种很重要的数学结构--代数系统： 半群、群、格与布尔代数等等。计算科学的研究也离 不开抽象代数的应用：半群理论在自动机理论和形式 语言中发挥了重要作用；有限域理论是编码理论的数 学基础，在通讯中起过重要的作用；至于格和布尔代 数则更不用说了，是电子线路设计、电子计算机硬件 设计和通讯系统设的重要工具。另外描述机器可计算 的函数、研究算术计算的复杂性、刻画抽象数据结构、 描述作为程序设计基础的形式语义学，都需要抽象代 数知识。
学习本章的方法
1、要按照数学的思维方式学习, 即观察客观世界, 抽象出模型, 再分析、推理揭示内在规律的过程。
2、领会“抽象”性：代数的抽象性不仅体现在元素 的抽象上, 还体现在相应运算的抽象上, 是在最纯粹 的形式下研究代数结构中的运算的规律与性质, 从运 算的角度来考虑代数结构中的元素。因此, 初等代数 的相应概念、结论不能直接应用在抽象代数中。如何 跨越从直观到抽象是学习抽象代数的重要一步。
a*b=a+b-ab ，问*满足交换律否？ 证：∵a，b∈A，
a*b=a+b-ab=b+a-ba=b*a
∴*满足交换律。
§7.2.1 运算及其性质
4.分配律
设<A，*，△>，若x，y，z∈A有: x*(y△z)=（x*y）△（x*z） ; (y△z)*x=(y*x)△(z*x)
称运算*在△上可分配
抽象代数学在计算机中的应用
代数学历史悠久。代数的发展可分成两个阶段。19世 纪这前的代数称为古典代数，19世纪至今的代数称为 近世代数（抽象代数）。
抽象代数学的研究对象是抽象的，它不是以某一具体 事物为研究对象，而是以一大类具有共同性质的事物 为研究对象。因此其研究成果适用于这一类事物中的 每一个，从而收到事半功倍之效。
离散数学教学代数系统演示 文稿
（优选）离散数学教学代数 系统
前言
为什么要研究代数系统？
代数是专门研究离散对象的数学，是对符号的操作。它是现 代数学的三大支柱之一（另两个为分析与几何）。代数从19世纪以来 有惊人的发展，带动了整个数学的现代化。随着信息时代的到来，计 算机、信息都是数字（离散化）的，甚至电视机．摄像机、照相机都 在数字化。知识经济有人也称为数字经济。这一切的背后的科学基础， 就是数学，尤其是专门研究离散对象的代数。代数发端于“用符号代 替数”，后来发展到以符号代替各种事物。 在一个非空集合上，确定了某些运算以及这些运算满足的规律，于是 该非空集合中的元素就说是有了一种代数结构。现实世界中可以有许 多具体的不相同的代数系统。但事实上，不同的代数系统可以有一些 共同的性质。正因为此，我们要研究抽象的代数系统，并假设它具有 某一类具体代数系统共同拥有的性质。任何在这个抽象系统中成立的 结论，均可适用于那一类代数系统中的任何一个。
§7.1 代数系统的引入
代数系统是由一个集合（此集合称为代数的载 体）和定义在集合上的运算构成。
注：①载体一般是非空集合，
例：整数集，实数集，符号串集合等。 ②定义在载体上的n元运算是一个从An到B的
3、教材的基本思路是： 首先严格定义什么是代数 结构, 并讨论一般代数结构的基本性质。然后讨论代 数结构研究的两个方面：其一是通过一些基本性质来 规定一类特定的代数结构, 并对这类代数结构的性质 进行研究。其二是研究代数结构之间的各种关系, 通 过对代数结构之间关系的研究, 就可以把一个代数结 构中的某些性质推广到另一个代数结构中。
例：<A，*>，若a，b∈A，有a*b=b 证明：*满足结合律c ∴a*（b*c）=（a*b）*c
∴ *满足结合律
§7.2 运算及其性质
3、交换律 已知<A，*>，若x，y∈A，有
x*y=y*x，称*满足交换律。 例：设<有理数集，*>,*定义如下：
*
△
例：设A={，}，二元运 算*，△定义如左: 问分配律成立否？
抽象代数学的主要内容是研究各种各样的代数系统。 它把一些形式上很不相同的代数系统，用统一的方法 描述、研究和推理，从而得到反映出它们共性的一些 本质的结论，然后再把这些结论应用到具体的代数系 统中。
抽象代数学在计算机中的应用
抽象代数的概念和方法也是研究计算科学的重要数学 工具。有经验和成熟的计算科学家都知道，除了数理 逻辑处，对计算科学最有用的数学分支学就是代数， 特别是抽象代数。抽象代数是关于运算的学问，是关 于计算规则的学问。
映射。 例：１）取整 [X]，求绝对值 |X|，是一元运算
２）+,X是二元运算, ３）if x<y and y<z thenｕ 是三元运算
§7.2 运算及其性质
一、二元运算
1、运算封闭性：若x，y∈A，有x * y∈A， 称*在A上是封闭的 例： A={x｜x=2n，n∈N}， 问<A，x>运算封
闭否，<A，+>，<A，/>呢？ 解：2r，2s∈A， 2r x 2s=2r+s∈A （ｒ＋ｓ∈Ｎ）
∴<A，x>运算封闭
2，4∈A，2+4A，∴<A，+>运算不封闭
2，4∈A，2/4A， ∴<A，/>运算不封闭
§7.2 运算及其性质
2、结合律
已知<A，*>，若x，y，z∈A，有x*（y*z） =（x*y）*z，称*满足结合律。
学习本章的方法
4、结合具体例子与应用来理解抽象代数的概念与结论, 特别是“抽象”的概念, 在理解的基础上熟悉基本概 念与重要结论, 掌握基本推理方法, 领会抽象代数的 研究方法,并尝试去解决具体问题。
5、抽象代数以代数结构为研究对象，集合论是研究 代数结构的基础。而群是抽象代数所研究的最为重要、 最为基础的代数结构, 也是抽象代数部分的学习重点, 学习好群的相关知识, 习惯了代数的“抽象”思维, 环、域的学习也就相对容易了。
在许多实际问题的研究中都离不开数学模型，而构造 数学模型就要用到某种数学结构，而抽象世代数研究 的中心问题就是一种很重要的数学结构--代数系统： 半群、群、格与布尔代数等等。计算科学的研究也离 不开抽象代数的应用：半群理论在自动机理论和形式 语言中发挥了重要作用；有限域理论是编码理论的数 学基础，在通讯中起过重要的作用；至于格和布尔代 数则更不用说了，是电子线路设计、电子计算机硬件 设计和通讯系统设的重要工具。另外描述机器可计算 的函数、研究算术计算的复杂性、刻画抽象数据结构、 描述作为程序设计基础的形式语义学，都需要抽象代 数知识。
学习本章的方法
1、要按照数学的思维方式学习, 即观察客观世界, 抽象出模型, 再分析、推理揭示内在规律的过程。
2、领会“抽象”性：代数的抽象性不仅体现在元素 的抽象上, 还体现在相应运算的抽象上, 是在最纯粹 的形式下研究代数结构中的运算的规律与性质, 从运 算的角度来考虑代数结构中的元素。因此, 初等代数 的相应概念、结论不能直接应用在抽象代数中。如何 跨越从直观到抽象是学习抽象代数的重要一步。
a*b=a+b-ab ，问*满足交换律否？ 证：∵a，b∈A，
a*b=a+b-ab=b+a-ba=b*a
∴*满足交换律。
§7.2.1 运算及其性质
4.分配律
设<A，*，△>，若x，y，z∈A有: x*(y△z)=（x*y）△（x*z） ; (y△z)*x=(y*x)△(z*x)
称运算*在△上可分配
抽象代数学在计算机中的应用
代数学历史悠久。代数的发展可分成两个阶段。19世 纪这前的代数称为古典代数，19世纪至今的代数称为 近世代数（抽象代数）。
抽象代数学的研究对象是抽象的，它不是以某一具体 事物为研究对象，而是以一大类具有共同性质的事物 为研究对象。因此其研究成果适用于这一类事物中的 每一个，从而收到事半功倍之效。
离散数学教学代数系统演示 文稿
（优选）离散数学教学代数 系统
前言
为什么要研究代数系统？
代数是专门研究离散对象的数学，是对符号的操作。它是现 代数学的三大支柱之一（另两个为分析与几何）。代数从19世纪以来 有惊人的发展，带动了整个数学的现代化。随着信息时代的到来，计 算机、信息都是数字（离散化）的，甚至电视机．摄像机、照相机都 在数字化。知识经济有人也称为数字经济。这一切的背后的科学基础， 就是数学，尤其是专门研究离散对象的代数。代数发端于“用符号代 替数”，后来发展到以符号代替各种事物。 在一个非空集合上，确定了某些运算以及这些运算满足的规律，于是 该非空集合中的元素就说是有了一种代数结构。现实世界中可以有许 多具体的不相同的代数系统。但事实上，不同的代数系统可以有一些 共同的性质。正因为此，我们要研究抽象的代数系统，并假设它具有 某一类具体代数系统共同拥有的性质。任何在这个抽象系统中成立的 结论，均可适用于那一类代数系统中的任何一个。