最新7(5)平面及其方程

两平面夹角余弦公式
两平面位置特征：两平面垂直、平行的充要条件
(1 ) 12 A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 0 (2 ) 1// 2 A A1 2B B1 2C C1 2
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平面及其方程
co s|A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 | A 1 2 B 1 2 C 1 2 A 2 2 B 2 2 C 2 2
时,才有截距式方程.
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平面及其方程
设平面过点M 0(3,1,2)及x轴,求其方程.
解 法一 用平面的点法式方程.
求法向量
niO0M
z
n
i jk
O
y
1 0 0 2j k x •M0 3 1 2
由点法式方程得平面方程: 2 (y 1 ) 1 (z 2 ) 0
即
2yz0
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平面及其方程
设平面过点 M 0(3,1,2)及x轴, 求其方程. 法二 用待定常数法.
4 2Fra Baidu bibliotek2
M (1 ,1 ,0 )1 ,M (1 ,1 ,0 ) 2两平面重合
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平面及其方程
co s|A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 | A 1 2 B 1 2 C 1 2 A 2 2 B 2 2 C 2 2
例 平面 O ( 0 ,0 ,0 )通 M ,1 ( a , a ,0 ) 过 和 M 2 ( a ,a , 点 a ),
例 研究以下各组里两平面的位置关系:
( 1 ) x 2 y z 1 0 ,y 3 z 1 0
解 co s | 1 0 2 1 1 3 | ,
( 1 )2 2 2 ( 1 )2 1 2 3 2
cos 1 两平面相交,
60
夹角 arcc1os.
60
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平面及其方程
( 2 ) 2 x y z 1 0 , 4 x 2 y 2 z 1 0
解 n 1 ( 2 , 1 ,1 ),n 2 ( 4 ,2 , 2 ) 211, 两平面平行 4 2 2
M (1 ,1 ,0 )1 ,M (1 ,1 ,0 ) 2
两平面平行但不重合.
( 3 ) 2 x y z 1 0 , 4 x 2 y 2 z 2 0 解 211, 两平面平行
平面的一个法向量. (2) 用平面的一般方程.
利用条件定出其中的待定的常数, 此方 法也称待定常数法.
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平面及其方程
三、两平面的夹角
定义 两平面法向量的夹角称为 两平面的夹角.
（通常取锐角）
n2
n1
2
1 : A 1 x B 1 y C 1 z D 1 0
2 : A 2 x B 2 y C 2 z D 2 0
解 设平面为 A B x C y D z 0 ,
aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0,
cC D 0,
A D, B D, C D.
a
b
c
xyz1 平面的截距式方程 a bc
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平面及其方程
xyz1 平面的截距式方程 a bc
x轴上截距 y轴上截距z轴上截距
今后,由截距式方程作平面的图形特别方便! 将 3 x 4 y 2 z 1 0 2 化为截距式方程, 并作图. 当平面不与任何坐标面平行,且不过原点
长 的 时 间 隧 道，袅
7(5)平面及其方程
平面及其方程
在空间内,确定一个平面的几何条件 是多种多样的. 如: 不共线的三点确定、 点法确定、相交两直线确定等.
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平面及其方程
例 设平面与x, y, z 三轴分别交于 P (a ,0 ,0 )Q ,(0 ,b ,0 ),
R(0,0,c)( 其 a 0 ,b 中 0 ,c 0 )求,此平面方程.
n 1 ( A 1 ,B 1 ,C 1 )
1
n 2 ( A 2 ,B 2 ,C 2 )
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平面及其方程
按照两向量夹角余弦公式有
cos n1n2
|n1||n2|
取锐角 n 1 ( A 1 ,B 1 ,C 1 ) n 2 ( A 2 ,B 2 ,C 2 )
|A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 | A 1 2 B 1 2 C 1 2 A 2 2 B 2 2 C 2 2
进 入 夏 天 ，少 不了一 个热字 当头， 电扇空 调陆续 登场， 每逢此 时，总 会想起 那 一 把 蒲 扇 。蒲扇 ，是记 忆中的 农村， 夏季经 常用的 一件物 品。 记 忆 中 的故 乡 ， 每 逢 进 入夏天 ，集市 上最常 见的便 是蒲扇 、凉席 ，不论 男女老 少，个 个手持 一 把 ， 忽 闪 忽闪个 不停， 嘴里叨 叨着“ 怎么这 么热” ，于是 三五成 群，聚 在大树 下 ， 或 站 着 ，或随 即坐在 石头上 ，手持 那把扇 子，边 唠嗑边 乘凉。 孩子们 却在周 围 跑 跑 跳 跳 ，热得 满头大 汗，不 时听到 “强子 ，别跑 了，快 来我给 你扇扇 ”。孩 子 们 才 不 听 这一套 ，跑个 没完， 直到累 气喘吁 吁，这 才一跑 一踮地 围过了 ，这时 母 亲总是 ，好似 生气的 样子， 边扇边 训，“ 你看热 的，跑 什么？ ”此时 这把蒲 扇， 是 那 么 凉 快 ，那么 的温馨 幸福， 有母亲 的味道 ！ 蒲 扇 是 中 国传 统工艺 品，在 我 国 已 有 三 千年多 年的历 史。取 材于棕 榈树， 制作简 单，方 便携带 ，且蒲 扇的表 面 光 滑 ， 因 而，古 人常会 在上面 作画。 古有棕 扇、葵 扇、蒲 扇、蕉 扇诸名 ，实即 今 日 的 蒲 扇 ，江浙 称之为 芭蕉扇 。六七 十年代 ，人们 最常用 的就是 这种， 似圆非 圆 ， 轻 巧 又 便宜的 蒲扇。 蒲 扇 流 传 至今， 我的记 忆中， 它跨越 了半个 世纪， 也 走 过 了 我 们的半 个人生 的轨迹 ，携带 着特有 的念想 ，一年 年，一 天天， 流向长
设平面方程是 A B x C y D z 0
点(0,0,0)及(1,0,0)在平面上, 得 D A0,
从而平面方程是 B yC z0 B2C0即 B2C. 从而平面方程是 2C yC z0.
即
2yz0.
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平面及其方程
求平面方程常用两种方法:
(1) 用平面的点法式方程. 主要是利用条件用向量代数的方法找出