第五节 平面及其方程
平面及其方程说课稿人教版
平面及其方程说课稿人教版一、说课背景本次说课的内容选自人教版高中数学教材第五章“空间几何”，主要围绕平面及其方程的概念、性质和求解方法进行讲解。
本章节是空间解析几何的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力具有重要意义。
二、教学目标1. 知识与技能目标：使学生理解平面的基本概念，掌握平面方程的推导过程及其应用。
2. 过程与方法目标：通过实例演示和练习，培养学生运用平面方程解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观目标：激发学生对空间几何的兴趣，培养学生的探索精神和团队合作意识。
三、教学重点与难点1. 教学重点：平面的基本性质，平面方程的推导和应用。
2. 教学难点：平面方程的推导过程，以及如何利用平面方程解决实际问题。
四、教学方法与手段1. 教学方法：采用启发式教学法和探究式学习法，通过问题引导学生自主思考和探索。
2. 教学手段：运用多媒体课件展示平面图形，利用几何画板软件动态演示平面方程的推导过程。
五、教学过程1. 引入新课- 通过回顾上节课的立体几何知识，引出平面几何的概念。
- 通过实际问题（如：如何确定一个平面）激发学生的学习兴趣。
2. 概念讲解- 定义平面：平面是没有厚度的二维几何体，由无限多个点组成。
- 介绍平面的基本性质：平面内任意两点确定一条直线，平面与直线的关系等。
3. 平面方程的推导- 介绍平面方程的一般形式：Ax + By + Cz + D = 0。
- 通过实例演示如何从三个不在一条直线上的已知点推导出平面方程。
- 讲解法向量的概念及其在平面方程中的作用。
4. 平面方程的应用- 通过例题讲解如何求解平面与直线的交点问题。
- 探讨平面方程在实际生活中的应用，如建筑设计、工程测量等。
5. 课堂练习- 设计针对性练习题，让学生巩固平面方程的推导和应用。
- 分组讨论，鼓励学生相互合作，共同解决问题。
6. 课堂小结- 总结平面及其方程的主要内容。
- 强调平面方程在解决实际问题中的重要性。
《平面的方程》课件
点法式方程
点法式方程的应用：求解平面方程、 判断点是否在平面上、计算平面与 平面之间的夹角等
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点法式方程的表示形式： Ax+By+Cz+D=0
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点法式方程的局限性：不适用于非 平面的点和直线，需要转化为其他 形式进行计算
平面方程的一般式： Ax+By+Cz+D=0
一般式方程
确定两个相交直线 的方程
计算两个直线的交 点坐标
计算两个直线的法 向量
利用法向量和交点 坐标求解平面方程
已知三个不共线的点求平面方程
确定三个不共线的点A、B、C
计算叉乘的结果，得到平面法向量
计算向量AB和向量AC 计算向量AB和向量AC的叉乘
计算平面法向量与点A的向量积，得到平面常 数项
得到平面方程：Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、 C为平面法向量的坐标，D为平面常数项
平面方程的一般式表示平面上任意 一点到平面的垂线与平面的交点
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A、B、C、D为常数，且A、B、C 不全为零
平面方程的一般式可以表示任意一 个平面
参数式方程
平面方程的建立：通过参数式方程表示平面 参数式方程：x=a+by+cz+d 参数式方程的应用：解决实际问题，如求交点、求距离等 参数式方程的局限性：不能表示所有平面，如平行于坐标轴的平面
求平面与平面的夹角
求法向量：通过平面方程求解
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平面夹角：两个平面的法向量的夹 角
求夹角：通过法向量的夹角求解
平面及其方程7-5
§7.5平面及其方程一、平面的点法式方程法线向量：如果一非零向量垂直于一平面 .这向量就叫做该平面的法线向量.容易知道 '平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直.唯一确定平面的条件 ：当平面口上一点M o (X 0 J0 Z0)和它的一个法线向量 n^A^B *C)为已知时、平面n 的位置就完全确定了 .平面方程的建立：设M(x.y.z)是平面□上的任一点.那么向量M ^M 必与平面n 的法线向量n 垂直、即它们的数量积等于零 ：由于Tn 球A*BC)* M 0M =(x —X 0, y —y 。
, Z —Z 0).所以A(XF 0)+B(y-y 0)弋(z-Z 0)=0 .n 上任一点M 的坐标 心工所满足的方程.、如果M (x 、y .Z)不在平面r 上、那么向量M^M 与法线向量n 不垂直、从而…即不在平面□上的点M 的坐标X y .Z 不满足此方程. 由此可知、方程A(x-X 0)+B(y-y 0)P(z-Z 0)n 就是平面□的方程.而平面口就是平面方程的图 形.由于方程A (X%)怕(y-y 0)4c (z-Z 0)=0是由平面L ［上的一点M 0(X 0、y 0、Z 0)及它的一个法线向量 n=(AB 、C)确定的、所以此方程叫做平面的点法式方程.例1求过点(2Q)且以 ^(K-2. 3)为法线向量的平面的方程.解根据平面的点法式方程 '得所求平面的方程为(x-2)-2(yt3)t3z=0 * x-2y+3z£n .M 1(2 H ⑷、M 2(—1 \3 L 2)和M 3(0 ,2①的平面的方程.T因为 M 1M 2 =(—3,4, -6)、M 1M 3=(-2,3, —1)、 所以T T in= M 1M^M 1M^ -3-2这就是平面 反过来T n M 0M =0即例2求过三点 解我们可以用 T TM i M 2X M 1M 3作为平面的法线向量k-6 =14 + 9j-k . -1根据平面的点法式方程、得所求平面的方程为14(x-2)H(y+1)-(z -4H0 . 14x49y_ z_15』. 二、平面的一般方程由于平面的点法式方程是 x.y 的一次方程.而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线 向量来确定 '所以任一平面都可以用三元一次方程来表示.反过来、设有三元一次方程Ax +By 4Cz 4D =0.我们任取满足该方程的一组数 x o .y o .z ^即Ax o +By o 4Cz o +D =0 .把上述两等式相减 '得A(x£o )+B(y-y o )兀(z-z o )=O 、这正是通过点 M o (x o.y oQ )且以nNA 、BQ 为法线向量的平面方程 .由于方程Ax +By 4Cz *DO与方程A(x 必)+B(y-y o )七(Z-z o ) =o同解*所以任一三元一次方程Ax 也y P z +O n 的图形总是一个平面.方程Ax 4By M z +D =o 称为平面的一般方程，其中 心z 的系数就是该平面的一个法线向量n 的坐标‘即nNA'B .0).例如 '方程3x -4y +z -9=0表示一个平面 小=(3\*訂)是这平面的一个法线向量 .讨论：考察下列特殊的平面方程 .指出法线向量与坐标面、 坐标轴的关系 '平面通过的特殊点或线.Ax +By f z ^o ；By 七Z 也 n^Ax ^z P^o r Ax +By +D P ； Cz +D P 'Ax PO By +D P . 提示： 平面过原点.n =(o *B Q).法线向量垂直于 n =(A 、o rC).法线向量垂直于 n =(A *B *o ).法线向量垂直于 n=(o *o *C)、法线向量垂直于 n=(A .o ,o b 法线向量垂直于 n=(o 占,o b 法线向量垂直于例3求通过x 轴和点(4L 1)的平面的方程.解 平面通过x 轴、一方面表明它的法线向量垂直于 点、即DP .因此可设这平面的方程为By 弋z^o .x 轴*平面平行于 y 轴、平面平行于 z 轴、平面平行于x 轴和y 轴，平面平行于 y 轴和z 轴r 平面平行于 x 轴和z 轴r 平面平行于 xOy 平面.yOz 平面. zOx 平面.X 轴、即AR ；另一方面表明 它必通过原又因为这平面通过点(4 *-3 *7) *所以有—BB-Cn 、或 C 」B .将其代入所设方程并除以B （B 如）、便得所求的平面方程为y ；z=0.例4设一平面与X 、y 、z 轴的交点依次为 P （a *0 * 0）、Q （0、b *0）、R （0 , 0、c ）三点、求这平面的 方程（其中乂&?€）.解 j a ^D =0, f bB +D =0, pc +D=0,A=-D 、B=-D r C=—D a b c 将其代入所设方程、得 -Dx-Dy-Dz+D =0 、 a b c X +上也=1 . a b c '上述方程叫做平面的截距式方程 *而a 、b 、c 依次叫做平面在 X 、y 、z 轴上的截距.三、两平面的夹角两平面的夹角：两平面的法线向量的夹角（通常指锐角）称为两平面的夹角.设平面n 1和rb 的法线向量分别为 n 1N A 1占1 C ）和n 2=（A 2旧2、C 2）、那么平面n 1和rb 的夹角e 、―AAA_A应是（n 1, n 2）和（Til , n 2）F —g ,改）两者中的锐角、因此、cos 日^cosg ,匹）！.按两向量夹角余弦的坐标表示式.平面n 1和rt 的夹角e 可由来确定.从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论平面口 1和巧垂直相当于A1A2怕辰 QC2=0； 平面□ 1和n 2平行或重合相当于 A =BL -C!.A ， B, C 2例5求两平面 x-yPz-6=0和2x 为七-5=0的夹角. 解 n 1=（A 1 启1 Q1）=（1、一1 *2）、n 2m A 2、B 2Q2）=（2*1 * 1）.c 1c2l_ I1'2■ (-1)'T ■ 2…I| Jcos g _lAie 日口2 "T A 2+ Bfg 2叔2 +B ：七："712+(-1)2七2722+12+12~^设所求平面的方程为Ax+By4Cz*HD=0.P （a *0 *0）、Q （0 *b *0）、R （0 ,0 ,c ）都在这平面上*所以点P 、Q 、R 的坐标都满足所设方程*即 因为点 有由此得IAA2+B 1B 2+C 1C 2IAco眄cosg,讣府魯Y A 呢W|1X2 +(-1)X1 +2咒1||AA 2+B ,B 2pi C 2|所以*所求夹角为,4,例6 一平面通过两点 M 1(1」和M 2(o 」#)且垂直于平面 x+y+z=o 、求它的方程.解 方法一：已知从点M 1到点M 2的向量为 山勻/卫、-?)、平面x+y+z=o 的法线向量为n 2=(1、 1 J). 设所求平面的法线向量为n^A 、B 、C).因为点M 1(1、1、1)和M 2(o1)在所求平面上、所以n 丄n 仁即从—2C=o 、A 亠2C . 又因为所求平面垂直于平面 x^^zT*所以n 丄m*即A+B4C=o*B=C. 于是由点法式方程*所求平面为-2CZ)£(y —1)兀(Z —1)0 即 2x —y-z=o.方法二：从点M 1到点M 2的向量为n 1 =(-1 e *-2) *平面x+y+z=o 的法线向量为“2=(1* 1 , 1). 设所求平面的法线向量因为所以所求平面方程为2(x-1)-(y-1)-(z-1)0 2x-y-z=0 .例7设P o (x o ,y o ,z o )是平面Ax+By 兀z 也=0外一点、求P o 到这平面的距离. 解 设e n 是平面上的单位法线向量.在平面上任取一点 P 1(X 1 $1 *Z 1)*则P o 到这平面的距离为|A(X o^i )+B(y o-y i )七(z o^i )|扌是示：en^7A ^B ^(A, B, C)' 活o =(xo —x 1,yo —y 1,zo —z1)、例8求点(2 J J )到平面x +y -z +1 =0的距离.解 d JAxp^y o 弋zo^DI 」仝2丁X 1—(—1門+1| _ 3 —E _J A 2 + B 2 弋2 j 12+12+(—1)273 ' n 可取为npc n2 .i:-J o 1J A 2 +B 2+C 2JAx o 怕y oy z o-(Ax1HBy 1 七Z 1)| J A 2 +B 2 七2JAx^怕yo +Czo +D|Td 斗RP oen 1 =j 12+12+(_1)2。
平面及其方程77567
o
y
x
由所求平面与已知平面平行得
111 （向量平行的充要条件） a b c ,
616
化简得 1 1 1 , 令 1 1 1 t 6a b 6c 6a b 6c
a 1 , b 1, c 1 ,
6t
t
6t 代入体积式
1 1 1 1 1 6 6t t 6t
1
n2 { A2 , B2 ,C2 },
SUCCESS
THANK YOU
2019/6/21
按照两向量夹角余弦公式有
cos
| A1 A2 B1B2 C1C2 |
A12 B12 C12 A22 B22 C22
两平面夹角余弦公式
两平面位置特征：
(1) 1 2 A1 A2 B1B2 C1C2 0;
所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0,
化简得 2x 3 y z 6 0.
二、平面的一般方程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
D
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
法向量 n {A, B,C}.
平面一般方程的几种特殊情况：
(1) D 0, 平面通过坐标原点；
D 0, 平面通过 x轴； (2) A 0, D 0, 平面平行于 x轴；
类似地可讨论 B 0, C 0 情形.
一、平面的点法式方程 z
n
如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做
M0 M
0705平面及其方程-文档资料
616
a1,b1,c1, 6t t 6t
1 63 t 3
1,
t 1, 6
a1,b1,c1, 6t t 6t
1 63t
3
1,
t 1, 6
a 1 ,b 6 ,c 1 ,
所求平面方程: 为
x yz 1, 1 61 即 6 x y 6 z 6 0 .
即 2 x 2 y 3 z 0 .
练习 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 AD0 设所求平面方程为 ByCz0 代入已知点 (4,3,1)得 C3B 化简,得所求平面方程 y3z0
例4 设平x,面 y,z三 与轴分P(别 a,0,0)交 Q ,(0,于 b,0), R(0,0,c)其 , a中 bc0,求此平. 面方程
------平面的截距式方程.
例5 求平行于6平 x面 y6z50而与三个坐标 在第一卦限内所 四围 面成 体的 体积为一 的个
平面方. 程
解 设平面方程为： x yz 1, z a bc
由题知:
1 1abc1,
o
y
32
x
111
111
a b c, 令a b ct,
616
由平面过原点知: D0,
由平面 (6, 过 3,2)点 知: 6 A 3 B 2 C 0 ,
又 ( A ,B ,C ) ( 4 , 1 ,2 ) ,4 A B 2 C 0 ,
AB2C 0, D0, ∴所求平面方程为： 3
2C x2C yC z0, 33
1 ,
3
cos2
2 3
,
cos3
平面及其方程
3 = =1 3
2. 平面方程的几种特殊情形 (1) 过原点的平面方程 由于O(0, 0, 0)满足方程, 所以D = 0. 于是, 过原点的平面方程为: Ax + By + Cz = 0
(2) 平行于坐标轴的方程 考虑平行于x轴的平面Ax + By + Cz + D = 0, 它的法向量n = {A, B, C}与x 轴上的单位向量 i ={1, 0, 0}垂直, 所以 n ·i = A ·1 + B ·0 + C ·0 = A = 0 于是: 平行于x 轴的平面方程是 By + Cz + D = 0; 平行于y 轴的平面方程是 Ax + Cz + D = 0; 平行于z 轴的平面方程是 Ax + By + D = 0. 特别: D = 0时, 平面过坐标轴.
法向量 n1 = {A1, B1, C1}
θ
n1
Π2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0
法向量 n2 = {A2, B2, C2}
θ
Π2 Π1
平面Π 1 与Π 2 的夹角θ 应是 ( n1 , n 2 ) 和( − n1 , n 2 ) = π − ( n1 , n 2 ) 两者中的锐角 ,
M1 n
M3 M2
= − 3 4 − 6 = 14i + 9j − k − 2 3 −1 所以, 所求平面的方程为: 14(x − 2) + 9(y + 3) − (z − 4) = 0
即: 14x + 9y − z − 15 = 0
二、平面的一般方程 1. 定理1: 任何x, y, z的一次方程. Ax +By +Cz +D = 0 都表示平面,且此平面的一个法向量是: n = {A, B, C} 证: A, B, C不能全为0, 不妨设A ≠ 0, 则方程可以化为 −D A x −( ) + B( y −0) +C ( z −0) = 0 A 它表示过定点 M 0 ( − D , 0 , 0 ) , 且法向量为 A n = {A, B, C}的平面. 注：一次方程: Ax + By + Cz + D = 0 (2)
一、平面的点法式方程
平面∏2的法向量为 n2 ( A2 , B2 ,C2 )
则两平面夹角 的余弦为
2
cos n1 n2
n1 n2
即
cos
A1A2 B1B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22
n1
n2
1
平面的位置关系：
(1) 1 2
n1 n2
A1 A2 B1 B2 C1 C2 0
求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0,
aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0,
cC D 0,
A D, B D, C D.
a
b
c
三、两平面的夹角
两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.
设平面∏1的法向量为 n1 ( A1 , B1 ,C1 )
o x
n
M0
y
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 ① 平面的点法式方程, 称 n 为平面 的法向量.
例1 求过三点
的平面 的方程.
解: 取该平面 的法向量为
n
n M1M 2 M1M3
M1
i jk
3 4 6
2 3 1
(14, 9, 1)
又 M1 , 利用点法式得平面 的方程
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
显然方程②与此点法式方程等价,因此方程②的图形是
法向量为 n ( A, B,C)的平面, 此方程称为平面的一般
方程.
Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0)
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
第五节 平面及其方程.ppt
三、平面的一般方程
设有三元一次方程
Ax B y C z D 0 ( A2 B2 C2 0) ② 任取一组满足上述方程的数 x0 , y0 , z0 , 则
A x0 B y0 C z0 D 0
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
显然方程②与此点法式方程等价,因此方程②的图形是
d Prj n P1P0
P1P0 n n
n P0
A(x0 x1) B( y0 y1) C(z0 z1)
d
A2 B2 C2
P1
d A x0 B y0 C z0 D A2 B2 C2
(点到平面的距离公式)
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例6. 求过点 (1,1,1)且垂直于二平面
第三节
第八章
平面及其方程
一、曲面方程与空间曲线方程的概念 二、平面的点法式方程 三、平面的一般方程 四、两平面的夹角
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一、曲面方程与空间曲线方程的概念
引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程.
解:设轨迹上的动点为 M (x, y, z), 则 AM BM , 即 (x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 (x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2
约去C , 得 2(x 1) ( y 1) (z 1) 0
即
2x y z 0
(C 0)
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例5. 设
是平面
外一点,求 P0 到平面的距离d . 解:设平面法向量为n ( A, B , C), 在平面上取一点
P1(x1, y1, z1) ,则P0 到平面的距离为
最新高等数学 平面及其方程精品课件
z R (0, 0, c)
n
Q (0, b, 0)
O
y
P (a, 0, 0) x
第十六页，共25页。
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、 R(0, 0, c)三点， 求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)．
解 设所求平面(píngmiàn)的方程为 A x B y C z D 0． 因P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三点都在这平面上，所以(suǒyǐ)
所以 A(xx 0)B(yy 0)C(zz 0)0．
这就是平面的方程．
此方程叫做平面的点法式方程．
第八页，共25页。
M0
O
My
x
例1 求过点(2，3，0)且以 n{1，2，3}为法线(fǎ xiàn)向量
面的方程(fāngchéng)． 解 根据平面(píngmiàn)的点法式得方程所，求平面的方程为
第十一页，共25页。
方法二：设平面方程(fāngchéng)为A（x-2）+B（y+1）+C（Z-
4）=0
点M3A2、4MB 3满6C足方0程(fāngchéng)，代入方程(fāngchéng)：
2A 3B C 0
解之得：
B C
9A 14 1
14
A
因此(yīncǐ)有：A(x 2) 9 A( y 1) 1 A(z 4) 0
第十四页，共25页。
例3 求通过 x 轴和点(4， 3， 1)的平面(píngmiàn)的方程． 解 由于平面(píngmiàn)通过 x 轴，从而它的法线向量垂直于 x 轴， 于是法线向量在 x 轴上的投影为零，即A0．
第五节平面及其方程教案(最新整理)
重庆科创职业学院授课教案课名：高等数学（上）教研窒：高等数学教研室班级：编写时间：解：设平面为，由平面过原点知 0=+++D Cz By Ax 0=D 由平面过点知 ，)2,3,6(-0236=+-C B A {4,1,2}⊥- n 024=+-∴C B A C B A 32-==⇒所求平面方程为0322=-+z y x 三、两平面的夹角：定义：两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角。
设平面，0:11111=+++∏D z C y B x A 0:22222=+++∏D z C y B x A ， 按照两向量夹角余弦公式有：},,{1111C B A n = },,{2222C B A n = 222222212121212121||cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ几个常用的结论设平面1和平面2的法向量依次为和},,{1111C B A =n },,{2222C B A =n 1) 两平面垂直：（法向量垂直）0212121=++C C B B A A 2) 两平面平行：（法向量平行）212121C C B B A A ==3) 平面外一点到平面的距离公式：设平面外的一点，平),,(0000z y x P 面的方程为 ，则点到平面的距离为0=+++D Cz By Ax 222000C B A DCz By Ax d +++++=例3：研究以下各组里两平面的位置关系：013,012)1(=-+=+-+-z y z y x 01224,012)2(=--+-=-+-z y x z y x 02224,012)3(=-++-=+--z y x z y x 旁批栏：解：(1) ，两平面相交，夹角60131)1(2)1(|311201|cos 22222=+⋅-++-⨯-⨯+⨯-=θ；601arccos=θ (2) ， ，两平面平}1,1,2{1-=n }2,2,4{2--=n 212142-=-=-⇒行．，所以两平面平行但不重合。
平面及其方程
平面及其方程平面的点法式方程平面的一般方程两平面的夹角平面的点法式方程法线向量: 与平面垂直的非零向量.n即有A (x -x 0)+B (y -y 0)+C (z -z 0)=0 设M 0(x 0,y 0,z 0)是平面П上的已知点, n =(A ,B ,C )是平面П的法线向量,M (x ,y ,z )是平面П上的任一点, 则有n •0M M =0.由于n =(A ,B ,C ) ,0M M =( x -x 0,y -y 0,z -z 0),称为平面的点法式方程.O∏zyxM nM例求过点(2,-3,0)且以n=(1,-2,3)为法线向量的平面方程. 解代入平面的点法式方程得:(x-2)-2(y+3)+3(z-0)=0⇒x-2y+3z-8=0例 求过三点M 1(2,-1,4)、M 2(-1,3,-2)、M 3(0,2,3)的平面方程.解 由于n ∥12M M ×13M M =132643----kj i =14i +9j -k则所求平面方程为⇒ 14(x -2)+9(y +1)-(z -4)=0⇒ 14x +9y -z -15=01M2M 3M ∏n平面的一般方程平面的点法式方程A (x -x 0)+B (y -y 0)+C (z -z 0)=0设有三元一次方程Ax +By +Cz+D =0任取满足方程的一组数000,,x y z 即0000Ax By Cz D +++=两式相减，得A x x B y y C z z 000()()()0-+-+-=是x 、y 、z 的一次方程平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0其中n=(A,B,C)为法向量各种特殊情形D=0,平面Ax+By+Cz=0经过原点;D=0,平面Ax+By+Cz=0经过原点; A=0,平面By+Cz+D=0平行于x轴; B=0,平面Ax+Cz+D=0平行于y轴; C=0,平面Ax+By+D=0平行于z轴;A=B=0,平面Cz+D=0平行于xoy平面; A=C=0,平面By+D=0平行于xoz平面; B=C=0,平面Ax+D=0平行于yoz平面.例求通过x轴和点(4,-3,-1)的平面方程.解平面经过x轴,则平面经过原点, ⇒D=0;平面经过x轴,则法向量在x轴上的投影为0 ⇒A=0;故可设平面方程为: By+Cz=0,又平面经过点(4,-3,-1), ⇒-3B-C=0,或C=-3B.代入有y-3z=0.和R (0,0,c )三点,求此平面的方程.(其中a ≠0,b ≠0,c ≠0)解 设平面方程为 Ax +By +Cz +D =0代入P (a ,0,0)、Q (0,b ,0)和R (0,0,c )得 A =-D a , B =-D b , C =-Dc, 代入方程并消去D 得平面方程: (,0,0)a (0,,0)b (0,0,)c x yz O和R (0,0,c )三点,求此平面的方程.(其中a ≠0,b ≠0,c ≠0)解 代入方程并消去D 得平面方程:1x y za b c++=此方程称为平面的截距式方程, a ,b ,c 依次称为平面在x ,y ,z 轴上的截距.两平面的夹角两平面的夹角: 两平面的法线向量的夹角(通常指锐角).设平面П1和П2的法线向量依次为:n 1=(A 1,B 1,C 1) n 2=(A 2,B 2,C 2)则平面П1和П2的夹角θ为(12,n n ∧)和π-(12,n n ∧)中的锐角,⇒ cos θ=|cos(12,n n ∧)|,⇒222222212121212121cos CB AC B A C C B B A A ++∙++++=θθθ1n 2n 1∏2∏两平面垂直、平行的充分必要条件平面П1和П2垂直⇔ A 1A 2+B 1B 2+C 1C 1=0 2∏1∏1∏2∏2n 1n 1n2n 平面П1和П2平行⇔ 12A A =12B B =12C C设平面П1和П2的法线向量依次为:n 1=(A 1,B 1,C 1) n 2=(A 2,B 2,C 2)例 求两平面x -y +2z -6=0和2x +y +z -5=0的夹角.解n 1=(1,-1,2) n 2=(2,1,1)⇒ cos θ=222222|12(1)121|1(1)2211⨯+-⨯+⨯+-+++=21⇒ θ=π3例一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,-1)且垂直于平面x+y+z=0,求它的方程.解设所求平面的一个法向量为n={A,B,C}.由n⊥M M=(-1,0,-2) ⇒-A-2C=012由n⊥(1,1,1) ⇒A+B+C=0 ⇒A=-2C,B=C, 代入点法式方程:A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0消去C得所求方程为:2x-y-z=0例 设P 0(x 0,y 0,z 0)是平面Ax +By +Cz +D =0外一点,求P 0到这平面的距离.解 在平面上任取一点P 1(x 1,y 1,z 1),并作法向量 n ={A ,B ,C }. 则所求距离:d =│Prj n 10P P │.又设e n 为与n 方向一致的单位向量, 则有Prj n 10P P = Prj e n 10P P =10P P •e nn1P 0P θ∏则有Prj n 10P P = 10P P •e n而 e n =(222CB A A++,222C B A B ++,222CB A C++) 10P P =(x 0-x 1,y 0-y 1,z 0-z 1)由于Ax 1+By 1+Cz 1+D =0,所以Prj n 10P P =222000CB A DCz By Ax +++++n1P 0P θ∏点到平面的距离 222000CB A DCz By Ax d +++++=例 求点(2,1,1)到平面x +y -z +1=0的距离解 d =222|1211111|11(1)⨯+⨯-⨯+++-=3平面及其方程1.掌握平面的点法式、一般式、截距式方程,会根据相应条件求平面的方程.2.掌握两平面夹角的概念与求法，掌握两平面平行、垂直的充分必要条件.3.掌握点到平面的距离公式，会求点到平面的距离.。
平面及其方程
M (1,1,0) 2
例6：求两平面x–y+2z– 6=0和2x+y+z–5 = 0的夹角. 解：由公式有
1 cos 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 1) 2 2 1 1 1 2 ( 1) 1 2 1
因此，所求夹角
( 2)
n1 {2,1, 1},
n2 {4, 2,2}
2 1 1 , 两平面平行 4 2 2 M (1,1,0) 1 M (1,1,0) 2
两平面平行但不重合．
2 1 1 , 两平面平行 ( 3) 4 2 2
M (1,1,0) 1
P1 P0 { x0 x1 , y0 y1 , z0 z1 }
A n0 , 2 2 2 A B C
B , 2 2 2 A B C
C 2 2 2 A B C
Pr jn P1 P0 P1 P0 n 0
A( x0 x1 ) B( y0 y1 ) C ( z0 z1 ) 2 2 2 2 2 2 A B C A B C A2 B 2 C 2
n1 n2 cos n1 n2
n2
n1
2 1
即 cos
2 A1
A1 A2 B1B2 C1C2
2 B1 2 C1
A2 B2 C2
2 2
2
特别有下列结论：
(1) 1 2
(2) 1 // 2
规定: 若比例式中某个分母为0, 则相应的分子也为0.
Ax0 By0 Cz0 ( Ax1 By1 Cz1 ) , 2 2 2 A B C
《平面及其方程》课件
平面方程的求解
定义
求解平面方程是指通过已 知条件求出平面方程中的 常数 $A, B, C, D$。
方法
根据已知条件建立方程组 ，解方程组即可求出 $A, B, C, D$ 的值。
应用
用于确定平面的具体位置 和形状，以及求解与平面 相关的几何问题。
03
二次方程与平面
二次方程的几何意义
总结词
二次方程的几何意义是描述平面上的点集
平面几何的发展趋势和未来展望
随着计算机技术的发展，平面几何与计算机图形学、计算机视觉等领域 的交叉将更加紧密，有望在人工智能、虚拟现实等领域发挥重要作用。
随着数学理论的发展，平面几何与其他数学分支的交叉将更加深入，有 望在数学理论研究中发挥更大的作用。
随着教育改革的推进，平面几何的教学方法和手段将不断创新，更加注 重培养学生的实践能力和创新精神。
平面的性质
平面的基本性质包括
经过两点有且仅有一条直线，且该直线完全位于该平面上；所有 与给定直线平行的直线都位于该平面上。
平面的延伸性
平面是无限延伸的，没有边界。
平面的对称性
平面上的任意两点和关于平面对称的另外两点构成一个轴对称图形 。
平面的表示方法
01
02
03
代数表示法
通过方程来表示平面，通 常采用一般式、点式和参 数式来表示。
经济建模
在经济建模中，平面方程可以用于描述市场供需 关系、消费者行为等。
05
总结与展望
平面几何的重要性和意义
平面几何是数学的重要分支，对于培养学生的逻辑思维和空间想象力具有重要意义 。
平面几何在日常生活和工程领域中有着广泛的应用，如建筑设计、机械制造和测量 等。
平面几何对于后续学习其他数学课程，如解析几何、微积分等具有基础性作用。
线性代数 平面及其方程
| 1 0 2 1 1 3 | (1) cos ( 1) 2 2 2 ( 1)2 12 3 2
1 1 cos 两平面相交，夹角 arccos . 60 60
( 2)
n1 {2,1, 1},
n2 {4, 2,2}
1 1 2 , 两平面平行 4 2 2 M (1,1,0) 1 M (1,1,0) 2
又 M 1 , 利用点法式得平面 的方程 14( x 2) 9( y 1) ( z 4) 0
即 14 x 9 y z 15 0
说明: 此平面的三点式方程也可写成
x 2 y 1 z 4
3 2
的平面方程为
4 3
6 0 1
一般情况 : 过三点 M k ( xk , y k , z k ) ( k 1, 2 , 3)
两平面平行但不重合．
2 1 1 , 两平面平行 ( 3) 4 2 2
M (1,1,0) 1
两平面重合.
M (1,1,0) 2
例6 一平面通过两点 M 1 ( 1, 1, 1 ) 和 M 2 ( 0 , 1, 1 ) , 且 垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 . 解: 设所求平面的法向量为 n ( A, B, C ) ,则所求平面 方程为
D A , a D B , b D C . c
三、两平面的夹角
两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 设平面∏1的法向量为 n1 ( A1 , B1 , C1 ) 平面∏2的法向量为 n2 ( A2 , B2 , C 2 ) 则两平面夹角 的余弦为
n1
n 2
《平面及方程》课件
几何图形：由点、 线、面等元素组 成的图形
关系：平面方程可 以表示几何图形的 形状、位置和尺寸
应用：平面方程在工 程、科学和数学中广 泛应用，如计算机图 形学、机器人技术等
平面方程与向量场的关系ห้องสมุดไป่ตู้
向量场：描述空间中向量的分布和变化 平面方程：描述平面的位置和方向 向量场与平面方程的关系：向量场在平面上的投影就是平面方程 应用：向量场与平面方程的关系可以用于求解物理问题，如流体力学、电磁学等
平行线的性质：平行线之 间的距离相等
垂直线的性质：垂直线之 间的角度为90度
平行线和垂直线的关系： 平行线和垂直线是相互垂 直的
平行线和垂直线的应用： 在几何证明、计算面积等 方面有广泛应用
平面方程的表示方法
点在平面上的坐标表示
平面方程：ax+by+cz=d 点的坐标：(x,y,z) 点在平面上的坐标表示：(x,y,z)满足ax+by+cz=d 特殊情况：当a=1,b=0,c=0时，平面方程简化为x=d，表示点在x轴上的坐标表示。
代入法：将已知点的坐标代入方程，求解未知参数 消元法：通过消元，将方程转化为标准形式 矩阵法：利用矩阵运算求解方程 几何法：利用几何图形的性质求解方程
平面方程的应用
平面几何中的问题求解
平面方程的定义和性质 平面方程在几何中的应用 平面方程在解决几何问题中的作用 平面方程在实际生活中的应用
解析几何中的问题求解
平面方程与微分几何的关系
平面方程是微分 几何的基础
平面方程描述了 平面上的点、线、 面的位置关系
微分几何通过研 究平面方程来研 究曲面的性质
平面方程与微分几 何在几何学、物理 学等领域有广泛应 用
平面方程与平面直线方程
， 2 相互平行或者重合的条件为：
1 2
B B
1 2
C C
1 2
1
， 2 相互垂直的条件为：
A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 =0
3、 点到平面的距离 点 P0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) ，到平面 Ax+By+CZ+D=0 的距离：
x x0 y y0 z z0 m n p =t
0
则： x=mt+ x y=nt+
y
0
Z=pt+ z
0
--------------------------参数方程
5、 直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时， 直线和它在平面上的投影直线 的夹角φ（ 0 ）称为直线与平面的夹角
n M 0 M =0
n
M0
M
x
n M 0 M =0
n
= {A, B, C};
M 0 M = {(x- x 0 ), (y- y0 ), (z- z 0 )}
A(x- x 0 ) +B(y- y0 ) +C (z- z 0 ) =0 ---------------------------点法式
（2）平面方程一般式
Ax+By+CZ+D=0 该方程系数就是该平面的法线向量， n = {A,B,C}
特殊三元一次方程图形： ① D=0, 表示一个通过远点的平面 ② A=0,表示为一个法线向量垂直与 x 轴的平面 ③ A=B=0，表示同时垂直与 x 和 y 轴的平面
（3）平面的截距式
c b a
x
x y z 1 a b c
高等数学 第5节 平面及其方程
z
z
oo
o y
y
x
x
若 C 0, Ax By D 0,
——法向量垂直z轴, 平面平行z轴.
Ax By 0, ——平面过z轴。
z
z
oo x
y
y o
x
若 A 0, B 0, Cz D 0, n (0,0,C )
——平面垂直z轴或平行xoy面。
z
n
o y
x
例3 求过点 (4,3,1) 及过x轴的平面方程.
2. 一般式平面方程 点法式平面方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 化为 Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0 记 D ( Ax0 By0 Cz0 ), 则平面方程为
Ax By Cz D 0 —— 一般式平面方程
若 D 0, Ax By Cz 0, ——平面过原点
x 3 y z 1 0 都垂直的平面方程.
三、点到平面的距离
设 M0( x0, y0, z0 ) 是平面 : Ax By Cz D 0
外一点, 求点 M0 到平面 的距离.
在平面 上取一点 P( x1, y1, z1),
M0
PM0 ( x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 )
z
o
y
x
若 A 0,
By Cz D 0, n (0, B,C )
——法向量垂直x轴, 平面平行x轴.
By Cz 0, ——平面过x轴。
z
o
y
x
若 B 0, Ax Cz D 0, n ( A,0,C )
——法向量垂直y轴, 平面平行y轴.
Ax Cz 0, ——平面过y轴。
d
8-5平面及其方程
n2
{4, 2,2}
2 1 1 , 两平面平行 4 2 2
M(1,1,0) 1 M(1,1,0) 2
两平面重合.
返回
小结
点法式 一般式
A( x x0 ) B( y y0 ) Cz
o
y
x
(3) A B 0, Cz D 0 平行于 xoy坐标面；
方程缺少 ?坐标 此面 //?轴
方程缺少?坐标和? 坐标 此面//? o ? 坐标平面
返回
例2 观察平面的特征
Ax Cz 0
此面过y轴
By D 0
此面 // zx面
x0
yz面
返回
例3 求过三点 A(a,0,0)、 B(0,b,0)、C(0,0,c)
M2
2 3 1
所以, 所求平面的方程为:
14(x 2) + 9(y + 1) (z 4) = 0
即: 14x + 9y z 15 = 0
返回
二、平面的一般方程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
第五节 平面及其方程
一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 四、小结 思考题
返回
一、平面的点法式方程
确定平面的两要素: 方向、位置
z
平面的方向：
用与之垂直的向量可确定 其方向
x
o
M0
位置 : 过某点
法向量
y
返回
求以 n {A, B, C}为法向量，过点 M0( x0 , y0 , z0 )
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第五节 平面及其方程
一、选择题
1. 平面3x - 2y = 6位置是
( ) A . 平行于xOy 面; B . 平行于z 轴; C . 垂直于z 轴; D . 通过z 轴.
2. 平面2x - 3y + 5z = -2在x 轴上的截距为
( ) A . 2; B . 2
1; C . 1; D . -1. 3. 过点(1, 2, 3)且与平面2x - y + 3z = 2平行的平面方程为
( )
A . x + y + z = 6;
B . 2x - y + 3z = 0;
C . 3x - y + 2z = 5;
D . 2x - y + 3z = 9. 4. 二个平面1432=++z
y
x
和2x + 3y - 4z = 1位置关系是
( ) A . 相交但不垂直; B . 重合; C . 平行但不重合; D . 垂直.
二、填空题
1. 过点M (2, 1, 1)且垂直于向量(1, 2, 3)的平面方程为 .
2. 过x 轴且垂直于平面5x + 4y - 2z + 3 = 0的平面方程为 .
3. 平面x - y + 2z + 8 = 0与2x + y + z = 5的夹角为 .
4. 点(1, 2, 1)到平面2x + y + z = 5的距离为 .
三、解答题
1. 求过三点(3, 0, 1)、(1, 2, 3)、(-1, 0, 0)的平面方程.
2. 求过点(1, 1, 1)且垂直于两平面x - y + z = 2和3x + 2y - 12z + 3 = 0的平面方程.
3. 一平面过点(1, 1, 1)和(0, 1, -1), 且垂直与平面x + y + z = 5, 求此平面方程.
4. 求一平面方程, 使它的截距是平面2x - 3y + 4z = 12截距的一半.。