平面及其方程

Ax1 By1 Cz1 D 0 ( P1 )
Pr jnP1P0
Ax0 By0 Cz0 D , A2 B2 C 2
d | Ax0 By0 Cz0 D |. A2 B2 C 2 点到平面距离公式
四、小结
点法式方程.
解 (1) cos | 1 0 2 1 1 3 |
(1)2 22 (1)2 12 32
cos
1 60
两平面相交，夹角 arccos
1. 60
(2) n1 {2,1,1}, n2 {4,2,2} 2 1 1 , 两平面平行 4 2 2 M(1,1,0) 1 M(1,1,0) 2
x轴上截距 y轴上截距 z 轴上截距
备注：平行于一个平面也可以先设 为6x+y+6z+a=0，然后再去求解
例 5 求平行于平面6x y 6z 5 0而与三个坐
标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
解 设平面为 x y z 1,
z
a bc
V 1, 1 1 abc 1, 32
n P0
Pr jn P1P0 P1P0 n0
P1
N
P1P0 { x0 x1, y0 y1, z0 z1}
n0



A
,
A2 B2 C 2
B
,
A2 B2 C 2
C

A2

B2

C
2

Pr jn P1P0 P1P0 n0 A( x0 x1 ) B( y0 y1 ) C(z0 z1 ) A2 B2 C 2 A2 B2 C 2 A2 B2 C 2 Ax0 By0 Cz0 ( Ax1 By1 Cz1 ) , A2 B2 C 2
例 3 设平面过原点及点(6,3, 2) ，且与平面
4x y 2z 8垂直，求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0, 由平面过原点知 D 0,
由平面过点(6,3, 2)知 6A 3B 2C 0
n{4,1,2},
4A B 2C 0
t 1, 6
a 1, b 6, c 1,
所求平面方程为 6x y 6z 6.
三、两平面的夹角
定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的
夹角.（通常取锐角）
n2 n1
1 : A1 x B1 y C1z D1 0,

2 2 : A2 x B2 y C2z D2 0,
n1 { A1, B1,C1},
1
n2 { A2 , B2 ,C2 },
按照两向量夹角余弦公式有
cos
| A1 A2 B1B2 C1C2 |
A12 B12 C12
A22

B22
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

C
2 2
两平面夹角余弦公式
两平面位置特征：
(1) 1 2 A1 A2 B1B2 C1C2 0;
(2)
1
//
2
A1 A2

B1 B2

C1 C2
.
例6 研究以下各组里两平面的位置关系：
(1) x 2 y z 1 0, (2) 2x y z 1 0, (3) 2x y z 1 0,
y 3z 1 0 4x 2y 2z 1 0 4x 2y 2z 2 0
坐标面所构成的四面体体积为 1 的平面方程 .
练习题答案
一、1、(0,0,0)； 2、平行于； 3、通过；
4、3x 7 y 5z 4 0； 6、1 , 2 , 2 .
33 3 二、1、平行于z 轴 的平面；
5、x y z 1 ； a bc
2、平行于x 轴 的平面；
3、通过原点的平面 .
6、平面2x 2 y z 5 0 与xoy 面的夹角余弦为___ ________，与 yoz 面的夹角余弦为____________， 与zox 面的夹角的余弦为_________；
二、指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面： 1、2x 3 y 6 0； 2、 y z 1； 3、6x 5 y z 0.
A B 2C,
： 备注 两个方程求三个未知
3
数可以将其中一个当做已知， 到最后约掉
所求平面方程为 2x 2 y 3z 0.
例 4 设平面与x, y, z 三轴分别交于P(a,0,0)、 Q(0,b,0)、R(0,0,c)（其中a 0 ，b 0，c 0 ），
求此平面方程.
o
y
x
由所求平面与已知平面平行得
111 （向量平行的充要条件） a b c ,
616
化简得 1 1 1 , 令 1 1 1 t 6a b 6c 6a b 6c
a 1 , b 1, c 1 ,
6t
t
6t 代入体积式
1 1 1 1 1 6 6t t 6t
两平面平行但不重合．
(3) 2 1 1 , 两平面平行 4 2 2
M(1,1,0) 1 M(1,1,0) 2
两平面重合.
例 7 设P0 ( x0 , y0 , z0 )是平面Ax By Cz D 0
外一点，求 P0 到平面的距离.
解 P1( x1, y1, z1 ) d | Pr jnP1P0 |
三、求过点( 1 , 1 ,1 ) ,(2 ,2 , 2 )和( 1 ,1 , 2 )三点的 平面方程 .
四、点( 1 , 0 ,1 )且平行于向量a 2 , 1 , 1 和 b 1 ,1 , 0 的平面方程 .
五、求通过Z 轴和点(3 , 1 ,2 ) 的平面方程 . 六、求与已知平面 2 x y 2z 5 0 平 行且与 三
一、平面的点法式方程 z
n
如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做
M0 M
该平面的法线向量．
o
y
x
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
已知 n {A, B, C}, M0( x0 , y0 , z0 ),
设平面上的任一点为 M( x, y, z)
必有 M0M n M0M n 0
例 1 求过三点A(2,1,4)、B(1,3,2)和 C (0,2,3)的平面方程. 解 AB {3, 4,6}
AC {2, 3,1} 取 n AB AC {14, 9,1}, 所求平面方程为 14( x 2) 9( y 1) (z 4) 0,
三、 x 3 y 2z 0. 四、x y 3z 4 .
五、 x 3 y 0 .
六、2x y 2z 23 3 .
,
4 12 k2 (2)2 22 (3)2 12
1 2
3k
5 k2
, 14
k
70 . 2
练习题
一、填空题： 1、平面 Ax By Cz 0 必通过_______，（其中 A , B , C 不全为零）； 2、平面By Cz D 0 __________x 轴； 3、平面By Cz 0 _______x 轴； 4、通过点( 3 , 0 ,1 ) 且与平面3 x 7 y 5z 12 0 平 行的平面方程为 _________； 5、通过( a , 0 , 0 )、( 0 , b , 0 )、( 0 , 0 , c )三点的平面方 _______________；
D
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
法向量 n {A, B,C}.
平面一般方程的几种特殊情况：
(1) D 0, 平面通过坐标原点；
D 0, 平面通过 x轴； (2) A 0, D 0, 平面平行于 x轴；
类似地可讨论 B 0, C 0 情形. (3) A B 0, 平面平行于xoy 坐标面； 类似地可讨论 A C 0, B C 0 情形.
解 设平面为 Ax By Cz D 0,
aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0,
cC D 0,
AD, BD, C D.
a
b
c
将A D, B D, C D,
a
b
c
代入所设方程得
x y z 1 平面的截距式方程 a bc
M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
平面的点法式方程 其中法向量 n {A, B,C}, 已知点 ( x0 , y0 , z0 ).
平面上的点都满足上方程，不在平面上的 点都不满足上方程，上方程称为平面的方程， 平面称为方程的图形．
平面的方程

一般方程.
截距式方程.
（熟记平面的几种特殊位置的方程）
两平面的夹角.（注意两平面的位置特征）
点到平面的距离公式.
思考题
若平面 x ky 2z 0与平面 2 x 3 y z 0的夹角为 ，求k ?
4
思考题解答
cos
1 2 k (3) 2 1
所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0,
化简得 2x 3 y z 6 0.
二、平面的一般方程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
化简得 14x 9 y z 15 0.
例 2 求过点(1,1,1)，且垂直于平面x y z 7和 3x 2 y 12z 5 0的平面方程. 解 n1 {1,1,1}, n2 {3,2,12}
取法向量 n n1 n2 {10,15, 5},