数学分析讲解PPT数列极限

x3
x1
x 2 x4
xn
例1 讨论数列的单调性和有界性
xn 2 2 2 2 （n重根号）
二、数列极限定义
(1)n1 例2 观察数列 1 当n ＋时的变化趋势. n
定义2 设有数列{xn}. 若存在常数A，使得>0, NN, 当n>N时，|xnA|<，则称{xn}的极限为A，或称{xn}收敛 于A，记为 lim x A 或x A (n )
m (lim xn Am , m N) n
(lim(cxn ) cA c lim xn )
n n
xn A lim xn lim n n y B lim yn n
n
( B 0);
lim m xn m A ( A 0, m N)
n
例3 证明当 | q | 1时， q n 0. lim
n
3n 2 3 例4 证明 lim . n 2n 1 2
注 给定来找N似乎是解不等式 | xn A | ，由于N虽然 依赖于，但不唯一，因此只需要找一个N使得n >N成为 | xn A | 的充分条件即可. 这就是所谓的“适当放大法”.
例5 证明 lim n! 0. n n n
适当放大法：| xn A | G(n) (n N1 ) 其中G (n)适合 (1) lim G (n) 0; (2) 形式简单，即由
n
G(n) 容易解出n N2 .
最后取N max{N1 , N2}, 则n N时，xn A | . |
12 32 (2n 1) 2 例12 求极限 lim 3 3 n n n n3
例13. 求极限

1＋2＋＋n 1＋2＋＋(n 1)

定义4 对数列{xn } , 若 M 0, N N，当n N时 | xn | M , 则称数列 {xn }为无穷大（量），记为
an a , 则有 lim n an a n an 1
12 22 2 32 3 3 n2 n n 例14 求极限 lim n n3
1 3 2 3
1 2 n Ex. 求极限 lim n n n
五、数列收敛准则
1单调有界定理 设数列{xn}单调增加. 则当{xn}有上界时, {xn}收敛，当{xn} 上无界时, {xn}为正无穷大，且均成立
n
四、数列极限的运算
定义3 若 lim xn 0 ，则称数列 {xn } 为无穷小（量）。
n
有限个无穷小量之和仍为无穷小；
无穷小乘有界量仍为无穷小； 有限个无穷小之积仍为无穷小
定理4（极限与无穷小关系） 数列{xn}收敛 AR及无穷小量n使xn＝A + n. 例11 证明 {xn}为无穷小的充要条件是{|xn|}为无穷小.
lim xn
n
试一试 lim xn 和 lim xn －的定义？
n n
无穷小，无穷大和无界的关系
1 定理 若xn 0, 则 lim xn lim 0. n n x n
无穷大 无界，反之不成立 n 2 例8 当n 时，xn n cos 是（
xn xn1 在 lim 存在的前提下有公式 n y y n n 1
xn xn xn 1 lim lim n y n y y n n n 1

xn xn xn 1 lim A lim A n y n y y n n n 1
n
n 1
yn ,
且{xn}单调增加收敛于e, {yn}单调下降收敛于e.
1 1 1 例18 设 cn 1 ln n, 证明{cn}收敛. 2 3 n
定义5 数列{xn}中依次取出下标为n1 < n2 < … < nk < … 的项组成的新数列 xn , xn ,, xn ,
证明 lim an 存在并求之.
n
1 xn 1 收敛. 例17 证明数列 n
n
1 记 lim 1 e. n n
e=2.7182818284…是自然对数的底(lnx = logex), 是无理数.
n
实际上, 我们还有
1 1 xn 1 e 1 n n
推论3 （保号性）若 lim xn A 0, 则N N，当n N时,有 n
A xn 0. 2
A xn 若将“A>0”换为“A<0”, 则结论改为 0. 2 推论4 若 lim xn A 0, 则N N,当n N时,有 n | A| | xn | 0. 2
思考
1 1 lim sin n lim lim sin n 正确吗？ n n n n n
一个公式
0, (若l m) l l 1 a0 n a1n al a0 lim , (若l m) n b n m b n m 1 b 0 1 m b0 , (若l m)
定理5 若
n
lim xn A, lim yn B, 则有
n n
n n
lim( xn yn ) A B lim xn lim yn ;
lim( xn yn ) A B lim xn lim yn ;
n n n
0, N N, n, m N :| xn xm | .
lim xn A {xn }的子列{xnk }, 使 lim xnk A.
n k
1 1 1 例21 设 an 1 p p p , 证明 2 3 n
当p > 1时，{an}收敛；当p 1时，{an}为正无穷大.
3 Cauchy收敛准则 数列{xn}收敛的充要条件是：
定理 2（有界性）收敛数列必有界。即如果{xn}收敛，则M>0, 使得Fra Baidu bibliotekN有 | x | M .
n
推论1 无界数列必发散。 定理3 （不等式性）若 lim xn A, lim yn B, 且A B， n n
则N N，当n N时,有xn yn
推论2 若数列 {xn }满足xn yn , 且 lim xn A, lim yn B则 A B. n n 即使将“xn yn”换为“xn > yn”, 结论也不能改为“A > B”.
lim xn sup{xk };
n kN
想一想 数列{xn}单调减少时的情形？ 若{xn}为单调数列. 则{xn}收敛 {xn}有界.
例15 设 xn 2 2 2 2 (n重根号), 求 lim xn .
n
1 2 例16. 设a1 0, an1 an , (n 1, 2,), 2 an
n2 n 9 例6 证明 lim 0. n 7 n3 9
两个结果：(1) lim n a 1 ( a 0);
n
(2) lim n n 1.
n
例7 设数列{xn}对常数A和0 < q <1满足条件
| xn1 A | q | xn A | (n N)
定理4（夹逼性）设数列{xn}, {yn}, {zn}满足条件
1) xn yn zn , (n N); 2) lim xn A lim zn ,
n n
则数列{ yn }的极限存在，且 lim yn A.
n
推论5 若数列{xn },{ yn }满足条件
1) 0 xn yn (n N), 2) lim yn 0,
1 2 k
称为{xn}的一个子列，记为 {xnk } ① 子列 {xnk }是k的函数，而不是n的函数。且 nk k ② 奇子列 {x2k 1}即x1 , x3 ,, x2k 1 , 2 归并性定理
lim xn A {xn }的子列{xnk }, 有 lim xnk A.
n k
n n
n
若A不存在，则称数列{xn}无极限，或称为发散(不收敛)
① 是用来刻划xn与A的接近程度。首先，具有任意性， 说明xn与A的接近程度可以任意小；其次，具有相对 固定性，一旦给出，就固定这个再去找N。 ② N的存在性说明无论怎么小，第N项后的所有xn都满足 |xnA|<，故不满足这种接近程度的xn仅仅有限项。 ③ 通常N具有依赖性，即N＝N()，但不具有唯一性。 ④ 几何意义
则 lim xn 0.
n
n
例 9. 设A max{a1, a2 ,, am}, (ai 0, i 1, 2,, m).
n n 证明: lim n a1n a2 am A. n
例10. 设 f ( x) lim n 1 x 2n , 求f (x)的表达式.
可用于判定数列发散。即若能找到{xn}的一个发散子列 或两个极限不同的子列，就可断定{xn}发散. 例19 说明数列{(－1)n}发散。 命题
lim xn A lim x2 k 1 A lim x2 k .
n k k
例20 证明无界数列必有一子列为无穷大。 定理6 设{xn}为单调数列， A ＋ . 则
xn (1) n 1 无极限. 但 yn
a1 a2 an 推论1 若 lim an a , 则有 lim a n n n
推论2 若an > 0, 且 lim an a , 则有 lim n a1 a2 an a n
n
推论3 若an > 0, 且lim n
Chap2 极限与连续
古希腊Archimede—“穷竭法”； 中国魏晋时代刘徽—“割圆术”； Newton—“雏形”，Cauchy，Bolzano， Weierstrass等“发展完善”。
Chap2 ― 1
数列极限
一、数列
定义1 函数 f : NR称为数列，记为{xn}. 即{xn＝f (n)}, nN,或x1, x2,…xn,… ① xn称为数列第n项，其表达式称为数列的通项。 ② 几何意义：数列对应着数轴上一个点列， 可看作一动点在数轴上依次取 x1, x2 ,, xn ,
例如 xn
=(1)n，y
xn xn 1 xn = n, 则 lim (1)n 2 0 ，但 n n y yn yn 1 n
A＝时，结论未必成立！如xn=(1)n1n，yn = n, 则
xn xn1 lim lim(1)n1 (2n 1) n y y n n n 1
） .
(A) 无穷小.
(B) 无穷大.
(C) 有界的，但不是无穷小. (D) 无界的，但不是无穷大.
Stolz定理 设{yn}严格增加，且 lim yn . 若 n
xn xn1 lim A n y y n n 1 xn 则有 lim A (A可为). n y n
证明 lim xn A. n
1 , (n N).求 lim xn 例8 设 x1 1, xn 1 n 1 xn
三、收敛数列的性质
定理1 （唯一性）若数列{xn}存在极限，则其极限值必唯一. 即
若 lim xn A, 又 lim xn B, 则A B.
n n