概率论与数理统计知识点总结(详细)

概率论与数理统计知识点总结

（详细）

《概率论与数理统计》

第一章概率论的基本概念

§ 2 •样本空间、随机事件

1•事件间的关系A B 则称事件B包含事件A，指事件A发生必然导致事件B发生

B ={xx€ A或X E B}称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当 A , B中

至少有一个发生时，事件A B发生

A C

B ={xx€ A且x€B}称为事件A与事件B的积事件，指当 A , B同时发生

时，事件A「B发生

A —

B = { x x € A且x更B}称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当A发生、B不发生时，事件A — B发生

A ' B二■■，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的

B = S且A ' B --：，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B

互为对立事件

2•运算规则交换律A B二B A A f B二B ' A

结合律（A_. B）_. C = A_. （B_. C）（A^ B）C = A（B C）

分配律A _（ B「C）二（A 一 B）一（A 一 C）

A「（B _• C）二（A 一B）（A「C）

徳摩根律A B 二 A - B A ' B 二 A B

§ 3 .频率与概率

定义在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数n A称为事件A发生的频数，比值n A「n称为事件A发生的频率

概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于 E 的每一事件A 赋予一个实数，记为 P (A ),称为事件 的概率

1 •概率P(A)满足下列条件：

(1)非负性：对于每一个事件 A 0乞P(A)乞1

(2 )规范性：对于必然事件 S P(S)

=1

n

n

(3)可列可加性：设A I ,A 2,…，A n 是两两互不相容的事件， 有P(U A k )=送P(A k ) ( n 可以取co ) k 二 k4

2.概率的一些重要性质:

(i ) P( ) =0

(ii )若A I ,A 2,…，代 是两两互不相容的事件，则有

(iii) 设 A ，B 是两个事件若 A B ，贝U P(B - A)二 P(B) - P(A)，P(B)_P(A)

(iv) 对于任意事件 A ，P(A) _1

(v) P(A) =1 -P(A) (逆事件的概率)

(vi )对于任意事件 A ，B 有 P(A B) =P(A) P(B) - P(AB)

§ 4等可能概型(古典概型)

等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同

若事件 A 包含 k 个基本事件，即 A =31]｝卩｛岂｝ U …Ug 』，里

i i , i 2,…，i k 是1,2,…n 中某k 个不同的数，则有 p (A J P ｛e ｝二兰二A 包含的基本事件数 '丿二'卫 n S 中基本事件的总数

n n

P( A k )八 P(A k ) ( n 可以取二)

§ 5 .条件概率

(1) 定义：设A,B是两个事件，且P( A) A 0，称P(B 1 A) = P( AB)为事件A发生的条件下事

P(A)

件B发生的条件概率

(2) 条件概率符合概率定义中的三个条件

1。非负性：对于某一事件B,有P(B|A)Z0

2。规范性：对于必然事件S，P(S | A) =1

oO oo 3可列可加性：设B I,B2,…是两两互不相容的事件，则有P(U B i A ) = £ P(B i A )

i 二Z

(3) 乘法定理设P(A) >0，则有P(AB) = P(B)P(A| B)称为乘法公式

(4)

n

全概率公式：P(A)=E P(B i)P(A| B i)

i 二

P(B k)P(A| B k) 贝叶斯公式：P ( B k I A) = n一

送P(B i)P(A|B i)

i d

§ 6 .独立性

定义设A，B是两事件，如果满足等式P(ABH P(A)P(B)，则称事件A,B相互独立

定理一设A，B是两事件，且P(A) .0,若A，B相互独立，则P(B|A)二PB

定理二若事件A和B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与B ,A与B ,A与B

第二章随机变量及其分布

§ 1随机变量

定义设随机试验的样本空间为S二{e}. X二X (e是定义在样本空间S上的实值单值函数，称

X =X(e) 为随机变量

§ 2离散性随机变量及其分布律

1.离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离

散型随机变量

od

P(X =X k) = P k 满足如下两个条件(1) P k -0 , (2) V P k=1

7

2.三种重要的离散型随机变量

(1)分布

设随机变量X 只能取0 与 1 两个值，它的分布律是

k 1k

P(X =k) =p (1-p) -, k =0,1 (0 ：：：p ::: 1)，则称X服从以p为参数的分布或两点分布。(2)伯努利实验、二项分布

设实验E只有两个可能结果：A与A，则称E为伯努利实验.设P(A)二p (0 ：：：p ：：：1)，此时P(A) =1- p .将E独立重复的进行n次，则称这一串重复的独立实验为n重伯努利实验。

fn、00 P(X =k) ! p k q n-k，k=0,1,2,…n 满足条件(1) P k - 0，(2)、P k =1 注意到；p k q n-k是二项式(p + q )n的展开式中出现p k的那一项，我们称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。

(3 )泊松分布

设随机变量X 所有可能取的值为0,1,2…，而取各个值的概率为

l k e-^

P(X =k) ,k=0,1,2_ ,其中’0是常数，则称X服从参数为’的泊松分布记为

k!