算法设计与分析多段图最短路径问题

关于多段图最短路径问题的探讨

摘要：

本文主要描述的是分别用动态规划法、贪心法和分支限界法来解决多段图最短路径问题时的情况，并在附录中附有实际问题的程序来辅助阐述观点。文章首先阐述了各个方法的原理，主要的思路是通过输入一组数据，比较三者的输出结果的准确性以及运行时间，以之为基础来分析、讨论三者的性能区别。另外，众所周知，多段图是有向图的一个简单的模型，它在有向图的基础上忽略了两点之间的线的双向性的问题，并且对点与点之间的线有很多的要求，从而把图简化为可分为几段的模式，文章最后讲述了若这几种方法运行到有向图中的情况，几种方法的对比和它们比较适应的使用情况的讨论，并给出了自己的建议。

关键字：

多段图最短路径问题动态规划法分支限界法多段图与有向图的关

系有向图最短路径算法

引言：

当前社会，关于最短路径的问题屡屡出现。例如在开车自驾游的一个过程中，排除其他影响因素，从一个地点到另一点，这个时候必然是希望有一条距离最短的路程来尽量减少消耗的时间以及花费的（它们在模型中被称为代价），市场上对该问题的解决有很大的需求，因此，这里我将讨论多段图的最短路径的问题。

在早些时间的课程中，我们学习过数据结构这门课程，其中就包括最短路径这方面的讨论。当时老师给我们介绍了分别面向单源（Dijkstra算法）与非单源（Floyd算法）两种问题的算法法---，这是我们最早的对最短路径方面的理解，也是我们接触的比较早的关于图的问题。在这学期的

算法课程中，我们学习了许多了方法，包括贪心法、动态规划法等算法，

它们把以前学习的许多方法都命名并归纳分类起来，其中有许多算法都是可以用来解决这个最短路径的问题的，并且该问题作为一个图的问题，对该问题的继续探讨优化的需求很大，本文将就不同算法在解决该最短路径问题时的不同方法进行对比并给出该问题在不同基础上不同的最终解决

方案。由于时间的限制，本文将重点分析动态规划法下的情况，并会对图的情况加以简化、限制，最后会对其他的图做一些拓展。

首先，对多段图最短路径问题进行介绍，设图G=(V, E)是一个带权有

向连通图，如果把顶点集合V划分成k个互不相交的子集V

i

（2≤k≤n, 1

≤i≤k），使得E中的任何一条边(u, v)，必有u∈V

i ，v∈V

i+m

（1≤i＜k, 1

＜i+m≤k），则称图G为多段图，称s∈V

1为源点，t∈V

k

为终点。多段图

的最短路径问题是求从源点到终点的最小代价路径。由于多段图将顶点划分为k个互不相交的子集，所以，多段图划分为k段，每一段包含顶点的一个子集。不失一般性，将多段图的顶点按照段的顺序进行编号，同一段内顶点的相互顺序无关紧要。假设图中的顶点个数为n，则源点s的编号为0，终点t的编号为n-1，并且，对图中的任何一条边(u, v)，顶点u 的编号小于顶点v的编号。

这里我们讨论的多段图是可以分段的，各段之间的关系最好是单向的，即对该有向图来说，图中是没有环的存在的。

1.贪心法

贪心法在解决问题的策略上目光短浅，只根据当前已有的信息就做出选择，而且一旦做出了选择，不管将来有什么结果，这个选择都不会改变。换言之，贪心法并不是从整体最优考虑，它所做出的选择只是在某种意义

上的局部最优。这种局部最优选择并不总能获得整体最优解，但通常能获得近似最优解。

本例中利用的贪心算法，是每当要选择下一个结点时，总是选择与当前结点间代价最小的点，这就叫做总是优先局部最优解。以此得到最终的解序列。这里举一个贪心法的拓展例子Dijkstra算法。

Dijkstra算法是一种最短路径算法，用于计算一个节点到其它所有节点的最短路径，动态路由协议OSPF中就用到了Dijkstra算法来为路由计算最短路径。

算法本身并不是按照我们的正常思维习惯，我们一般会，从原点遍历所有与之相连的节点，找到最短路径，再从最短路径上的那个点遍历与之相连的所有其它点（原点除外），然后依次类推。这样做虽然可以算出一个树形，但是在大多数情况下，这种算法会产生很多次优路径，也就是说非最短路径。

Dijkstra算法的大概过程：

假设有两个集合或者说两个表，表A和表B

表A表示生成路径，表B表示最后确定的路径

1.从原点出发，遍历检查所有与之相连的节点，将原点和这些节点存放到表A中，并记录下两节点之间的代价。

2.将代价最小的代价值和这两节点移动到表B中（其中一个是原点）。

3.把这个节点所连接的子节点找出，放入到表A中，算出子节点到原点的代价

4.重复第二步和第三步直到表A为空。然后根据表B中的数据算出最优树。维基百科中还有另一种说法，Dijkstra算法的输入包含了一个有权重的有向图G，以及G中的一个来源顶点S。?我们以V表示G中所有顶点的集合。?

每一个图中的边，都是两个顶点所形成的有序元素对。(u,v)表示从顶点u

到v有路径相连。?我们以E所有边的集合，而边的权重则由权重函数w:?E?

→?[0,?∞]定义。?因此，w(u,v)就是从顶点u到顶点v的非负花费值(cost)。?边的花费可以想像成两个顶点之间的距离。任两点间路径的花

费值，就是该路径上所有边的花费值总和。?已知有V中有顶点s及t，

Dijkstra算法可以找到s到t的最低花费路径.?最短路径)。?这个算法也

可以在一个图中，找到从一个顶点s到任何其他顶点的最短路径。具体算

法见附录。

2.动态规划法

这里先讨论用动态规划法的解法。考虑多段图的最短路径问题的填表

形式。用一个数组cost[n]作为存储子问题解的表格，cost[i]表示从顶点

i到终点n-1的最短路径，数组path[n]存储状态，path[i]表示从顶点i

到终点n-1的路径上顶点i的下一个顶点。则：

+cost[j]} (i≤j≤n且顶点j是顶点i的邻接点) cost[i]=min{c

ij

（式）

+cost[j]最小的j) path[i]=j (使c

ij

（式）

对多段图的边(u, v)，用c uv表示边上的权值，将从源点s到终点t

的最短路径记为d(s, t)，则从源点0到终点9的最短路径d(0, 9)由下

式确定：d(0, 9)=min{c01+d(1, 9), c02+d(2, 9), c03+d(3, 9)}，这是最

后一个阶段的决策，它依赖于d(1, 9)、d(2, 9)和d(3, 9)的计算结果，

而由此模式推知，d(1, 9)=min{c14+d(4, 9), c15+d(5, 9)}，d(2,

9)=min{c24+d(4, 9), c25+d(5, 9), c26+d(6, 9)}，d(3, 9)=min{c35+d(5, 9),