回溯算法的应用

回溯算法的应用

课程名称：算法设计与分析

院系：计算机科学与信息工程学院

学生姓名：***

学号：*********

专业班级：计算机科学与技术(信息技术)11-1 指导教师：***

2013年12月27日

回溯算法的应用

摘要：回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题。

在做题时，有时会遇到这样一类题目，它的问题可以分解，但是又不能得出明确的动态规划或是递归解法，此时可以考虑用回溯法解决此类问题。回溯法是尝试搜索算法中最为基本的一种算法，它的优点在于其程序结构明确，可读性强，易于理解，而且通过对问题的分析可以大大提高运行效率。

回溯算法也叫试探法，实际上是一个类似枚举的搜索尝试方法，是一种系统地搜索问题的解的方法。它的主要思想是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。

关键词：回溯搜索全排列最优化问题结点

目录

第1章绪论 (1)

1.1 回溯算法的背景知识 (1)

1.2 回溯法的前景意义 (1)

第2章回溯算法的理论知识 (2)

2.1 问题的解最优化问题 (2)

2.2 回溯算法的一般性描述 (2)

第3章全排列问题 (4)

3.1 问题描述 (4)

3.2 问题分析 (4)

3.3 算法设计 (4)

3.4 测试结果与分析 (6)

第四章最优化问题 (7)

4.1 问题描述 (7)

4.2 问题分析 (7)

4.3 算法设计 (7)

4.4 测试结果与分析 (9)

第5章结论 (10)

参考文献 (10)

第1章绪论

1.1 回溯算法的背景知识

回溯算法是尝试搜索算法中最为基本的算法，在递归算法中，其存在的意义是在递归知道可解的最小问题后，逐步返回原问题的过程。实际上是一个类似于枚举的搜索尝试方法，他的主题思想是在搜索尝试的过程中寻找问题的解，当发现不满足条件时就回溯返回，尝试别的路径

简单的说就是：从问题的某一种初始状态出发，依次搜寻每一种可能到达的情况，当走到这条路的“尽头”时，回过头到上一个情况，看这个情况是否还有没有走过的路，依次进行下去，直到遍历完所有的情况。

回溯法实际上是一种深度优先搜索的方式。对于回溯法解决的问题，通常将其解空间组织成图或者树的形式。对于用回溯法求解的问题，首先要将问题进行适当的转化，得出状态空间树。这棵树的每条完整路径都代表了一种解的可能。通过深度优先搜索这棵树，枚举每种可能的解的情况；从而得出结果。但是，回溯法中通过构造约束函数，可以大大提升程序效率，因为在深度优先搜索的过程中，不断的将每个解与约束函数进行对照从而删除一些不可能的解，这样就不必继续把解的剩余部分列出从而节省部分时间。

1.2 回溯法的前景意义

在做题时，有时会遇到这样一类题目，它的问题可以分解，但是又不能得出明确的动态规划或是递归解法，此时可以考虑用回溯法解决此类问题。回溯法的优点在于其程序结构明确，可读性强，易于理解，而且通过对问题的分析可以大大提高运行效率。

通过运用回溯法，可以解决很多问题，譬如我们所熟知的“全排列”、“最优化问题”，这只是在教学阶段中的运用，在实际运用中回溯法也能起到很大的作用。回溯法适用于解决难以归纳一般规律解法的问题，其适用范围广，灵活性大，在解一些列举方法的问题时尤其可用。但是，其缺点也是明显的，即时间复杂度较大；因此在采用时应该因情况的不同而做出不同的选择。

第2章回溯算法的理论知识

2.1 问题的解最优化问题

对于最优化问题。

一个有趣的高精度数据：构造一个尽可能大的数，使其从高到低满足前一位能被1整除，前2位能被2整除，……，前n位能被n整除。

记高精度数据为a1，a2，…，an，a1能被1整除且（a1*10+a2)能被2整除且……（a1*10^n-1+a2*10^n-2+…an)能被n整除；求最大的这样的数。

此数只能用从高位到低位逐位尝试，失败回溯的算法策略求解，生成的高精度数据用数组从高位到低位存储，1号元素开始存储最高位。此数的大小无法估计不妨为数组开辟100个空间。

算法中数组A为当前求解的高精度数据的暂存处，数组B为当前最大的满足条件的数，

算法的首位A[1]（最高位）从1开始枚举。以后各位从0开始枚举。所以求解出的满足条件的数据之间只须比较数就能确定大小，n为当前满足条件的最大数据的位数，i为当前满足条件数据的位数，当i>=n就认为找到了更大的解。当i>n不必解释，位数多数据一定大；i=n时，由于尝试是由小到大进行的，虽然位数相等，但后来满足条件的数据一定比前面的大。

2.2 回溯算法的一般性描述

回溯法的一般描述

可用回溯法求解的问题P，通常要能表达为：对于已知的由n元组（x

1，x

2

，…，

x n ）组成的一个状态空间E={（x

1

，x

2

，…，x

n

）∣x

i

∈S

i

，i=1，2，…，n}，给

定关于n元组中的一个分量的一个约束集D，要求E中满足D的全部约束条件的

所有n元组。其中S

i 是分量x

i

的定义域，且 |S

i

| 有限，i=1，2，…，n。我们

称E中满足D的全部约束条件的任一n元组为问题P的一个解。

解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E中的所有n元组逐一地检测其