数学高一-(教案1)3.2指数扩充及其运算性质

m n n m

a ,m n 1,m n 1

m n a --⎧⎪>⎪=⎨⎪

⎪<⎩当 时 当时

当 时

3.2指数扩充及其运算性质

一、教学目标：1、知识与技能：（1） 在复习初中正整数指数幂的运算的基础上引入了负整数指数的概念及运算．（2） 能够利用整数指数幂的运算性质进行运算化简． 2、 过程与方法（1）让学生了解整数指数幂的扩展,进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义．（2）随着数的扩展,相应的运算性质也要判断能否延用和拓展． 3、情感．态度与价值观：使学生通过学习整数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意义,增强学习数学的积极性和自信心．

二、教学重点: 整数指数幂的运算性质。教学难点：整数指数的运算与化简． 三、学法指导：学生思考、探究．教学方法：探究交流，讲练结合。 四、教学过程 （一）新课导入

[互动过程1]请同学们回顾复习整数指数幂的定义,并填写下面结果： n

a =

0a = 1（a ≠0）

n a -= （a ≠0,n ∈N+）

[互动过程2]

你知道有哪些正整数指数幂的运算性质？请填出下列结果：

m,n N +

∈

（1）．m n a a = ；m n a + （2）．

m n (a )= ；mn a （3）．n (ab)= ；n n a b （4）．当a 0≠时,有m

n a a =

（5）．n a ()b = n

n a b (b 0)≠ (二)、例题探析与巩固训练

例1．（1）求值

35

83321025⨯⨯ （2）化简3222

m n 1()mn m n ⨯ 解：（1）

2255225

5

838383

2323225325922510(25)25252524⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯===⨯ （2）3264262242122222m n 1m n 1()m n m n

mn m n m n m n ----⨯=⨯==

练习1：化简（1）24

2

3

(ab )(a b) （2）

()

2

32324x y x y x y

[互动过程3] 探究：负整数指数幂是否也满足上述运算性质？

个

n

a

a a a

⋅⋅

⋅

例2．计算：5733-⨯和5(7)

3

+-,并判断两者之间的关系

解：55

7

77523111333339--⨯====5(7)2211

3339+--===由此看出5733-⨯=5(7)

3+- 练习2．（1）计算：23(2)- 和 62- （2）化简2431(m n)(m n)(m n)(m n)--+-⨯-+

看来正整数指数幂的运算性质可以推广到整数,即有m n a a =m n

a +（m,n N ∈）

n 1n n n

a ()(a

b )a b b

--=⋅=⋅=n n a b ,这样就可以把（5）n a ()b =n n

a b 就可以统一到性质（1）m n a a =m n a +（m,n N ∈）了,（4）中的三种情况也可以统一为m

n a a

=m n

a -与（1）合并． 这样我们就可以把整数指数幂的运算性质归纳为：a 0,

b 0,m,n Z ≠≠∈

（1）．m n a a =m n a + （2）．m n (a )=mn a （3）．

n (ab)=n n a b [互动过程4] 探究：1．整数指数幂满足不等性质：若a 0>,那么n

a 0 (n Z)∈．

2．正整数指数幂还满足下面两个不等性质：（1）若a 1>,则n

a 1；

（2）若0a 1<<,则n a 的范围为 (n N )+∈．

3．在a 0>的情况下,（1）如果()

n a 1n N +>∈,那么a 1>成立吗？

（2）如果

()

n a 1n N +<∈,那么a 1<成立吗？

练习3．（1）比较2

3-与1的大小．（2）比较3

(m n)--与0的大小（其中m n >）

例3．计算：（1）302[()]3；（2）11

(7)--；（3）3411()()3

3-⨯ 解：（1）302[()]13=；（2）11(1)(1)

(7)77---⨯-==；（3）343411111

()()()()33333---⨯===

例4．计算下列各式,并把结果化为只含正整数指数的形式(a,b 均不为零）：

（1）3213a b (2ab )-；（2）322123a b (3a b )9a b ------；（3）

34320(a b)(a b)[](a b)(a b)--+--+(a b 0,a b 0)+≠-≠

解：（1）

6

32133233(1)3

3323

6

1

8a a b (2ab )a b (2a b

)8a

b

8a b b --⨯+--====

；

（2）

322132(2)2(1)(3)023a b (3a b )31a

a b ab 9a b 933----+---+------=-=-=-

； （3）34334(2)3363

20

(a b)(a b)[][(a b)(a b)][(a b)(a b)](a b)(a b)------+-=+-=+--+ 189

18

9(a b)(a b)(a b)(a b)--=+-=

+

练习4：（1）化简(21)

(21)2222k k k -+----+（2）．求61()2-（3）．化简：1221

21

(2)()248n n n ++-⋅

解：（1）(21)

(21)2(21)1(21)2(21)(21)(21)2

22222222k k k k k k k -+-++-++-+-+-+-+-+=-⋅+⋅=-

（2）6161(6)1

()(2)264

2----⨯-===

（3）1221

22(21)1(26)72226261

(2)()222222

48222+++-+------⋅⋅====⨯n n n n n n n n n

（三）、小结:本课在复习初中正整数指数幂的运算的基础上引入了负整数指数的概念及运

算，要求：（1）理解和掌握负整数指数的概念及运算；（2）能够利用整数指数幂的运算性质进行运算化简． （四）、

五、教学反思：