函数的几种特性

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1 例1 判断函数 f x x sin x 的奇偶性 解 f x 的定义域是 ,0 0, ， 它关于原点对称
又因为 f ( x) 所以 f x x sin
1 ( x) sin( ) x

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1.2.2 函数的单调性(Monotonicity)y 设函数 y f ( x) , x D ,
y f ( x)
且有区间 I D . x1 , x2 I ,
f ( x1 )
O y
f ( x2 )
x
x1 x2 时,
故f ( x1 ) f ( x2 ) 0，即f ( x1 ) f ( x2 ) x 所以f ( x) 在(1, )内是单调增加的函数 1 x
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1.2.3 函数的周期性 定义3 设函数f x的定义域为D，若存在一个常数 T 0 ，使得对于任一x D, 必有x T D，并且使 f x T f x ，则称f x 为 周期函数，其中T 称为
1 | x| 2 2 2 | x 1|
x 对一切x (, )都成立因此函数 . y 2 在 x 1 (, )上是有界函数。
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内容小结
（1）奇偶性 （2）单调性 3. 函数的特性 （3）周期性 （4）有界性
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作业
• 习题1.1 题1（2）（3）（4），题8 • 习题1.2 题1 （1）（4）
§1.2 函数的几种特性
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1.2.1 函数的奇偶性 1.2.2 函数的单调性 1.2.3 函数的周期性 1.2.4 函数的的有界性
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1.2.1 函数的奇偶性(Odd and Even) 设函数 y f ( x) , x D , x D, 且有 x D, 若 若
若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f ( x)
为 I 上的 单调增函数 ;
I
y f ( x)
若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f ( x)
为 I 上的 单调减函数 .
O
f ( x1 )
f ( x2 )
x
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I
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单调增加和单调减少的函数统称为 单调函数 单调增加区间和单调减少区间统称为 单调区间
如果存在正数 M ， 使得对任意 x X ， 都有 | f ( x) | M 成立，
则称函数 f ( x) 在数集 X 上有界. 否则，如果这样的 M 不存在
就称函数 f ( x) 在 X 上无界；
故函数 f ( x) sin x 在区间 (, ) 上是有界的．
函数 f ( x) cos x 也是 (, ) 上的有界函数．
1 x sin f ( x ) x
例2 讨论函数 f x lg x 1 x 2
.


的奇偶性
解
f x 的定义域是 , 是对称区间
又因为 f ( x)
lg( x 1 x 2 ) f ( x)
1 lg( x 1 x .) lg 2 x 1 x
则称 f ( x) 为偶函数; 则称 f ( x) 为奇函数;
y
既不是奇函数也不是偶函数的函数称为
x o
xx
在平面直角坐标系中， 非奇非偶函数. 奇函数的图形关于
原点对称 偶函数的图形关于y轴对称 说明: 若 f ( x) 在 x = 0 有定义 , 则当
f ( x) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
x 在 (1,) 是单调增加函数 例3 证明函数 y 1 x
证 在(1, )内任取两点x1, x2 , 且x1 x2 , 则
x1 x2 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 1 x1 1 x2 (1 x1 )(1 x2 )
x1 x2 因为 1 x1 0,1 x2 0, 且x1 x2 0 所以 0 (1 x1 )(1 x2 )
.
函数f x 的周期 ，周期函数的周期通常是指它的
最小正周期。
例如y sin x，y cos x都是以2 为周期的周期 函数.y tan x的周期是。
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1.2.4 函数的的有界性(Boundedness) 定义4 设函数 f ( x) 的定义域为 D ，数集 X D .
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例如， 对于函数 f ( x) sin x 在区间 (, ) 上， 因 | sin x | 1 ，
x 例4 证明函数y 2 在(, )上是有界的 x 1
证
因为(1 x ) 2 0, 所以 1 x 2 2 x , 故
x | | f ( x) || 2 x 1