二次型及其标准型

c2n yn ,
x1
y1
记
x
x2
y
y2
M M
xn
yn
c11 K c1n
正 交
xn cn1 y1 cn2 y2 L cnn yn ,
c
M
O
M可逆 变
x cy
f x xT Ax
f cyT Acy
cn1 L cnn f yT cT Acy
换
f
5.5
k1 y12
二
k2 y22 L kn yn2
次型及其
得到 f yT y
标准 diag(k1, k2 ,L , kn )
型标 准 型
海
连
法
事大
学
大
前边提到将二次型化为标准型的主要问题为： 二
寻找可逆的线性变换 x cy
正
x1 c11 y1 c12 y2 L c1n yn ,
x2
相似矩阵及二次型
1 向量的内积、长度及正交性
2 方阵的特征值与特征向量
3
相似矩阵
4
对称矩阵的对角化
5 二次型及其标准型
6
正定二次型
第五章 相似矩阵及二次型
内 容 概 要
海
事
大
学
连
大
教学要求
1. 掌握二次型及其有关概念 2. 掌握化二次型为标准型的两种方法
正交变换法、配方法
第五章 相似矩阵及二次型
5. 5
有 关 概 念
xT
A
x
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
海
事
大
学
连
大
（1） A一定是对称阵；
（2） A 的对角线上的元素 aii 恰为 xi2 的系数，
（3） aij a ji 是 xi x j 的系数的一半；
（4）标准型的矩阵为对角阵； （5）规范型的矩阵也是对角阵,
a11
A
a21
M
a12 a22 M
二次型
问题
x1 c11 y1 c12 y2 L c1n yn ,
一
x2
c21 y1 c22 y2 L LLL
c2n yn ,
作可逆变换 | k1 | y1 z1
xn cn1 y1 cn2 y2 L
M r n
cnn yn ,
| kr | yr zr
f k1 y12 k2 y22 L kn yn2
往是不止含有两个变量的二次齐次式，也可通过 适当的线性变换，化为只含平方项的标准型。
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
海
事
大
学
连
大
定义
含有 n 个变量 x1, x2 ,L , xn的二次齐次多项式
f x1 , x2 ,L , xn a11 x12 2a12 x1 x2 2a1n x1 xn
关
反之，给出了一个实对称矩阵 A，就可写出一个二 次型 f 。
概 念
A的秩就是二次型 f 的秩。
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
海
事
大
学
连
大
练习
将二次型f ( x1 , x2 , x3 ) x22 2 x1 x2 4 x2 x3
写成矩阵形式 f ( x) xT Ax ，并求出 f 的秩。
c21 y1 c22 y2 L LLL
c2n yn ,
若c 为正交矩阵 在正，交变换 x cy 下
就可将 f 转化为标
交
xn cn1 y1 cn2 y2 L cnn yn , 准型
变
x cy
f x xT Ax
f cyT Acy f yTcT Acy
换
f
5.5
k1 y12
a22 x22 L 2a2n x2 xn
aij a ji
L
ann xn2
n
aii xi2 2
aij xi x j
i 1
1i jn
n
aij xi x j
称为 n 元二次型。 i, j1
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
一 二 次 型 有 关 概 念
海
事
大
学
连
大
主要
寻找可逆的线性变换
L L
a1n
a2n
M
一 二 次 型 有
对角元只能为1，-1或0 。
关 an1 an2 L
ann
f k1 y12 k2 y22 L kn yn2
概
k1
y1 y2 L
yn
0
0
Βιβλιοθήκη Baidu
f
y12 L
y
2 p
y2 p1
L
yr2
0 O 0
0
0 kn
y1
y2
M
yn
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
课
答案
堂
0 1 0 x1
f x1
x2
x3
1 0
1 2
2 0
x2 x3
R
f
R
A
2
练
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
习
海
事
大
学
连
大
前边提到将二次型化为标准型的主要问题为： 二
寻找可逆的线性变换 x cy
x1 c11 y1 c12 y2 L c1n yn ,
x2
c21 y1 c22 y2 L LLL
二
k2 y22 L kn yn2
次型及其
得到 f yT y
标准 diag(k1, k2 ,L , kn )
型标 准 型
海
连
法
事大
学
大
定理
二
因为实二次型的矩阵 A 为实对称方阵，故对 正
任一个 n 元实二次型 f x xT Ax，一定可以找到
二 次 型 有 关 概
f x1 , x2 ,L , xn a11 x12 a22 x22 L ann xn2
念
2a12 x1 x2 L 2an1,n xn1 xn二次型的标准型
f
z12 L
z
2 p
z2 p1
L
zr2
规范型
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
海
事
大
学
连
大
f x1 , x2 ,L , xn a11 x12 a22 x22 L ann xn2
念
海
事
大
学
连
大
a11 a12 L a1n x1
f xT Ax x1 x2 L
xn
a21
M
a22 M
L
a2n
x2
M M
一 二
an1
an2
L
ann
xn
次
称实矩阵 A 为二次型 f 的矩阵。
型
f 与 A可建立一一对应的关系,即给了二次型
有
，就f 可 x1以, x2得,L到, x实n 对称矩阵 A;
二 次 型 及 其 标 准 型
海
事
大
学
连
大
对于一般的二次曲线 ax2 bxy cy2 1 ，只要选取适当的坐标旋转变换
x x' cos y' sin ,
y
x'
sin
y'
cos ,
引
就可将曲线方程化为标准型
mx'2 ny'2 1 （二次齐次式，只含平方项
在物理、力学及工）程也有类似的问题，且往 例
一
2a12 x1 x2 L 2an1,n xn1 xn
二
aij a ji n
aij xi x j
i , j1
次 型
aij a ji
x1
x2 L
a11 a12 L
xn
a21
M
a22 M
L
an1 an2 L
a1n x1
a2n
x2
f xT Ax
M M
ann
xn
A为对称矩阵