边界元法在断裂力学中的研究综述

边界元法在断裂力学中的研究综述
摘要：边界元法在域内采用基本解，只在边界上进行离散，代数方程组的未知数少，对应力变化剧烈的地方能得到较好计算结果。

本文简要介绍了国内外利用边界元法研究断裂力学中裂纹问题的现状，并对研究中的一些关键问题进行了探讨。

关键词：边界元法；裂纹；断裂力学；特殊单元法
引言
在断裂力学中，由于裂纹尖端附近的应力场存在奇异性,以致直接应用常规数值方法分析断裂力学问题的效果往往较差,因此需要结合断裂力学的特点发展更有效的数值计算方法.
边界元法是在经典的积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算方法[1]。

边界元法在域内采用基本解，只在边界上进行离散，因此实际上是将问题降维处理，如果是各维尺度相近的大型问题，代数方程组的未知数将按指数规律减少，这无疑将大大减少准备工作、存贮量与机时[1]。

另外，计算误差只来源于边界，区域内由解析公式计算，这就具有解析-数值计算的特点，有较高精度，对应力变化剧烈的地方能得到较好的结果，在边界上也能保持其精度，这些是有限元法所做不到的。

这些特点，对边界元法应用在线弹性断裂力学问题上的应用是很有利的。

本文首先对边界元法在断裂力学中研究现状作一简介，在此基础上提出研究中存在的一些关键问题进行了初步探讨。

1．边界元法在断裂力学中研究现状
断裂力学研究的裂纹问题关键是确定应力强度因子（SIF）。

应力强度因子(SIF)通常用来表征裂纹尖端附近区域应力场的强弱，通过它可以把构件几何形状、裂纹形状、尺寸及应力联系起来，并以它为基础来定义材料断裂的临界参数，从而把裂纹对构件断裂的影响进行定量计算。

用边界元解决裂纹问题,一般可以归纳为以下几个关键步骤:1)、建立边界积分方程；2)、选择单元模式；3)、处理裂纹尖端及其他边界奇异性；4)、实施数值或精确积分；5)、解最终线性代数方程组；6)、计算应力强度因子[2]。

要得到精确程度可信的应力强度因子值，这些关键步骤中更为重要的是正确模拟裂纹尖端附近区域位移和应力的变化规律。

目前的解决方法有两种:直接法和特殊单元法。

1.1直接法
直接法可以利用常规边界元程序，通过在裂纹尖端附近区域细分单元，然后用位移(或应力)外推法得到应力强度因子。

但此法要求密布单元，不太经济。

汪冬华，龚朴，谭运猛[3]由位移边界积分方程和面力边界积分方程, 推导出对偶边界积分方程在一般裂纹问题中的具体表达式。

利用对偶边界元法, 计算了含裂纹构件的应力强度因子。

孙雁，韩震,刘正兴[4]将裂纹应力计算问题导向哈密顿体系,利用分离变量法及本征函数向量展开等方法,推导出裂纹尖端的应力奇性解的计算公式。

结合变分原理,提出一种解决应力奇性计算的奇点分析单元。

将此分析单元与有限元法相结合,可以进行某些断裂力学或复合材料等应力奇性问题的计算及分析。

Roberto Brighenti[5]应用无网格的边界元法(EFG)研究弹性断裂问题的三维问题。

余会琴,陈梦成[6]建立以裂纹表面位移为未知函数的超奇异积分方程,利用有限部积分原理和边界元法来求解该方程. 运用该方法计算出矩形裂纹的I型应力强度因子。

B.Aour,O.Rahmani,M.Nait-Abdelaziz[7]利用边界元和有限元的各自优点，把它们耦合起来能在更少自由度更精确的计算断裂力学中的裂纹问题的应力强度因子。

1.2特殊单元法
特殊单元法是在裂纹尖端附近区域布置特殊单元，用特殊单元模拟裂尖位移场和应力场。

特殊单元法较之直接法可以减少单元数目，提高计算效率。

国内外许多断裂力学工作者提出了各种类型的特殊单元。

比较有代表性的如:Barsoum.R.S提出的1/4节点奇异等参元；Tracey.D.M,Wilson.W.K等人用各种插值多项式部分模拟裂纹尖端位移场中存在的奇异性构造单元都属这类单元；Pian.T.H,Atluri.S.N和国内的一些学者提出的应力杂交奇异元、位移杂交奇异元、杂交混合奇异元等也属这类单元；Luchi,Rizzuti[8,9]利用边界元法解决三维断裂力学裂纹问题，提出了三维特殊裂尖单元；Portela,Aliabadi[10]采用二次非协调元技术分析二维和三维一般裂纹问题，使双重边界元法逐步进入实用阶段，并进一步应用于分析二维和三维裂纹扩展问题；S.H.Lo,C.Y.Dong,Y.K.Cheung[11]用8节点的1/4面单元能更好地模拟三维问题的裂纹表面,计算出的三维断裂弹性问题裂纹尖端处的应力强度因子。

柯黎，王乘，詹福良[12,13]提出一种新的边界单元:单节点二次元. 利用这种单元,位移及其沿边界的切向导数在正规单元端点的连续条件自然得到满足. 单节点二次元能很好地模拟角点处面力多值条件. 特殊裂纹尖端单节点二次单元包括近裂纹尖端位移近似级数展开第二项. 由于每个单元只有一个节点,计算程序大大简化. 对直裂纹、圆弧裂纹和边裂纹进行了计算；肖洪天，岳中琦[14]利用层状材料的广义Klevin基本解, 建立了计算三维层状材料中的裂纹边界元方法。

采用边界元方法中的多区域方法和能反映均匀介质中裂纹尖端应力场和位移场特征的面力奇异单元。

裂纹的应力强度因子由裂纹面上的位移经插值计算得到；闫相桥[15]提出了一种简单而有效的平面弹性裂纹应力强度因子的边界元计算法。

该方法由Crouch与Starfield建立的常位移不连续单元和他自己提出的裂尖位移不连续单元构成。

在该边界元方法的实施过程中,左、右裂尖位移不连续单元分别置于裂纹的左、右裂尖处,而常位移不连续单元则分布于除了裂尖位移不连续单元占据的位置之外的整个裂纹面及其它边界。

2．边界元法研究断裂力学的关键问题
虽然通过在裂纹尖端附近区域布置特殊单元，能够较好的模拟边界条件，求得精度较高的应力强度因子，但是由于断裂力学裂纹问题本身复杂性和边界元法这一数值方法自身存在一些缺陷，故还存在很多待研究的关键问题。

1）奇异性问题
对含裂纹的问题,常采用超奇异边界积分方程，在边界的奇异点,位移切向导数不存在或不连续，导致超奇异边界积分方程中出现的Hadamard主值积分对连续性的要求得不到满足；Portela等采用间断元来克服这种困难,但在这些奇异点位移的连续性也一同丧失[12];最近提出了一种边界轮廓法(Boundary contour method)，它是由以Mukherjee为首的研究小组提出的。

Mukherjee的学生Lutz 在研究奇异积分的计算进程中，发现Laplac问题和弹性力学问题的直接法边界积分方程中，当表示成矢量函数积分的形式时，被积矢量函数具有散度为零的特性，基于这种特性，他提出了轮廓积分的概念。

Nagarajan等将这一思想进一步发展应用于弹性力学问题，提出一种新型的边界元法，即边界轮廓法。

它避免了以上提到的在奇异边界点上存在的困难,且在单元的边界上位移是连续的,但这种方法的形函数的形成非常麻烦[16]。

2）角点问题
在边界元法中处理弹性体角点处面力的多值性是一个困难的问题. 若与某角点相连的所有单元的边界条件都为位移给定,则从边界积分方程离散得到的线性代数方程组不足以解决问题,还需要补充一组代数方程早期的边界元法中,剪应力张量的对称性(σij =σji ) ,被当作可用的补充方程之一,但根据弹性力学,剪应力张量的对称性仅在弹性体内部成立,在弹性体的边界上并不一定成立,正确的补充方程需从应力应变关系中寻找。

3）连续性的问题
由于边界积分中奇异积分的存在，使得边界元的数值积分相对复杂并且对形函数的连续性提出特殊要求，特别当积分方程具有超奇异性时，这一点更加关键。

在一般的边界元法中，经常使用分片连续的线性或二次Lagrange多项式组成的形状函数，这种形函数保证单元间的位移连续而不考虑其切向导数的连续性，从而使边界元的精度和应用受到了一定的局限[15]。

4）裂纹元问题
根据线弹性断裂力学理论，近裂纹处的位移场具有的分布特征而应力奇异性，那么为了正确的模拟近裂尖场的特征，需要特许的裂尖处理方法。

在边界元方法中，位移场和应力场同时作为主变量出现，如果在边界元法中对位移场和应力场使用相同的插值函数（等参单元），那么位移场和应力场的奇异性就不可能
同时得到正确模拟，所以求解裂纹问题时必须对位移和应力场使用不同的形函数，同时，如何构造精确灵活的裂尖应力奇异场是裂尖单元的一个重要任务[16]。

3．结语
边界元法在域内采用基本解，只在边界上进行离散，代数方程组的未知数少，对应力变化剧烈的地方能得到较好计算结果。

本文简要介绍了国内外利用边界元法研究断裂力学中裂纹问题的现状，并对研究中的一些关键问题进行了探讨。

随着对边界元法求解裂纹问题的研究深入和完善，这些问题将会逐步的解决。

参考文献：
[1] 杨德全，赵忠生.边界元理论及应用.北京:北京理工大学出版社，2002
[2] 李春雨.非等参边界元计算二维裂纹应力强度因子.石家庄铁道学院学报，1994
[3] 汪冬华，龚朴，谭运猛.对偶边界元法在裂纹问题中的应用.西南交通大学学报,1998(2)
[4] 孙雁,韩震,刘正兴.奇点分析单元法在断裂问题中的应用.机械强度2000(12)
[5] Roberto Brighenti，Application of the element-free Galerkin meshless method to 3-D fracture mechanics problems，Engineering Fracture Mechanics，2005
[6] 余会琴,陈梦成.无限大板中矩形裂纹I 型应力强度因子的计算—有限部积分边界元法.华东交通大学学报,2004(4)
[7] B. Aour，A coupled FEM/BEM approach and its accuracy for solving crack problems in fracture mechanics，International Journal of Solids and Structures，2007
[8] Luchi,M.L and Rizzuti,s.,Special crack-tip elements for 3D problems ,in Advance in Boundary Element Methods for Fracture Mechanics(M.H.Aliabadi and
C.A.Brebbia Eds),Computational Mechanics Pubications,Southampton,173~200,1993
[9] Aliabadi,M.H,Boundary element fomulations in fracture mechanics:a review[C].Computer Aided Assessment and Control of localized damage-proceedings of the internationalconference,Localized Damage Ⅳ,1996.3-19
[10] Portela,A,ct al,The dual BEM:effective implemention for crack
problem[J].Int J for numerical Methods in engineering,1992,33:269-287.
[11] S.H.Lo，C.Y.Dong，Integral equation approach for 3D multiple-crack problems，Engineering Fracture Mechanics，2005
[12] 柯黎，王乘，詹福良.裂纹分析中的单节点二次边界元.固体力学学报，2003（3）
[13] 肖洪天,岳中琦.用边界元方法分析复合材料中的裂纹问题.计算力学学报,2003(12)
[14] 闫相桥.平面弹性裂纹分析的一种有效边界元方法.应用数学和力学,2005
[15] 牛忠荣.边界元法中奇异积分问题的研究及其在固体力学中的应用.博士论文，中国科学技术大学，2001
[16] 詹福良.断裂力学中的高精度边界元方法研究及商业CAE软件的工程应用. 博士后士学位论文,2001(5)。