大一高等数学 第一章第二节 数列的极限
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高等数学说课稿《数列极限》（精选5篇）
高等数学说课稿《数列极限》（精选5篇）第一篇：高等数学说课稿《数列极限》《数列极限》说课稿袁勋这次我说课的内容是由盛祥耀主编的《高等数学》（上册）第一章第二节极限概念中的数列极限。
这部分内容在课本第18页至20页。
下面我把对本节课的教学目的、过程、方法、工具等方面的简单认识作一个说明。
一、关于教学目的的确定：众所周知，对极限这个概念的理解是高等数学的学习基础，但由于学生对数列极限概念及其定义的数学语言表述的理解比较困难，这种理解上的困难将影响学生对后继知识的学习，因此，我从知识、能力、情感等方面确定了本次课的教学目标。
1．在知识上，使学生理解极限的概念，能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；2．在能力上，培养学生观察、分析、概括的能力和在探索问题中的，由静态到动态、由有限到无限的辨证观点。
体验‚从具体到抽象，从特殊到一般再到特殊‛的认识过程；3．在情感上，通过介绍我国古代数学家刘徽的成就，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感，并使他们对数列极限知识有一个形象化的了解。
二、关于教学过程的设计：为了达到以上教学目的，根据两节。
在具体教学中，根据‚循序渐进原则‛，我把这次课分为三个阶段：‚概念探索阶段‛；‚概念建立阶段‛；‚概念巩固阶段‛。
下面我将对每一阶段教学中计划解决的主要问题和教学步骤作出说明。
（一）‚概念探索阶段‛ 1.这一阶段要解决的主要问题在这一阶段的教学中，由于注意到学生在开始接触数列极限这个概念时，总是以静止的观点来理解这个描述变化过程的动态概念，总觉得与以前知识相比，接受起来有困难，似乎这个概念是突然产生的，甚至于不明概念所云，故我在这一阶段计划主要解决这样几个问题：①使学生了解以研究函数值的变化趋势的观点研究无穷数列，从而发现数列极限的过程；②使学生形成对数列极限的初步认识；③使学生了解学习数列极限概念的必要性。
2．本阶段教学安排我采取温故知新、推陈出新的教学过程，分三个步骤进行教学。
《数列的极限》课件
单调有界定理
总结词
如果一个数列单调增加或单调减少，且存在上界或下界，则该数列存在极限。
详细描述
单调有界定理是数列极限存在性定理中的一个重要推论，它表明如果一个数列单调增加或单调减少，并且存在上 界或下界，那么这个数列存在极限。这是因为单调性保证了数列不会无限增大或减小，而有界性则保证了数列不 会趋于无穷大或无穷小。
数列的极限
目录
CONTENTS
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质 • 数列极限的存在性定理 • 数列极限的应用 • 数列极限的证明方法
01 数列极限的定义
CHAPTER
定义及性质
定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个常数$a$，则称数列${ a_{n}}$收敛 于$a$。
05 数列极限的证明方法
CHAPTER
定义法
总结词
通过直接使用数列极限的定义来证明数列的极限。
详细描述
定义法是最基本的证明数列极限的方法，它基于数列 极限的定义，通过直接计算数列的项与极限值之间的 差的绝对值，并证明这个差可以任意小，从而证明数 列的极限。
柯西收敛准则证明法
总结词
利用柯西收敛准则来证明数列的极限。
性质
极限的唯一性、四则运算法则、夹逼准则等。
收敛与发散
收敛
当数列的项逐渐接近一个常数时，该 数列称为收敛的。
发散
如果数列的项没有收敛到任何值，则 该数列称为发散的。
收敛的几何意义
几何解释
在数轴上，如果一个数列的项逐渐接 近一个点，那么这个数列就是收敛的 ，而这个点就是它的极限。
举例
考虑数列${ 1, -1, 1, -1, ldots }$，该 数列在$x=0$处收敛，因为当$n$趋 于无穷大时，该数列的项逐渐接近0 。
大学一年级 1(2)数列的极限
22
数列的极限
定理2(收敛数列的有界性) 收敛的数列必定有界. 定理2(收敛数列的有界性) 收敛的数列必定有界. 2(收敛数列的有界性 的数列必定有界 证 设 lim x n = a ,
n→ ∞
由定义, 由定义
取ε = 1,
则∃N , 使得当 n > N 时恒有 x n − a < 1,
即有 a − 1 < x n < a + 1.
只 要 n > 5000, 就 有 S n
1 Sn − < ε ? 3 1 1 只要n > ,就 有 Sn − < ε 2ε 3
14
数列的极限
定义5
数列极限的 ε − N
定义
设
{u n } 为 一 数 列 ,
如 果 存 在 常 数 A,
不论它多么小), 如果对于任意给定的正数 ε (不论它多么小 不论它多么小 总存在正数N, 总存在正数
2
数列的极限
刘徽(三世纪 的 割圆术”中说: 刘徽 三世纪)的“割圆术”中说 三世纪 “割之弥细 所失弥少 割之又割 以至不可 割之弥细,所失弥少 割之又割,以至不可 割之弥细 所失弥少.割之又割 则与圆周合体,而无所失矣 割,则与圆周合体 而无所失矣 则与圆周合体 而无所失矣.”
意思是:设给定半径为 尺的圆 从圆内接正 边 设给定半径为1尺的圆 从圆内接正6边 设给定半径为 尺的圆,从圆内接正
5
数列的极限
如
1 1 1 1 : 1, , , L , , L 2 3 n n n n 1 2 3 , , L, ,L : n +1 n + 1 2 3 4
(−1) n 1 1 1 (−1) n n : − , , − L, n ,L 2 4 8 2 2
数列的极限
定理2(收敛数列的有界性) 收敛的数列必定有界. 定理2(收敛数列的有界性) 收敛的数列必定有界. 2(收敛数列的有界性 的数列必定有界 证 设 lim x n = a ,
n→ ∞
由定义, 由定义
取ε = 1,
则∃N , 使得当 n > N 时恒有 x n − a < 1,
即有 a − 1 < x n < a + 1.
只 要 n > 5000, 就 有 S n
1 Sn − < ε ? 3 1 1 只要n > ,就 有 Sn − < ε 2ε 3
14
数列的极限
定义5
数列极限的 ε − N
定义
设
{u n } 为 一 数 列 ,
如 果 存 在 常 数 A,
不论它多么小), 如果对于任意给定的正数 ε (不论它多么小 不论它多么小 总存在正数N, 总存在正数
2
数列的极限
刘徽(三世纪 的 割圆术”中说: 刘徽 三世纪)的“割圆术”中说 三世纪 “割之弥细 所失弥少 割之又割 以至不可 割之弥细,所失弥少 割之又割,以至不可 割之弥细 所失弥少.割之又割 则与圆周合体,而无所失矣 割,则与圆周合体 而无所失矣 则与圆周合体 而无所失矣.”
意思是:设给定半径为 尺的圆 从圆内接正 边 设给定半径为1尺的圆 从圆内接正6边 设给定半径为 尺的圆,从圆内接正
5
数列的极限
如
1 1 1 1 : 1, , , L , , L 2 3 n n n n 1 2 3 , , L, ,L : n +1 n + 1 2 3 4
(−1) n 1 1 1 (−1) n n : − , , − L, n ,L 2 4 8 2 2
高等数学 第二节 数列的极限
"" 表示"至少有一个" 或"存在".
lim
n
xn
a 的"
N" 定义 :
lim
n
xn
a
0, N N ,当n N 时, 有
| xn a | .
注意: (1) 0 的任意性; a xn a
(2) N 的存在性：N N ( ).
(3) 几何解释 当 x = n, 则 xn f (n)
第n 项 xn 叫 做 数 列 的 一 般 项.
例如:
1 , 2 , 3 ,, n ,: 2 3 4 n1
n n
1
;
2,
1 2
,
4 3
,,
n
(1)n1 n
,:
n
(1)n1 n
;
2,4,8,,2n ,:
{2n };
1,1,1,,(1)n1,: {(1)n1}.
注意: 1. 数列的每一项都是数.
n
2
2 n2
n n2
)
1 .
2
1. 证明lim( n2 1 n) 0. n
证 0,
n2 1 n 0 ( n2 1 n)( n2 1 n) n2 1 n
n2
1 1
n
1 2n
,
欲使 1 , 只须n 1 ,
2n
2
取
N
1
2
,
则当n N时,
n2 1 n 0 ,
lim
n
xn
a
f(n)
a
x1
a的邻域
x2
a
自然数 N
xn
对一切 n > N a
lim
n
xn
a 的"
N" 定义 :
lim
n
xn
a
0, N N ,当n N 时, 有
| xn a | .
注意: (1) 0 的任意性; a xn a
(2) N 的存在性：N N ( ).
(3) 几何解释 当 x = n, 则 xn f (n)
第n 项 xn 叫 做 数 列 的 一 般 项.
例如:
1 , 2 , 3 ,, n ,: 2 3 4 n1
n n
1
;
2,
1 2
,
4 3
,,
n
(1)n1 n
,:
n
(1)n1 n
;
2,4,8,,2n ,:
{2n };
1,1,1,,(1)n1,: {(1)n1}.
注意: 1. 数列的每一项都是数.
n
2
2 n2
n n2
)
1 .
2
1. 证明lim( n2 1 n) 0. n
证 0,
n2 1 n 0 ( n2 1 n)( n2 1 n) n2 1 n
n2
1 1
n
1 2n
,
欲使 1 , 只须n 1 ,
2n
2
取
N
1
2
,
则当n N时,
n2 1 n 0 ,
lim
n
xn
a
f(n)
a
x1
a的邻域
x2
a
自然数 N
xn
对一切 n > N a
第二讲数列的极限
n 1 n n 1
(1) n 0 n ( n 1) 2
证：由于 x n a
(1) n 1 1 1 0 2 2 n 1 n (n 1) (n 1)
第一章第二讲数列的极限
要使 x n a
1 1 成立，只要 n n 1
故对 0 ，取 N [ ] ，当 n N 时，总有
xn 趋近于 a ，即 xn 与 a 之间的距离越来越小，所以我们可以利用 xn a 来刻
画 xn 趋近于某一个数 a . 当 xn a 小于一个很小的数的时候，我们就可以说 xn 与 a 越来越近.
题目：已知数列
n ( 1) n 1 n
（1）
n (1) n 1 与 1 之间的关系？ n
1 2 3 4 , , , , 2 3 4 5
(ⅱ) 2 , 4 , 8 , 16 , (ⅲ) 1 , 1 , 1 , 1 , (ⅳ) s1 , s2 ,, sn , (ⅴ) x1 , x2 ,, xn , 解：(ⅰ) xn
n n 1
当 n 时， xn 趋近于 1
第一章第二讲数列的极限
N ，当 n N 时， | xn
a | 1 都成立
于是 n N 时， xn xn a a xn a a 1 a
第一章第二讲数列的极限 取 M max x1 , x2 , , xN ,1 a ，则数列 xn 中的每一项满足 xn M 故数列 xn 是有界的. 注：根据该定理，若数列 xn 无界，则 xn 一定发散，但若 xn 有界，则 xn 不 一定收敛. 3、极限的保号性：若 lim x n
1 1 n n
所以从第 [ ] 1 项开始后面所有的项与 1 的差的绝对值小于
高等数学(第五版)同济大学主编 1-2节数列极限
第二节 数列的极限
§2.1数列的极限
我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接 正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限 思想在几何学上的应用．
1
按照某一法则依次序排列的数，例如：
1 2 3 n , , ,, , ; 2 3 4 n 1
n xn n 1
2,4,8,,2 ,;
1 1 1 1 , , , , n , ; 2 4 8 2
| xn 0 |
得证 lim xn 0
n
11
例
1 证明： lim n 0. n 2
证 0,
1 1 1 1 2n 由 n 0 n n log 2 2 2
故取
N [log 2 ] 1
则 n > N 时,
1 0 n 2 1 由极限的定义, 得 lim n 0 . n 2
2 1 3 2 2 1 3 2 n 1 1
课堂练习P30。 1. 6
的极限存在，则极限值 定理 （唯一性）若数列 xn 1 唯一的。
的极限存在，则 xn 是有界的。 定理2 （有界性）若数列 xn
即M 0, n N , 有 xn M .
解
例5
1 2 n 求 lim ( 2 2 2 ). n n n n
n 时, 是无穷小之和． 先变形再求极限.
解
1 2 n 1 2 n lim( 2 2 2 ) lim n n n n n n2
1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2
n
设 lim xn a, lim yn b, 则
§2.1数列的极限
我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接 正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限 思想在几何学上的应用．
1
按照某一法则依次序排列的数，例如：
1 2 3 n , , ,, , ; 2 3 4 n 1
n xn n 1
2,4,8,,2 ,;
1 1 1 1 , , , , n , ; 2 4 8 2
| xn 0 |
得证 lim xn 0
n
11
例
1 证明： lim n 0. n 2
证 0,
1 1 1 1 2n 由 n 0 n n log 2 2 2
故取
N [log 2 ] 1
则 n > N 时,
1 0 n 2 1 由极限的定义, 得 lim n 0 . n 2
2 1 3 2 2 1 3 2 n 1 1
课堂练习P30。 1. 6
的极限存在，则极限值 定理 （唯一性）若数列 xn 1 唯一的。
的极限存在，则 xn 是有界的。 定理2 （有界性）若数列 xn
即M 0, n N , 有 xn M .
解
例5
1 2 n 求 lim ( 2 2 2 ). n n n n
n 时, 是无穷小之和． 先变形再求极限.
解
1 2 n 1 2 n lim( 2 2 2 ) lim n n n n n n2
1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2
n
设 lim xn a, lim yn b, 则
高等数学第一章第二节数列的极限课件.ppt
1
1 2n
1
二、数列的定义
定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1 , x2 ,, xn ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
列的项,xn 称为通项(一般项).数列(1)记为{ xn }.
例如 2,4,8,,2n ,;
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,;
{2n}
1 {2n }
五、小结
数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质: 有界性、唯一性、保号性、子列的收敛性
练习题
一、利用数列极限的定义证明:
1、lim 3n 1 3 ； n 2n 1 2
2、lim0.999....9 1 n
二、设数列
xn
有界，又lim n
yn
0，
有 xn 1 成立.
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于n N 时的一切 xn,
不等式 xn A 都成立,那末就称常数 A 是数列
xn的极限,或者称数列 xn收敛于 A,记为
lim
n
xn
A,
或 xn A (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
n
n
例2
设xn
C(C为常数),
证明 lim n
xn
C.
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0,寻找N,但不必要求最小的N.
例3 证明 lim qn 0,其中q 1. n
四、数列极限的性质
性质1 如果数列有极限，则极限是唯一的.
高等数学上册 02 极限的概念
x x0
li m （ x ） = A 或 （ x ） A （ x x 0） . f f
如 果 这 样 的 常 数 A 不 存 在 ，则 说 当 x x 0时 （ x ） f 没 有 极 限 . 为 了 方 便 ， 常 表 述 为 “ l im （ x ） 不 存 在 ” . f
x x0
1 x
无 限 接 近 于 0， 故 有
y
y
1 x
x
O
的水平渐近线（如右图）.
x
直 线 y 0 是 曲 线 （ x） f
y
2
y= arctBiblioteka n xOx
2
例 4 、从 反 正 切 函 数 y= arctan x 的 图 形 可 观 察 到 lim arctan x
2
x
3
一 般 地 ， 若 要 xn 1
1 n
1 10
k
，只 要 n 1 0 .
k
由 此 可 见 ，无 论 要 求 x n 与 0 多 么 接 近 ，只 要 n 足 够 大 后 ，就 可 以 使 x n 与 0 有 那 么 接 近 ，这 就 是 "当 n 无 限 增 大 时 ， x n 接 近 于 常 数 1 "的 含 义 . n -1 ） （ n
x 1 解 ： （ x ） 在 x = 1 处 没 有 定 义 ， 但 （ x ） 当 x 1时 的 极 限 f f
x
2
的极限.
与 （ 1 ） 是 否 存 在 没 有 关 系 . 由 于 （ x） = f f 当 x 1时 ， （ x ） 无 限 接 近 于 2 . 因 此 有 f lim x
x
li m （ x ） = A 或 （ x ） A （ x x 0） . f f
如 果 这 样 的 常 数 A 不 存 在 ，则 说 当 x x 0时 （ x ） f 没 有 极 限 . 为 了 方 便 ， 常 表 述 为 “ l im （ x ） 不 存 在 ” . f
x x0
1 x
无 限 接 近 于 0， 故 有
y
y
1 x
x
O
的水平渐近线（如右图）.
x
直 线 y 0 是 曲 线 （ x） f
y
2
y= arctBiblioteka n xOx
2
例 4 、从 反 正 切 函 数 y= arctan x 的 图 形 可 观 察 到 lim arctan x
2
x
3
一 般 地 ， 若 要 xn 1
1 n
1 10
k
，只 要 n 1 0 .
k
由 此 可 见 ，无 论 要 求 x n 与 0 多 么 接 近 ，只 要 n 足 够 大 后 ，就 可 以 使 x n 与 0 有 那 么 接 近 ，这 就 是 "当 n 无 限 增 大 时 ， x n 接 近 于 常 数 1 "的 含 义 . n -1 ） （ n
x 1 解 ： （ x ） 在 x = 1 处 没 有 定 义 ， 但 （ x ） 当 x 1时 的 极 限 f f
x
2
的极限.
与 （ 1 ） 是 否 存 在 没 有 关 系 . 由 于 （ x） = f f 当 x 1时 ， （ x ） 无 限 接 近 于 2 . 因 此 有 f lim x
x
高等数学 第二节 数列的极限
{xn } 单调增加, 也记为 {xn } ↓ .
不增加的
严格单调增加(单调增加) 严格单调减少(单调减少) 单调增加(不减少的) 单调减少(不增加的) 数列
统称为单调数列
(2) 数列的有界性
回想一下前面讲过的 函数的有界性的情形
我学过吗 ？
若 ∃ M > 0, 使得当 x ∈ I 时, 有 | f ( x ) | ≤ M 成立,
{xn } 单调增加, 也记为 {xn } ↑ .
不减少的 数列单调减少的情形怎么定义？ 有谁来说一说.
若 {xn } 满足 x1 > x2 > ⋯ > xn > ⋯ , 则称
{xn } 严格单调增加, 记为 {xn } ↓ .
单调减少
若 {xn } 满足 x1 ≥ x2 ≥ ⋯ ≥ xn ≥ ⋯ , 则称
故有
n→ +∞
lim | xn | = | a | .
注意：该例题结论的逆命题不真. 例如, {(−1)n}.
三. 数列的性质
单调性
有界性
(1) 数列的单调性
若 {xn } 满足 x1 < x2 < ⋯ < xn < ⋯ , 则称
{xn } 严格单调增加, 记为 {xn } ↑ .
单调增加
若 {xn } 满足 x1 ≤ x2 ≤ ⋯ ≤ xn ≤ ⋯ , 则称
证明 : 若 lim xn = a, 则 lim | xn | = | a | .
n →+∞ n→+∞
证
因为 lim xn = a, 所以 ∀ε > 0, ∃ N > 0,
n→ +∞
当 n > N 时, 有 | x n − a | < ε .
不增加的
严格单调增加(单调增加) 严格单调减少(单调减少) 单调增加(不减少的) 单调减少(不增加的) 数列
统称为单调数列
(2) 数列的有界性
回想一下前面讲过的 函数的有界性的情形
我学过吗 ？
若 ∃ M > 0, 使得当 x ∈ I 时, 有 | f ( x ) | ≤ M 成立,
{xn } 单调增加, 也记为 {xn } ↑ .
不减少的 数列单调减少的情形怎么定义？ 有谁来说一说.
若 {xn } 满足 x1 > x2 > ⋯ > xn > ⋯ , 则称
{xn } 严格单调增加, 记为 {xn } ↓ .
单调减少
若 {xn } 满足 x1 ≥ x2 ≥ ⋯ ≥ xn ≥ ⋯ , 则称
故有
n→ +∞
lim | xn | = | a | .
注意：该例题结论的逆命题不真. 例如, {(−1)n}.
三. 数列的性质
单调性
有界性
(1) 数列的单调性
若 {xn } 满足 x1 < x2 < ⋯ < xn < ⋯ , 则称
{xn } 严格单调增加, 记为 {xn } ↑ .
单调增加
若 {xn } 满足 x1 ≤ x2 ≤ ⋯ ≤ xn ≤ ⋯ , 则称
证明 : 若 lim xn = a, 则 lim | xn | = | a | .
n →+∞ n→+∞
证
因为 lim xn = a, 所以 ∀ε > 0, ∃ N > 0,
n→ +∞
当 n > N 时, 有 | x n − a | < ε .
大一高等数学 第一章第二节 数列的极限
数列极限的定义
极限的定义
数列极限：数列的极限是指当n趋于无穷大时，数列的项趋于一个固定的数 极限的定义：如果对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，数列的 项与这个固定的数之差的绝对值小于ε，那么我们就说数列的极限是这个固定的数 极限的性质：极限具有唯一性、保号性、保序性、保积性等性质
斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... 几何级数：1, 2, 4, 8, 16, 32, ... 调和级数：1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... 幂级数：1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...
自然对数的底数e的实例
自然对数的定义： e=lim(n→∞)(( 1+1/n)^n)
自然对数的性质： e是自然对数的 底数，是一个无 理数，约等于 2.71828
自然对数的应用： 在数学、物理、 工程等领域有着 广泛的应用
自然对数的极限： e=lim(n→∞)(( 1+1/n)^n)， 这是一个数列极 限的实例
YOUR LOGO
THNK YOU
汇报人：儿
证明数列收敛的方法
单调有界准则：数列单调且存 在上界或下界，则数列收敛
夹逼准则：数列的两个子数列 分别收敛于同一极限，则数列 收敛
柯西准则：数列满足柯西条件， 则数列收敛
极限定义法：直接利用极限的 定义证明数列收敛
证明数列发散的方法
单调有界准则：如果数列单调有界，则 数列收敛
夹逼准则：如果数列的两个子数列分 别收敛于不同的极限，则数列发散
优化物理模型：数列极限可以用来优化物理模型，如优化电路设计、 优化机械结构等
数列极限在经济中的应用
预测经济趋势：通过数列极限分 析，预测未来经济走势
极限的定义
数列极限：数列的极限是指当n趋于无穷大时，数列的项趋于一个固定的数 极限的定义：如果对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，数列的 项与这个固定的数之差的绝对值小于ε，那么我们就说数列的极限是这个固定的数 极限的性质：极限具有唯一性、保号性、保序性、保积性等性质
斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... 几何级数：1, 2, 4, 8, 16, 32, ... 调和级数：1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... 幂级数：1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...
自然对数的底数e的实例
自然对数的定义： e=lim(n→∞)(( 1+1/n)^n)
自然对数的性质： e是自然对数的 底数，是一个无 理数，约等于 2.71828
自然对数的应用： 在数学、物理、 工程等领域有着 广泛的应用
自然对数的极限： e=lim(n→∞)(( 1+1/n)^n)， 这是一个数列极 限的实例
YOUR LOGO
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汇报人：儿
证明数列收敛的方法
单调有界准则：数列单调且存 在上界或下界，则数列收敛
夹逼准则：数列的两个子数列 分别收敛于同一极限，则数列 收敛
柯西准则：数列满足柯西条件， 则数列收敛
极限定义法：直接利用极限的 定义证明数列收敛
证明数列发散的方法
单调有界准则：如果数列单调有界，则 数列收敛
夹逼准则：如果数列的两个子数列分 别收敛于不同的极限，则数列发散
优化物理模型：数列极限可以用来优化物理模型，如优化电路设计、 优化机械结构等
数列极限在经济中的应用
预测经济趋势：通过数列极限分 析，预测未来经济走势
高等数学上册 1.2 数列的极限
ln
在此处键入公式。
> 1+
.
− 1 ln < ln , 亦即
ln||
ln
, 则当n > N 时, 就有
因此, 取 = 1 +
ln||
| −1 − 0 | < ,
故
第二节 数列的极限
lim −1 = 0.
→∞
第一章 函数与极限
二、收敛数列的性质
定理1 收敛数列的极限唯一.
证
用反证法.
假设数列 收敛, 则有唯一极限存在.
1
取 = , 则存在N , 使当n > N 时, 有
2
1
1
− < < + .
2
2
但因 交替取值1与－1, 而此二数不可能同时落在
1
1
长度为1的开区间 − , + 内, 因此该数列发散.
2
2
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
→∞
+
−
.
− <
, 从而 >
2
2
取 = max 1 , 2 ,则当 n > N 时, 满足的不等式 矛盾.
故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一.
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
+1 ( = 1, 2, ⋯ )
是发散的.
例4 证明数列 = (−1)
= 0.
故 →∞
→∞ ( + 1)2
思考:
也可由
1
− 0 =
( + 1)2
1
取 =
−1
N 的存在性
在此处键入公式。
> 1+
.
− 1 ln < ln , 亦即
ln||
ln
, 则当n > N 时, 就有
因此, 取 = 1 +
ln||
| −1 − 0 | < ,
故
第二节 数列的极限
lim −1 = 0.
→∞
第一章 函数与极限
二、收敛数列的性质
定理1 收敛数列的极限唯一.
证
用反证法.
假设数列 收敛, 则有唯一极限存在.
1
取 = , 则存在N , 使当n > N 时, 有
2
1
1
− < < + .
2
2
但因 交替取值1与－1, 而此二数不可能同时落在
1
1
长度为1的开区间 − , + 内, 因此该数列发散.
2
2
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
→∞
+
−
.
− <
, 从而 >
2
2
取 = max 1 , 2 ,则当 n > N 时, 满足的不等式 矛盾.
故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一.
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
+1 ( = 1, 2, ⋯ )
是发散的.
例4 证明数列 = (−1)
= 0.
故 →∞
→∞ ( + 1)2
思考:
也可由
1
− 0 =
( + 1)2
1
取 =
−1
N 的存在性
高等数学第六版第一章第二节数列的极限
32
3) 绝对值不等式
| xn a | a xn a ,( n N )
则表明 xn 与a可以无限接近.
4) lim xn a 的几何意义: n a 2
x2
x1
a
xN 2
x
xN 1
a
x3
当n > N 所有的点
xn
都将落在 (a , a ) 内，
1. xn 1
n 1 1
n
n 1
xn 0
(1) n 2 n
2n 1 2. xn n 3. xn 2n
xn 2 xn
4. xn 1n1
xn 在－1 与 1 之间跳动
xn 的变化趋势只有两种： 观察可见： 不是无限地接近
某个确定的常数，就是不接近于任何确定的常数。
上式两边同时乘以q 有：
(1)
(2)
qS n a1q a1q 2 a1q 3 a1q n
上（1）式两边分别减去（2）式的两边得：
(1 q) S n a1 a1q n a1 (1 q ) 当 q 1 时 Sn 1 q
n
12
引例3 观察下列数列的变化趋势: 当n 时
x1, x2, x3, , xn ,
称为数列， 其中每一个数称为数列的项，第 n 项 xn 称为数列的一般项（或通项）， 下标 n (n 1,2,) 表示数列的项数。 数列简记为
xn 或 x n (n 1,2,)
5
数列对应着数轴上一个点列, 可看作一动点在数轴 上依次取 x1, x2, x3, xn
定义3 若数列 及常数 a 有下列关系 : 当 n > N 时, 总有 则称该数列
3) 绝对值不等式
| xn a | a xn a ,( n N )
则表明 xn 与a可以无限接近.
4) lim xn a 的几何意义: n a 2
x2
x1
a
xN 2
x
xN 1
a
x3
当n > N 所有的点
xn
都将落在 (a , a ) 内，
1. xn 1
n 1 1
n
n 1
xn 0
(1) n 2 n
2n 1 2. xn n 3. xn 2n
xn 2 xn
4. xn 1n1
xn 在－1 与 1 之间跳动
xn 的变化趋势只有两种： 观察可见： 不是无限地接近
某个确定的常数，就是不接近于任何确定的常数。
上式两边同时乘以q 有：
(1)
(2)
qS n a1q a1q 2 a1q 3 a1q n
上（1）式两边分别减去（2）式的两边得：
(1 q) S n a1 a1q n a1 (1 q ) 当 q 1 时 Sn 1 q
n
12
引例3 观察下列数列的变化趋势: 当n 时
x1, x2, x3, , xn ,
称为数列， 其中每一个数称为数列的项，第 n 项 xn 称为数列的一般项（或通项）， 下标 n (n 1,2,) 表示数列的项数。 数列简记为
xn 或 x n (n 1,2,)
5
数列对应着数轴上一个点列, 可看作一动点在数轴 上依次取 x1, x2, x3, xn
定义3 若数列 及常数 a 有下列关系 : 当 n > N 时, 总有 则称该数列
《数列的极限 》课件
极限时，常常需要利用数列极限的知识， 将函数极限转化为数列极限进行处理，如利用单调有 界定理证明极限的存在性等。
在微积分中的应用
定积分与不定积分
定积分和不定积分是微积分的重要组成部分，它们的 计算和证明都涉及到数列极限的应用。例如，在计算 定积分时，需要用到极限来估计积分的误差；在证明 不定积分的性质时，也需要用到数列极限。
04
无穷小与无穷大
无穷小的性质
无穷小是极限为0的变量。
1
2
无穷小具有可交换性、可结合性、可分解性。
3
无穷小是相对于自变量变化的趋势，可以是x趋 向于无穷大或x趋向于某一常数。
无穷大的性质
无穷大是极限不存在的变量。
无穷大具有可交换性、可结合性、可分解性。
无穷大可以是正无穷大或负无穷大，取决于自变 量的变化趋势。
《数列的极限》PPT课件
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质 • 数列极限的存在性 • 无穷小与无穷大 • 数列极限的应用
01
数列极限的定义
定义及性质
定义
数列的极限是指当数列的项数n趋于 无穷大时，数列的项x_n趋于某一固 定值A的性质。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部保号 性、局部不等式性质等。
级数理论
级数是微积分的一个重要分支，它与数列极限有着密切 的联系。通过数列极限，我们可以研究级数的收敛性和 求和问题，如利用比较审敛法、p-级数等。
在实际问题中的应用
金融数学
在金融数学中，许多问题涉及到数列极限的应用。例如，在研究资产价格的波动时，我们需要用到大数定律和中 心极限定理等数列极限的知识。
闭区间套定理
总结词
闭区间套定理表明，如果一个数列的项落在 不断缩小的闭区间内，则该数列收敛。
在微积分中的应用
定积分与不定积分
定积分和不定积分是微积分的重要组成部分，它们的 计算和证明都涉及到数列极限的应用。例如，在计算 定积分时，需要用到极限来估计积分的误差；在证明 不定积分的性质时，也需要用到数列极限。
04
无穷小与无穷大
无穷小的性质
无穷小是极限为0的变量。
1
2
无穷小具有可交换性、可结合性、可分解性。
3
无穷小是相对于自变量变化的趋势，可以是x趋 向于无穷大或x趋向于某一常数。
无穷大的性质
无穷大是极限不存在的变量。
无穷大具有可交换性、可结合性、可分解性。
无穷大可以是正无穷大或负无穷大，取决于自变 量的变化趋势。
《数列的极限》PPT课件
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质 • 数列极限的存在性 • 无穷小与无穷大 • 数列极限的应用
01
数列极限的定义
定义及性质
定义
数列的极限是指当数列的项数n趋于 无穷大时，数列的项x_n趋于某一固 定值A的性质。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部保号 性、局部不等式性质等。
级数理论
级数是微积分的一个重要分支，它与数列极限有着密切 的联系。通过数列极限，我们可以研究级数的收敛性和 求和问题，如利用比较审敛法、p-级数等。
在实际问题中的应用
金融数学
在金融数学中，许多问题涉及到数列极限的应用。例如，在研究资产价格的波动时，我们需要用到大数定律和中 心极限定理等数列极限的知识。
闭区间套定理
总结词
闭区间套定理表明，如果一个数列的项落在 不断缩小的闭区间内，则该数列收敛。
《高等数学》第一章函数与极限第二节 数列的极限
所失矣”
——(魏晋)刘徽
5
第1 章 函数与极限
1.2 数列的极限
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
n 1
R
正62
形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
刘徽从圆内接正六边形开始，逐次边数加倍到 正3072边形得到圆周率 的近似值为3.1416
6
第1 章 函数与极限
第1 章 函数与极限
1.2 数列的极限
三、数列极限的定义
定义 已知数列 xn , A是一个常数. 如果当n无限增大时,
也称数列 xn收敛于A.
记作
n
xn无限接近于A, 则称当n 时, 数列 xn的极限为A,
lim xn A 或 xn A (n )
说明 这是数列极限的描述性定义。按照定义，通过观察
n n
证
任给 0,
lim xn a ,
n
N 使得当n N时, 恒有 xn a ,
从而有
n
xn a
xn a xn a
xn a a
a
故 lim xn a .
23
第1 章 函数与极限
1.2 数列的极限
四、极限存在的两个准则 准则Ⅰ 夹逼准则
如果数列 xn, yn , zn 满足条件：
(1) xn yn zn ( n 1, 2, 3 ) (2) lim xn A, lim zn A
n n
yn A 那么数列 yn 收敛, 且 lim n
24
第1 章 函数与极限
1.2 数列的极限
1 1 1 1 1 1 xn 2 2 1 2 2 3 nn 1 2! 3! n! 1 1 1 1 1 1 2 1 3 3. 2 2 3 n1 n n
高数第1章第2节——数列的极限
n
n
例4 证明 lim qn 0,其中q 1. n
证 任给 0, 若q 0, 则 lim qn lim 0 0;
n
n
若0 q 1, qn 0 qn , nln q ln ,
n ln , ln q
取N [llnnq ] 1
0 1
,
2
1
则当n N时, n N 1 [ ln ] 1 ln ,
数列中的第n项an称为一般项或通项.
在几何上,数列对应着数轴上一个点列.可看作一动 点在数轴上依次取 x1 , x2 ,L , xn ,L .
x3 x1 x2 x4 xn
例1:写出下列数列的通项
i) 2,4,8, ,2n , , xn 2n ;
ii)
1 , 1 , 1 , 248
,
1 2n
,
,
,
由1 1 , n 100
只要 n 100,
给定 1 , 1000
要
an
1
1, 1000
只要 n 1000,
给定
1, 10000
要
an
1
1 10000
,
只要 n 10000,
给定 0,
要
an
1
成立，
只要 n
N
1
.
定义1.2.1 若存在常数A，使对任意的 0，
总存在自然数N 0，当n N时，恒有
1 1
n
lim n lim 1 1,
n n2 1
n
1
1 n2
lim( 1 1
由夹逼定理得
1 ) 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
例7 设a 0,证明 lim n a 1. n
高等数学教学课件 第二节 数列的极限
A n 6 2 n 1 1 2 R 2 s6 i 2 2 n n 1 3 2 n 1 R 2 s6 i 2 2 n n 1 R2
4/18
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下的杖 X1 长 12;为 第二天截下的为 杖 X2长 12总 212和 ;
例如 2,4,8,,2n,;
{2 n }
12,14,18,,21n,;
1 {2 n }
6/18
1,1,1,,(1)n1,; {(1)n1}
2,1,4,,n(1)n1,;
n (1)n1
{
}
23
n
n
3 ,3 3 , ,3 3 3 ,
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1,x2,,xn,.
13/18
例2
证li明 q m n0 ,其q 中 1 . n
证 任给 0, 若q0, 则 lim qnlim 00;
n
n
若 0q1, xn0qn, nlnqln,
n ln , ln q
取N [ln], 则n 当 N时 , lnq
就q 有 n0, lim qn0. n
14/18
四、收敛数列的性质
证明: nl im xn a
对于 a0,正整 N数 0,
2
当 nN时 ,有 xnaa 2
从 而a0 a0
xxnnaaa2a23a22a00.
刻划它. 我们知,两 道个数之间的接 可近 以程 用度 这两个
数之差的绝对值， 来差 度值 量越小越. 接近
xn1(1)n1
1 n
1 n
9/18
给定 1 , 100
由1 1 , n 100
4/18
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下的杖 X1 长 12;为 第二天截下的为 杖 X2长 12总 212和 ;
例如 2,4,8,,2n,;
{2 n }
12,14,18,,21n,;
1 {2 n }
6/18
1,1,1,,(1)n1,; {(1)n1}
2,1,4,,n(1)n1,;
n (1)n1
{
}
23
n
n
3 ,3 3 , ,3 3 3 ,
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1,x2,,xn,.
13/18
例2
证li明 q m n0 ,其q 中 1 . n
证 任给 0, 若q0, 则 lim qnlim 00;
n
n
若 0q1, xn0qn, nlnqln,
n ln , ln q
取N [ln], 则n 当 N时 , lnq
就q 有 n0, lim qn0. n
14/18
四、收敛数列的性质
证明: nl im xn a
对于 a0,正整 N数 0,
2
当 nN时 ,有 xnaa 2
从 而a0 a0
xxnnaaa2a23a22a00.
刻划它. 我们知,两 道个数之间的接 可近 以程 用度 这两个
数之差的绝对值， 来差 度值 量越小越. 接近
xn1(1)n1
1 n
1 n
9/18
给定 1 , 100
由1 1 , n 100
高等数学(同济第六版)课件 第一章 2.数列的极限
得: n g ( ) 取 N [ g ( )]
n 1 （ lim 用定义证明： 1） n 2 n 1 2 1 n （2） lim 2 sin 0 n n 3
lim xn a
n
0,
自然数N
lim 一般地：若数列{yn}有界， xn 0 n
小
结（二）
3.数列极限的性质： （1）唯一性 （2）有界性 （3）不等式性质 （4）有界数列与无穷小量的乘积还是无穷小量
4.常用的结论：
（ lim C C 1）
n
（其中C为常数）
1 （2） lim p 0, （其中p为大于零的常数） n n
（3） q n 0, 其中 q 1. lim
重要极限Ⅱ
(e 2.71828)
例4 求下列极限
1 n (1) lim(1 ) n n 2 1 ( n 2 ) 2 lim(1 ) n n 2
1 n 2 (1 ) n 2 lim n 1 2 (1 ) n 2
1 n 2 lim(1 ) e n n 2 e 1 2 1 lim(1 ) n n 2
1 n ( 2) lim(1 ) n n n1 n n n 1 lim( ) lim( ) n n n 1 n n n lim ( ) n n 1 1 1 1 n 1 n 1 1 lim(1 ) lim(1 ) lim(1 ) n n n n1 n1 n1 1 e
n sin n! (4) lim 2 n n 1
n 1 3 n 4 ( 3) lim( ) n n
6n n (5) lim n （ n cos ） n 7 5 2
高等数学 第二节 数列的极限
4) 中的 xn − a < ε ⇐⇒ a − ε < xn < a + ε .
( a −ε
a
) a +ε
xn ∈ U ( a , ε )
4
2n + 1 例 1. 证明数列 的极限是 2. n +1 2n + 1 −1 1 证. −2 = = , n +1 n +1 n +1
则 lim un = lim 1 = 1, 但是 lim un 不存在 .
n →∞ n →∞
n→∞
命题 2. 设数列 xn 有界 , 又 lim yn = 0 , 则 lim xn yn = 0 .
n→∞ n→∞
命题 : 1) . 若 lim un = a , 则 lim un = a .
n→∞ n→∞
(定理4的逆命题)
#
14
(3)
1
1, − 1, 1, − 1, ⋯ , ( −1) n +1 , ⋯⋯
0.3, 0.33, 0.333, 0.3333, ⋯⋯
an
(4)
(5)
1 3
o
n
显然, 数列(5)中, 当 n 无限增大时, 通项 xn 无限接近常数 1 . 3
xn无限接近 a , 即 xn − a 无限变小, 在数学上这样描述 :
例题 . 对于数列 { xn } , 若 x2 k → a , ( k → ∞ ) ,
x2 k +1 → a , ( k → ∞ ) , 证明 : xn → a , ( n → ∞ ) .
证 . ∀ε > 0 , ∃ N1 , 当 k > N1 时 , x2 k − a < ε 成立 ;
( a −ε
a
) a +ε
xn ∈ U ( a , ε )
4
2n + 1 例 1. 证明数列 的极限是 2. n +1 2n + 1 −1 1 证. −2 = = , n +1 n +1 n +1
则 lim un = lim 1 = 1, 但是 lim un 不存在 .
n →∞ n →∞
n→∞
命题 2. 设数列 xn 有界 , 又 lim yn = 0 , 则 lim xn yn = 0 .
n→∞ n→∞
命题 : 1) . 若 lim un = a , 则 lim un = a .
n→∞ n→∞
(定理4的逆命题)
#
14
(3)
1
1, − 1, 1, − 1, ⋯ , ( −1) n +1 , ⋯⋯
0.3, 0.33, 0.333, 0.3333, ⋯⋯
an
(4)
(5)
1 3
o
n
显然, 数列(5)中, 当 n 无限增大时, 通项 xn 无限接近常数 1 . 3
xn无限接近 a , 即 xn − a 无限变小, 在数学上这样描述 :
例题 . 对于数列 { xn } , 若 x2 k → a , ( k → ∞ ) ,
x2 k +1 → a , ( k → ∞ ) , 证明 : xn → a , ( n → ∞ ) .
证 . ∀ε > 0 , ∃ N1 , 当 k > N1 时 , x2 k − a < ε 成立 ;
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2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 ) ( P52 )
lim
n
xn
a
(M
)
a
lim
n
xn
b
(m)
b
( 证明略 )
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例6. 设
证明数列
极限存在 . (P53～P54)
证: 利用二项式公式 , 有
xn
(1
1 n
)n
1
n 1!
1 n
n(n1) 2!
说明: 此性质反过来不一定成立. 例如,
数列 (1 )n1 虽有界但不收敛 .
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3. 收敛数列具有保号性.
若
且
( 0)
证: 对 a > 0 , 取
有 ( 0)
推论: 若数列从某项起
( 0)
(用反证法证明)
( 0).
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4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .
zn
a
证: 由条件 (2) , 0, N1, N2 ,
当
时,
lim
n
xn
a
当
时,
令 N max N1 , N2, 则当 n N 时, 有
由条件 (1) a yn xn zn a
即
xn a
,
故
lim
n
xn
a
.
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内容小结 目录 上页 下页 返回 结束
*3. 柯西极限存在准则(柯西审敛原理) (P55)
数列 极限存在的充要条件是:
0, 存在正整数 N , 使当 m N , n N 时,
有
xn xm
证:
“必要性”.设
lim
n
xn
a,则
使当
时, 有
xn a 2 , xm a 2
n
a 1 2a
a 1
不对! 此处 lim xn
n
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作业 P30 1, *3 (2) , *4
P56 4 (1) , (3) 4 (3) 提示:
可用数学归纳法证
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1.设
xn1
1 2
( xn
a xn
)
( n 1, 2,
因此该数列发散
.
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2. 收敛数列一定有界.
证: 设
取 1 , 则 N , 当 n N 时, 有
xn a 1, 从而有 xn a a 1 a
取 M max x1 , x2 , , xN ,1 a
则有 xn M ( n 1 , 2 , ) . 由此证明收敛数列必有界.
刘徽 目录 上页 下页 返回 结束
定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作
或
称为通项(一般项) .
若数列
及常数 a 有下限为 a , 记作
lim
n
xn
a
或 xn a (n )
此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . a xn a
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例4. 证明数列
是发散的.
证: 用反证法.
假设数列
收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
取
1 2
,
则存在 N ,
使当 n > N
时, 有
a
1 2
xn
a
1 2
但因 xn 交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在
长度为
1
的开区间(
a
1 2
,
a
1 2
)
内,
A a
2A
x1 0,
xn
0, 故
lim
n
xn
a
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2. 设
证明下述数列有极限 .
证: 显然 xn xn1 , 即
(1 ) 1
单调增, 又
(1
1 a1)
(1
ak
)
存在
“拆项相消” 法
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思考与练习
1. 如何判断极限不存在? 方法1. 找一个趋于∞的子数列;
方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.
2.
已知
x1
1,
xn1
1 2xn
(n
1, 2,
),
求 lim xn
n
时, 下述作法是否正确? 说明理由.
设 lim xn a , 由递推式两边取极限得
0
也可由
xn 0
1 (n1)2
说明: N 与 有关, 但不唯一. 取
N
1
1
不一定取最小的故N也. 可取
N
[
1
]
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例3. 设 q 1 , 证明等比数列
的极限为0 .
证: xn 0
欲使
只要
即
亦即 n 1 ln .
ln q
因此
,
取
N
1 n2
n(n1)(n2) 3!
1 n3
n(n1) (nn1) n!
1 nn
11
21!(1
1 n
)
31!(1
1 n
)
(1
2 n
)
n1!(1 1n) (1 n2) (1 nn1)
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xn
11
1 2!
(1
1n)
1 3!
又
xn
(1
1 n
)n
11
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又 xn (1 1n)n 11 11
3
2
1
n1
3
根据准则 2 可知数列 xn 有极限 .
记此极限为 e , 即
lim (1
n
1n)n
e
e 为无理数 , 其值为
e 2.718281828459045
限 , 则原数列一定发散 .
例如，
发散 !
lim
k
x
2k
1
三、极限存在准则
夹逼准则; 单调有界准则; *柯西审敛准则 .
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1. 夹逼准则 (准则1) (P50)
(1) yn xn zn ( n 1, 2, )
(2)
lim
n
yn
lim
n
1
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例2. 已知
证明
证: xn 0
1 (n 1)2
1 n 1
(0,1), 欲使
只要 1 , 即
n 1
n
1
1.
取
N [ 1 1] ,
则当 n N 时, 就有
xn 0 ,
故
lim
n
xn
lim
n
(1)n (n 1)2
1
ln
ln q
,
则当
n
>
N
时,
就有
qn1 0
故
lim qn1 0
n
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二、收敛数列的性质
1. 收敛数列的极限唯一.
证: 用反证法. 假设
及
且 a b.
取
因 lim
n
xn
a,
故存在
N1
,
使当
n
>
N1
时,
从而
xn
ab 2
例5. 证明
证: 利用夹逼准则 .由
n
n
2
1
π
n2
1 2π
n2
1
n
π
n2 n2 π
且
lim
n
n
n2 2
π
lim n1
1
π n2
1
lim
n
n
n
2
1
π
n2
1 2π
n2
1 nπ
1
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(n N)
几何解释 :
(
a xN 1
)
xN2 a
即xn U ( a , )
(n N)
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例如,
1,2 23
,3 4
,
, n , n 1
xn
n n 1
1
(n )
收
敛
xn
n (1)n1 n
1
(n )
2 , 4 , 8 , , 2n , xn 2n (n ) 发
证: 设数列
是数列 的任一子数列 .
若
则 0, N ,当
时, 有