机械工程图学-投影理论的基础知识(点的投影)
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水平投影图中的下 边、侧面投影图的右边 表示“前”。
左 上
z
x右
下
长对正
后
y
前左
x右
后
高 平 齐
y
前 上
z
下
宽相等
Wang chenggang
2-7/132
2.2 三面投影体系—2.2.2 三面投影图的形成及投影规律
作业
《机械工程图学基础教程习题集》 P7、 P8
Wang chenggang
2-8/132
2-16/132
2.3 点、直线和平面的投影—2.3.1 点的投影
3．投影面和投影轴上的点的投影
图2-9 投影面和投影轴上的点的投影
点的一个坐标为零，则点在投影面上，如图中的A点在 V 面上， B点在 H 面上。
点的两个坐标为零，则点在投影轴上，如图中的C点在OX轴上
。
Wang chenggang
（a） 之左、前、下。 （b） 之右、后、上。 （c） 之左、后、下。 （d） 之右、前、上。
（c）
对V面的重影点的哪两个坐标相同？若A、B两点的W 面投影为b″（a″），则A点在B点的哪一方？
两点位于V面的同一条投射线上，X坐标和Z坐标分别相同（xA= xB，zA= zB），只有Y坐标不同。
A点在B点的右方。
2.2 三面投影体系—2.2.2 三面投影图的形成及投影规律
什么叫分角？什么叫第一角画法？
用水平和铅垂的两投影面将空间分成 的四个区域，并按顺序编号，称为分角。
将物体置于第一分角内，即物体处于观察者与投影面之间进行投 射，然后按规定展开投影面，称为第一角投影，也称为第一角画法 （简称E法）。
简述三面投影体系中三个投影 面的名称和将其展开到一个平面上 的方法。
定比性：点分直线的比（空间两平行直线长度的比），投影后 保持不变。
Wang chenggang
2-2/132
2.2 三面投影体系—2.2.2 三面投影图的形成及投影规律
简述平行投影法和正投影法的投影特性。工程图样主 要采用什么投影法？
正投影法：还有“实形性”、“积聚性”、“类似性”。
实形性：直线（平面图形）平行于投影面，其投影反映直线的 实长（反映平面图形的实形）。
Wang chenggang
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2.2 三面投影体系—2.2.2 三面投影图的形成及投影规律
简述平行投影法和正投影法的投影特性。工程图样主 要采用什么投影法？
平行投影法:“平行性”、“从属性” 、“定比性”。
平行性：空间相互平行的直线（平面），其投影（积聚性投影） 一定相互平行。
从属性：直线（平面）或曲线上点（点、线）的投影必在该 直线（平面）或曲线的投影上。
简述点的投影规律。
（1）点的各投影连线分别垂直于相应的投影轴，即 a′a⊥OX，a′a″⊥OZ，aaYH⊥OYH，a″aYW⊥OYW
（2）点的每一个投影到投影轴的距离，均反映空间点到相邻投影 面的距离。
Wang chenggang
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.1 点的投影
对于空间的A、B两点，若xA＞xB、yA＜yB、zA ＜zB， 则A点在B点
写形式：A(x、y、z)。 x、y、z 即为点到各投影面的距离。
空间的点用大写字母表示，如Α；其投影用相应的小写字母 表示，如a表示点A的水平（H）投影;a′表示点A的正面（V）投影; a″表示点A的侧面（W）投影。
图2-7 点的三面投影
Wang chenggang
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.1 点的投影
名称：形体在V面上的投影（图）称为正面（V面）投影，在H面 上的投影（图）称为水平（H面）投影，在W面上的投影（图）称为 侧面（W面）投影。
投影规律：长对正、高平齐、宽相等（简称“三等规律”）。
正面投影与水平投影都表示形体的长（即具有相同的X坐标）， 称为“长对正”；
正面投影与侧面投影都表示形体的高（即具有相同的Z坐标）， 称为“高平齐”；
本节课的重点：点的投影规律、相对位置 。 本节课的难点：重影点的判定 。
若空间的点用某个大写字母表示，则其三个投影分 别用什么符号表示？
若空间的点用大写字母A、B、C、……表示，则其水平投影用 a、b、c、……表示；正面投影用 a′、b′、c′、……表示；侧面投 影用 a″、b″、c″、……表示 。
积聚性：直线、平面、柱面垂直于投影面，则其投影分别积聚为 点、直线、曲线 。
类似性：当直线、平面倾斜于投影面时，直线投影的长度缩短； 平面的投影为平面图形的类似形（投影图，与原平面图形保持定比性 不变，表现为边数相等，凸凹、曲直状态相同，平行关系不变）。
正投影法
Wang chenggang
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图2-10 根据点的两面投影求其第三面投影
Wang chenggang
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.1 点的投影
4．两点的相对位置 两点在空间具有上下、前后、左右的位置关系。
图2-11 两点的相对位置
判断方法： X坐标大的在左；Y坐标大的在前；Z坐标大的在上。
Wang chenggang
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.1 点的投影
Wang chenggang
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.1 点的投影
Wang chenggang
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.1 点的投影
【例2-2】 如图2-10所示，根据空间点A、B、C、D 的两个投影，试求其第三面投影。
2.2 三面投影体系—2.2.2 三面投影图的形成及投影规律
上节课的重点：
正投影法的投影特性； 三面投影图的投影规律（长对正、高平齐、宽相等）。
上节课的。难点：
正确判断三面投影图中的左右、上下、前后方位。
形成投影的三要素是哪三个？在正投影法中哪两个要 素合并成了一个？
形体、投射方向和投影面是投影形成的三要素。 在正投影法中，由于投射方向垂直于投影面，这两个投影形成的 要素就合并成了一个。
2.2 三面投影体系—2.2.2 三面投影图的形成及投影规律
作业
。
《机械工程图学基础教程习题集》 P7、 P8
Wang chenggang
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2.2 三面投影体系—2.2.2 三面投影图的形成及投影规律
Wang chenggang
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2.2 三面投影体系—2.2.2 三面投影图的形成及投影规律
水平投影与侧面投影都表示形体的宽（即具有相同的Y坐标）， 称为“宽相等”。
Wang chenggang
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2.2 三面投影体系—2.2.2 三面投影图的形成及投影规律
在实际的三面投影图中画不画投影轴和45°斜线？ 为什么？
不画投影轴和45°斜线。
三面投影图与三根投影轴之间的距离只是表示形体与三个投影面 之间的距离，而改变形体与三个投影面之间的距离，并不会影响三个 投影图的形状、大小及其相互之间的投影关系。
Aa =aax= a ay= az0 =zA——A点到H面的距离
Wang chenggang
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.1 点的投影
【例2-1】 根据空间点C的两个投影c′，c″，试求作 其水平投影 c。
（a）题图
（b）作图过程
图2-8 作点的投影图
Wang chenggang
正投影面（V面）、水平投影面（H面）、侧投影面（W面）。 V面保持不动，使H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ轴向右旋 转90°。
Wang chenggang
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2.2 三面投影体系—2.2.2 三面投影图的形成及投影规律
简述三面投影图的形成、名称及投影规律。
形成：将空间形体置于三面投影体系中并向三个投影面投射，就 可以得到形体的三面投影图。
作业
《机械工程图学基础教程习题集》 P9
Wang chenggang
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45°斜线是为了画Y坐标即保证“宽相等”、便于初学者作图而 设置的，待作图熟练后即可用直尺或分规直接量取。
Wang chenggang
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2.2 三面投影体系—2.2.2 三面投影图的形成及投影规律
在哪两个投影图中可以表示空间形体的“前、后” 方位？图中的哪一边表示“前”？
在水平投影图与侧面 投影图可以表示空间形体 的“前、后”方位；
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.1 点的投影
图2-11 两点的相对位置
（1）b′在a′之左（b在a之左），说明B点在A点之左。 （2）b′在a′之下（b″在a″之下），说明B点在A点之下。 （3）b″在a″之前（b在a之前），说明B点在A点之前。
Wang chenggang
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2. Байду номын сангаас的投影规律
（1）点的各投影连线分别垂直于相应的投影轴。
Z V
a′
YA
aZ
W
A
a″
X
aX
ZA
XA O
Ha
aY
（2）点的每一个 即 a′a ⊥OX，
投影到投影轴的距离， a′a″⊥OZ，
均反映空间点到相邻 投a影aY面H⊥的O距YH离，。a″aYW⊥OYW
Y
Aa″=aay= a az= ax0 =xA——A点到W面的距 离 Aa′=aax= a az= ay0 =yA——A点到V面的距离
作业
。
《机械工程图学基础教程习题集》 P7、 P8
Wang chenggang
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2.2 三面投影体系—2.2.2 三面投影图的形成及投影规律
作业
。
《机械工程图学基础教程习题集》 P7、 P8
Wang chenggang
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.1 点的投影
2.3 点、直线和平面的投影—2.3.1 点的投影
5. 重影点
当空间两点 位于某投影面的 同一条投射线上 （即某两个坐标 相同）时，这两 点在该投影面上 的投影就重合成 一点，称为对该 投影面的重影点。
Wang chenggang
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.1 点的投影
2.3 点、直线和平面的投影
2.3.1 点的投影
1. 点的三面投影
Z V
V a
a′ A
aZ
W
X
ax
a″
X
aX
Ha
O aY
a
H
Y
Wang chenggang
Z
az
a″W
YW
O
ay
ay
YH
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.1 点的投影 空间点的位置，可由直角坐标值来确定，一般采用以下的书
Wang chenggang
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.1 点的投影
作业
《机械工程图学基础教程习题集》 P9
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.1 点的投影
Wang chenggang
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.1 点的投影
左 上
z
x右
下
长对正
后
y
前左
x右
后
高 平 齐
y
前 上
z
下
宽相等
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2.2 三面投影体系—2.2.2 三面投影图的形成及投影规律
作业
《机械工程图学基础教程习题集》 P7、 P8
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.1 点的投影
3．投影面和投影轴上的点的投影
图2-9 投影面和投影轴上的点的投影
点的一个坐标为零，则点在投影面上，如图中的A点在 V 面上， B点在 H 面上。
点的两个坐标为零，则点在投影轴上，如图中的C点在OX轴上
。
Wang chenggang
（a） 之左、前、下。 （b） 之右、后、上。 （c） 之左、后、下。 （d） 之右、前、上。
（c）
对V面的重影点的哪两个坐标相同？若A、B两点的W 面投影为b″（a″），则A点在B点的哪一方？
两点位于V面的同一条投射线上，X坐标和Z坐标分别相同（xA= xB，zA= zB），只有Y坐标不同。
A点在B点的右方。
2.2 三面投影体系—2.2.2 三面投影图的形成及投影规律
什么叫分角？什么叫第一角画法？
用水平和铅垂的两投影面将空间分成 的四个区域，并按顺序编号，称为分角。
将物体置于第一分角内，即物体处于观察者与投影面之间进行投 射，然后按规定展开投影面，称为第一角投影，也称为第一角画法 （简称E法）。
简述三面投影体系中三个投影 面的名称和将其展开到一个平面上 的方法。
定比性：点分直线的比（空间两平行直线长度的比），投影后 保持不变。
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2.2 三面投影体系—2.2.2 三面投影图的形成及投影规律
简述平行投影法和正投影法的投影特性。工程图样主 要采用什么投影法？
正投影法：还有“实形性”、“积聚性”、“类似性”。
实形性：直线（平面图形）平行于投影面，其投影反映直线的 实长（反映平面图形的实形）。
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2.2 三面投影体系—2.2.2 三面投影图的形成及投影规律
简述平行投影法和正投影法的投影特性。工程图样主 要采用什么投影法？
平行投影法:“平行性”、“从属性” 、“定比性”。
平行性：空间相互平行的直线（平面），其投影（积聚性投影） 一定相互平行。
从属性：直线（平面）或曲线上点（点、线）的投影必在该 直线（平面）或曲线的投影上。
简述点的投影规律。
（1）点的各投影连线分别垂直于相应的投影轴，即 a′a⊥OX，a′a″⊥OZ，aaYH⊥OYH，a″aYW⊥OYW
（2）点的每一个投影到投影轴的距离，均反映空间点到相邻投影 面的距离。
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.1 点的投影
对于空间的A、B两点，若xA＞xB、yA＜yB、zA ＜zB， 则A点在B点
写形式：A(x、y、z)。 x、y、z 即为点到各投影面的距离。
空间的点用大写字母表示，如Α；其投影用相应的小写字母 表示，如a表示点A的水平（H）投影;a′表示点A的正面（V）投影; a″表示点A的侧面（W）投影。
图2-7 点的三面投影
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.1 点的投影
名称：形体在V面上的投影（图）称为正面（V面）投影，在H面 上的投影（图）称为水平（H面）投影，在W面上的投影（图）称为 侧面（W面）投影。
投影规律：长对正、高平齐、宽相等（简称“三等规律”）。
正面投影与水平投影都表示形体的长（即具有相同的X坐标）， 称为“长对正”；
正面投影与侧面投影都表示形体的高（即具有相同的Z坐标）， 称为“高平齐”；
本节课的重点：点的投影规律、相对位置 。 本节课的难点：重影点的判定 。
若空间的点用某个大写字母表示，则其三个投影分 别用什么符号表示？
若空间的点用大写字母A、B、C、……表示，则其水平投影用 a、b、c、……表示；正面投影用 a′、b′、c′、……表示；侧面投 影用 a″、b″、c″、……表示 。
积聚性：直线、平面、柱面垂直于投影面，则其投影分别积聚为 点、直线、曲线 。
类似性：当直线、平面倾斜于投影面时，直线投影的长度缩短； 平面的投影为平面图形的类似形（投影图，与原平面图形保持定比性 不变，表现为边数相等，凸凹、曲直状态相同，平行关系不变）。
正投影法
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图2-10 根据点的两面投影求其第三面投影
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.1 点的投影
4．两点的相对位置 两点在空间具有上下、前后、左右的位置关系。
图2-11 两点的相对位置
判断方法： X坐标大的在左；Y坐标大的在前；Z坐标大的在上。
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.1 点的投影
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.1 点的投影
【例2-2】 如图2-10所示，根据空间点A、B、C、D 的两个投影，试求其第三面投影。
2.2 三面投影体系—2.2.2 三面投影图的形成及投影规律
上节课的重点：
正投影法的投影特性； 三面投影图的投影规律（长对正、高平齐、宽相等）。
上节课的。难点：
正确判断三面投影图中的左右、上下、前后方位。
形成投影的三要素是哪三个？在正投影法中哪两个要 素合并成了一个？
形体、投射方向和投影面是投影形成的三要素。 在正投影法中，由于投射方向垂直于投影面，这两个投影形成的 要素就合并成了一个。
2.2 三面投影体系—2.2.2 三面投影图的形成及投影规律
作业
。
《机械工程图学基础教程习题集》 P7、 P8
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2.2 三面投影体系—2.2.2 三面投影图的形成及投影规律
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2.2 三面投影体系—2.2.2 三面投影图的形成及投影规律
水平投影与侧面投影都表示形体的宽（即具有相同的Y坐标）， 称为“宽相等”。
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2.2 三面投影体系—2.2.2 三面投影图的形成及投影规律
在实际的三面投影图中画不画投影轴和45°斜线？ 为什么？
不画投影轴和45°斜线。
三面投影图与三根投影轴之间的距离只是表示形体与三个投影面 之间的距离，而改变形体与三个投影面之间的距离，并不会影响三个 投影图的形状、大小及其相互之间的投影关系。
Aa =aax= a ay= az0 =zA——A点到H面的距离
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.1 点的投影
【例2-1】 根据空间点C的两个投影c′，c″，试求作 其水平投影 c。
（a）题图
（b）作图过程
图2-8 作点的投影图
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正投影面（V面）、水平投影面（H面）、侧投影面（W面）。 V面保持不动，使H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ轴向右旋 转90°。
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2.2 三面投影体系—2.2.2 三面投影图的形成及投影规律
简述三面投影图的形成、名称及投影规律。
形成：将空间形体置于三面投影体系中并向三个投影面投射，就 可以得到形体的三面投影图。
作业
《机械工程图学基础教程习题集》 P9
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45°斜线是为了画Y坐标即保证“宽相等”、便于初学者作图而 设置的，待作图熟练后即可用直尺或分规直接量取。
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2.2 三面投影体系—2.2.2 三面投影图的形成及投影规律
在哪两个投影图中可以表示空间形体的“前、后” 方位？图中的哪一边表示“前”？
在水平投影图与侧面 投影图可以表示空间形体 的“前、后”方位；
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.1 点的投影
图2-11 两点的相对位置
（1）b′在a′之左（b在a之左），说明B点在A点之左。 （2）b′在a′之下（b″在a″之下），说明B点在A点之下。 （3）b″在a″之前（b在a之前），说明B点在A点之前。
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2. Байду номын сангаас的投影规律
（1）点的各投影连线分别垂直于相应的投影轴。
Z V
a′
YA
aZ
W
A
a″
X
aX
ZA
XA O
Ha
aY
（2）点的每一个 即 a′a ⊥OX，
投影到投影轴的距离， a′a″⊥OZ，
均反映空间点到相邻 投a影aY面H⊥的O距YH离，。a″aYW⊥OYW
Y
Aa″=aay= a az= ax0 =xA——A点到W面的距 离 Aa′=aax= a az= ay0 =yA——A点到V面的距离
作业
。
《机械工程图学基础教程习题集》 P7、 P8
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2.2 三面投影体系—2.2.2 三面投影图的形成及投影规律
作业
。
《机械工程图学基础教程习题集》 P7、 P8
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.1 点的投影
2.3 点、直线和平面的投影—2.3.1 点的投影
5. 重影点
当空间两点 位于某投影面的 同一条投射线上 （即某两个坐标 相同）时，这两 点在该投影面上 的投影就重合成 一点，称为对该 投影面的重影点。
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2.3 点、直线和平面的投影
2.3.1 点的投影
1. 点的三面投影
Z V
V a
a′ A
aZ
W
X
ax
a″
X
aX
Ha
O aY
a
H
Y
Wang chenggang
Z
az
a″W
YW
O
ay
ay
YH
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.1 点的投影 空间点的位置，可由直角坐标值来确定，一般采用以下的书
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.1 点的投影
作业
《机械工程图学基础教程习题集》 P9
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2.3 点、直线和平面的投影—2.3.1 点的投影
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