考研数学二模拟试题2及答案解析
考研数学二(解答题)模拟试卷201(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷201(题后含答案及解析)题型有：1.1．求下列极限：正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续2．正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续3．设f(x)是三次多项式，且有求正确答案：因为所以f(2a)=f(4a)=0，从而可知x一2a，x一4a为f(x)的因式，又因为f(x)为三次多项式，可令f(x)=b(x一2a)(x一4a)(x—c)．于是解得所以故涉及知识点：函数、极限、连续4．计算不定积分正确答案：涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用5．求正确答案：涉及知识点：高等数学部分6．确定常数a和b的值，使f(x)=x-(a+bex2)sinx当x→0时是x的5阶无穷小量．正确答案：利用ex2=1+x2++o(x5)，sinx=x-+o(x6)，可得f(x)=x-[a+b+bx2+x4+o(x5)]+o(x6)]=(1-a-b)x+x5+o(x5)．不难看出当1-a-b=0与-b=0同时成立f(x)才能满足题设条件．由此可解得常数a=，并且得到f(x)=x5+o(x5)，f(x)是x的5阶无穷小(x→0)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用7．设g(x)=f(x)=∫0xg(t)dt．(1)证明：y=f(x)为奇函数，并求其曲线的水平渐近线，(2)求曲线y=f(x)与它所有水平渐近线及Oy轴围成图形的面积．正确答案：显然，g(0)=1，而当x≠0时由“1∞”型极限得(2)由所考虑的平面图形的对称性及分部积分法得所求的面积为涉及知识点：一元函数积分学8．设z=其中f，g均可微，求正确答案：涉及知识点：多元函数微分学9．设A-1＝，求(A*)-1．正确答案：涉及知识点：矩阵10．已知α1，α2，…，αs是互不相同的数，n维向量αi＝(1，αi，αi2，…，αin-1)T(i＝1，2，…，s)，求向量组α1，α2，…，αs的秩．正确答案：当s＞n时，α1，α2，…，αs必线性相关，但｜α1，α2，…，αn｜是范德蒙行列式，故α1，α2，…，αn线性无关．因而r(α1，α2，…，αs)＝n．当s＝n时，α1，α2，…，αn线性无关，秩r(α1，α2，…，αn)＝n．当s＜n时，记α′1(1，a1，a12，…，a1s-1)T，α′2＝(1，a2，a，22…，a2s-1)T，…，α′s＝(1，as，as2，…，ass-1)T，则α′1，α′2，…，α′s线性无关．那么α1，α2，…，αs必线性无关．故r(α1，α2，…，αs)＝s．涉及知识点：向量组的线性关系与秩11．n维列向量组α1，…，αn-1线性无关，且与非零向量β正交．证明：α1，αn-1，β线性无关．正确答案：令k0β+k1α1+…+kn-1αn-1=0，由α1，…，αn-1与非零向量β正交及(β，k0β+k1α1+…+kn-1αn-1)=0得k0(β，β)=0，因为β为非零向量，所以(β，β)=｜β｜2＞0，于是k0=0，故k1α1+…+kn-1αn-1=0，由α1，…，αn-1线性无关得k1=…kn-1=0，于是α1，…，αn-1，β线性无关．涉及知识点：向量设n阶矩阵A=(α1，α2，…，αn)的前n-1个列向量线性相关，后n-1个列向量线性无关，且α1+2α2+…+(n-1)αn-1=0，b=α1+α2，…+αn．12．证明方程组AX=b有无穷多个解；正确答案：因为r(A)=n-1，又b=α1+α2+…+αn，所以r()=n-1，即r(A)=r()=n-1 (1)求方程组AX＝0的一个基础解系．(2)a，b，c为什么数时AX＝B有解?(3)此时求满足AX＝B的通解．正确答案：对AX＝B的增广矩阵(A｜B)作初等行变换化阶梯形矩阵：得到AX＝0的同解方程组：求得基础解系：(－2，1，1，0)T，(1，0，0，1)T．(2)AX＝B有解r(A｜B)＝r(A)＝2，得a＝6，b＝－3，c＝3．(3)用矩阵消元法求它们的特解：于是(3／2，3／2，0，0)T，(－3／2，3／2，0，0)T，(0，1，0，0)T依次是这3个方程组的特解．AX＝B的通解为：其中c1，c2，c3，c4，c5，c6任意．或者表示为：其中H为任意2×3矩阵．涉及知识点：线性方程组15．设矩阵A的伴随矩阵且ABA-1=BA-1+3E，求B．正确答案：由题设知(A—E)BA-1=3E，两端右边乘A，得(A—E)B=3A，两端左边乘A-1，得A-1(A-E)B=3E，即(E一A-1)B=3E，则其中|A*|=8=|A|3，|A|=2，从而得(2E一A*)B=6E，B=6(2E一A*)-1，故涉及知识点：线性代数16．下列矩阵是否相似于对角矩阵？为什么？正确答案：(1)是，因该方阵的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3互不相同；(2)因A的特征值为λ1一λ2=λ3=λ4=1，但r(E一A)=2，A的线性无关特征向量只有2个(或用反证法)．涉及知识点：线性代数17．证明：，其中a＞0为常数．正确答案：因为涉及知识点：一元函数积分学18．设A，B分别为m×n及n×s阶矩阵，且AB=O．证明：r(A)+r(B)≤n．正确答案：令B=(β1，β2，…，βs)，因为AB=O，所以B的列向量组β1，β2，…，βs为方程组AX=0的一组解，而方程组AX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为n-r(A)，所以向量组β1，β2，…，βs的秩不超过n-r(A)，又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等，因此r(B)≤n-r(A)，即r(A)+r(B)≤n．涉及知识点：线性代数部分19．设f(x)连续可导，f(0)=0，f’(0)≠0，F(x)=(x2-t2)f(t)dt，且当x→0时，F’(x)与xk为同阶无穷小，求k．正确答案：因为F’(x)与x4为同阶无穷小且f(0)=0，f’(0)≠0，所以k-2=1，即k=3．涉及知识点：函数、极限、连续20．设实方阵A=(aij)4×4满足：(1)aij=Aij(i，j=1，2，3，4，其中Aij为aij的代数余子式)；(2)a11≠0，求｜A｜．正确答案：aij=Aij(i，j=1，2，3，4)AT=A*｜AT｜=｜A*｜，即｜A｜=｜A｜3，｜A｜(1-｜A｜T)=0，｜A｜取值范围为0，1，-1，又｜A｜=a1jA1j=a1j2＞0．｜A｜=1．涉及知识点：矩阵。
考研数学(数学二)模拟试卷283(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷283(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．已知f(x)在x=0某邻域内连续，且f(0)=0，，则在点x=0处f(x)( )．A．不可导B．可导但f’(x)≠0C．取得极大值D．取得极小值正确答案：D解析：利用等价无穷小的代换求得f(x)．由于x→0时，1-cos～1/2x2，所以令f(x)=x2，则f(x)符合原题设条件，而f(x)在x=0处可导f’(0)=0，取极小值．则(A)、(B)、(C)均不正确，选(D)．2．曲线y=e1/x2arctan的渐近线有( )．A．1条B．2条C．3条D．4条正确答案：B解析：因故y=π/4是曲线的水平渐近线，又故x=0是曲线的垂直渐近线．故应选(B)．3．设函数f(x)在[a，b]上有定义，在开区间(a，b)内可导，则( )．A．当f(a).f(b)＜0时，存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0B．对任何ξ∈(a，b)，有C．当f(a)=f(b)时，存在ξ∈(a，b)，使f’(ξ)=0D．存在ξ∈(a，b)，使f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)正确答案：B解析：由于f(x)在(a，b)内可导，ξ∈(a，b)则f(x)在ξ点可导，因而在ξ点连续，故所以应选(B)．4．设f(x)=，则f(x)在点x=1处的( )．A．左、右导数都存在B．左导数存在，但右导数不存在C．左导数不存在，但右导数存在D．左、右导数都不存在正确答案：B解析：由左、右导数的定义知所以f_’(1)=2，但f+’(1)不存在．故应选(B)．5．设函数f(x)在(-∞，+∞)上连续，则d∫f(x)dx等于( )．A．f(x)B．f(x)dxC．f(x)+CD．f’(x)dx正确答案：B解析：因，故应选(B)．6．设函数，其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：由题设可得7．设n阶方程A=(a1，a2，…，an)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，γn)，记向量组(Ⅰ)：a1，a2，…，an(Ⅱ)：β1，β2，…，βn，(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γn，如果向量组(Ⅲ)线性相关，则( )．A．向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)都线性相关B．向量组(Ⅰ)线性相关C．向量组(Ⅱ)线性相关D．向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)中至少有一个线性相关正确答案：D解析：因为向量组(Ⅲ)线性相关，所以矩阵AB不可逆，即｜AB｜=｜A｜｜B｜=0．因此｜A｜、B｜中至少有一个为0，即A与B中至少有一个不可逆，亦即向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)中至少有一个线性相关，所以选(D)．8．设A是n阶矩阵，且A的行列式｜A｜=0，则A( )．A．必有一列元素全为0B．必有两列元素对应成比例C．必有一列向量是其余列向量的线性组合D．任一列向量是其余列向量的线性组合正确答案：C解析：本题考查｜A｜=0的充分必要条件，而选项(A)、(B)、(D)都是充分不必要条件．以3阶矩阵为例，若A=，条件(A)、(B)均不成立，但｜A｜=0．若A=，则｜A｜=0，但第3列并不是其余两列的线性组合，可见(D)不正确．这样，用排除法可知应选(C)．填空题9．设，其中f可导，且f’(0)≠0，则dy/dx｜t=0=__________．正确答案：3解析：10．函数y=x+2cosx在上的最大值为__________．正确答案：解析：先求出[0，π/2]内的驻点，再将驻点的函数值与端点的函数值比较即可得最值．因为y’=1-2sinx，令y’=0，得[0，π/2]内的驻点x=π/6．又y(0)=2，11．设函数z=z(x，y)由方程F(x-az，y-bz)=0所给出，其中F(u，v)任意可微，则=_________．正确答案：1解析：因故12．=_________．正确答案：π/12解析：13．y=2x的麦克劳林公式中xn项的系数是_________．正确答案：解析：由题设，根据麦克劳林公式，xn的系数为14．设，已知Aa与a线性相关，则a=_________．正确答案：-1解析：，由于Aa与a线性相关，则存在数k≠0 使Aa=ka，即a=ka，2a+3=k，3a+4=k三式同时成立．解此关于a，k的方程组可得a=-1，k=1．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学(数学二)模拟试卷280(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷280(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)为R上不恒等于零的奇函数，且f’(0)存在，则函数g(x)=f(x)/x( )．A．在x=0处左极限不存在B．有跳跃间断点x=0C．在x=0处右极限不存在D．有可去间断点x=0正确答案：D解析：由题设，f(-x)=-f(x)，则有f(0)=0，从而即g(x)在x=0处极限存在，但x=0时g(x)无定义，因此可补充定义g(0)=f’(0)，则g(x)在x=0处连续．综上，g(x)有可去间断点x=0，所以选(D)．2．设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=OB．若fx’(x0，y0)=0，则fx’(x0，y0)≠0C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0D．若fx’(x0，y0)≠0，则fx’(x0，y0)≠0正确答案：D解析：依题意知(x0，y0)是拉格朗日函数，F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)的驻点，即(x0，y0)使得因为φy’(x0，y0)≠0，所以从(2)式可得代入(1)式得即fx’(x0，y0)φy’(x0，y0)=φx’(x0，y0)．当fx’(x0，y0)≠0且φy’(x0，y0)≠0时，fx’(x0，y0)φy’(x0，y0)≠0，从而fy’(x0，y0)≠0，故选(D)．3．设非齐次线性微分方程y’+p(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C 为任意常数，则该方程的通解是( )．A．C[y1(x)-y2(x)]B．y1(x)+C[y1(x)-y2(x)]C．C[y1(x)+y2(x)]D．y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]正确答案：B解析：根据已知条件及线性微分方程解的叠加原理，y1(x)-y2(x)是齐次线性微分方程y’+P(x)y=0的一个非零解，又y1(x)是原非齐次线性微分方程的一个特解，进而由线性方程通解的结构可知y1(x)+C[y1(x)-y2(x)]是原非齐次线性微分方程的通解，其中C为任意常数．故选(B)．4．设∫f(x)dx=x2+C，则∫xf(1-x2)dx等于( )．A．1/2(1-x2)2+CB．- 1/2(1-x2)2+CC．2(1-x2)2+CD．-2(1-x2)2+C正确答案：B解析：5．当x→0时，f(x)=x-sinax与g(x)=x2ln(1-bx)等价无穷小，则( )．A．a=1，b=-(1/6)B．a=1，b=1/6C．a=-1，b=-(1/6)D．a=-1，b=1/6正确答案：A解析：故a=1，(D)错误，所以选(A)．6．设函数g(x)可微，h(x)=lng(x)，h’(1)=1，g’(1)=2，则g(1)等于( )．A．eB．1C．2D．3正确答案：C解析：由已知条件有h’(x)=g’(x)/g(x)．令x=1，得h’(1)=g’(1)/g(1)，即1=2/g(1)，所以g(1)=2．故选(C)．7．设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得C，记P=，则( )．A．C=P-1APB．C=PAP-1C．C=PTAPD．C=PAPT正确答案：B解析：根据已知条件，用初等矩阵描述有故选(B)．8．设向量组a1，a2，a3线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )．A．a1+a2，a2+a3，a3-a1B．a1+a2，a2+a3，a1+2a2+a3C．a1+2a2，2a2+3a3，3a3+a1D．a1+a2+a3，2a1-3a2+2a3，3a1+5a2+3a3正确答案：C解析：由题设，观察四个选项：关于(A)，由于(a1+a2)-(a2+a3)+(a3-a1)=0，则a1+a2，a2+a3，a3-a1线性相关．关于(B)，由于(a1+a2)+(a2+a3)-(a1+2a2+a3)=0，则a1+a2，a2+a3，a1+2a2+a3也线性相关．关于(C)，由定义，设有一组数k1，k2，3，使得k1(a1+2a2)+k2(2a2+3a3)+k3(3a3+a1)=0 即(k1+k3)a1+(2k1+2k2)a2+(3k2+3k3)a3=0，由已知a1，a2，a3线性无关，则该方程组的系数矩阵的行列式为从而k1=k2=k3=0，由此知(C)中向量组线性无关．而由同样的方法，建立关于(D)中向量组相应的方程组，可计算出系数矩阵的行列式为0，则(D)中向量组线性相关．综上选(C)．填空题9．设函数f(x)=在(-∞，+∞)内连续，则c=_________．正确答案：1解析：函数f(x)连续，则需满足，即c2+1=2/c，解得c=1．10．_________．正确答案：-(1/4)解析：原式=11．曲线，在点(0，1)处的法线方程为_________．正确答案：0解析：由题设，先求曲线在点(0，1)处的切线的斜率，由已知x=0，y=1时，t=0，因此，此即该点的切线斜率，因而该点法线斜率为-2，从而法线方程为y-1=-2x，即2x+y-1=0．12．=_________．正确答案：-cotx*lncosx-x+C解析：原式=-∫lncosxdcotx=-cotx*lncosx-∫dx=-cotx*lncosx-x+C13．曲线的渐近线方程为_________．正确答案：y=x+ 1/e解析：通常渐近线有水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线．由题设，，因此无水平渐近线．又由因此也无铅直渐近线．关于斜渐近线，设因此有斜渐近线为y=x+ 1/e．14．设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为_________．正确答案：0解析：由题设，4阶方阵A的秩为2，因此A的所有3阶子式均为0，从而所有元素的代数余子式均为0，即A*=0，故r(A*)=0．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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则下列关于 I1, I2 , I3 大小关系正确的是（ ）． A． I1 I2 I3 B． I2 I3 I1 C． I1 I3 I2 D． I3 I2 I1
【答案】C
【解析】D1, D2 均是以原点为圆心，半径分别为 R, 2R 的圆，D3 是正方形，边长 2R ，
可知 C 项是 3 阶的，D 项，根据
可知，D 项是 4 阶的．
2．设 1）成立，则（ ）．
其中函数
可导，且
在区间（—1，
【答案】C 【解析】由
对 F(x)求导得，
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可 知 ， 曲 线 F(x) 在 区 间 (-1,0) 上 是 凸 的 ， 在 区 间 [0,1) 上 是 凹 的 ， 拐 点 是 (0,F(0))． F (0)是F (x) 的最小值， F (0) 0 ，可知 F (x) 0 (x≠0)，则 F(x)在 x=0 处不取极 值．
如图所示：
因为 D1 D3 D2 ，又因为被积函数 f (x, y) e(x2 y2 ) 连续，且恒正，则 I1 I3 I2 ．
评注：若被积函数连续，且正负相同，但积分区域不同，可通过比较积分区域的大小来 判断积分值的大小．
6．下列二元函数在点 (0, 0) 处可微的是（ ）．
A．
f
(x,
故 f(0) f(0) ，即 f(x)在 (, ) 内可导．
5．设 Ii e(x2 y2 )d ,i 1, 2,3，其中 D1 {(x, y) | x2 y2 R2}， Di
D2 {(x, y) | x2 y2 2R2} ， D3 {(x, y) | x R, y R}，
考研数学二(解答题)模拟试卷120(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷120(题后含答案及解析)题型有：1.1．设连续型随机变量X的概率密度为f(x)=，求(1)k的值；(2)X的分布函数F(x)．正确答案：(1)由∫01xdx+∫12k(2一x)dx==1，得k=1．(2)因为F(x)=∫-∞xf(t)dt，所以当x＜0时，F(x)=0；当0≤x＜1时F(x)=∫0xf(t)dt=x2；当1≤x＜2时F(x)=∫0xf(t)dt=∫01tdt+∫1x(2-t)dt=2x一x2-1；当x≥2时，F(X)=1．期F(x)=解析：考查利用概率密度计算分布函数的方法，是基本问题．注意到f(x)是分段函数，可根据x的不同取值范围直接利用公式F(x)=∫-∞xf(t)dt计算．知识模块：概率论与数理统计2．已知齐次线性方程组同解，求a，b，c的值．正确答案：方程组(Ⅱ)的未知量个数大于方程的个数，故方程组(Ⅱ)有无穷多个解．因为方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解，所以方程组(Ⅰ)的系数矩阵的秩小于3．由此得a=2．此时，方程组(Ⅰ)的系数矩阵可通过初等行变换化为由此得(-1，-1，1)T是方程组(Ⅰ)的一个基础解系．将x1=-1，x2=-1，x3=1代入方程组(Ⅱ)可得b=1，c=2或b=0，c=1．当b=1，x=2时，对方程组(Ⅱ)的系数矩阵施以初等行变换，有比较(1)式与(2)式右边的矩阵可知，此时方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解．当b=0，c=1时，方程组(Ⅱ)的系数矩阵可通过初等行变换化为比较(1)与(3)右边的矩阵可知，此时方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的解不相同．综上所述，当a=2，b=1，c=2时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解．涉及知识点：线性方程组3．设(Ⅰ)求f’(x)；(Ⅱ)f’(x)在点x=0处是否可导?正确答案：(Ⅰ)这是分段函数，分界点x=0，其中左边一段的表达式包括分界点，即x≤0，于是可得当x≤0时，f’(x)=+2cos2x，x=0处是左导数：f’-(0)=2；当x＞0时，又=f(0)，即f(x)在x=0右连续f’+(0)=2．于是f’(0)=2．因此(Ⅱ)f’(x)也是分段函数，x=0是分界点．为讨论f’(x)在x=0处的可导性，要分别求f’+(0)与f’-(0)．同前可得按定义求f’’+(0)，则有因f’’+(0)≠f’’(0)，所以f’’(0)不存在，即f’(x)在点x=0处不可导．涉及知识点：一元函数的导数与微分概念及其计算4．设向量组的秩为2，求a，b．正确答案：记A=(a3，a4，a1，a2)，并对矩阵A作初等行变换当且仅当a 一2=0且b一5=0时，向量组(a3，a4，a1，a2)的秩为2，即a=2，b=5．涉及知识点：矩阵5．设线性方程组(1)证明：若a1,a2,a3,a4两两不相等，则此线性方程组无解；(2)设a1=a3=k，a2=a4=一k(k≠0)，且β1=(一1，1，1)T，β2=(1，1，一1)T 是该方程组的两个解，写出此方程组的通解．正确答案：(1)方程组的增广矩阵的行列式为=(a4一a3)(a4—a2)(a4—a1)(a3一a2)(a3一a1)(a2—a1)．由a1，a2，a3，a4两两不相等，故｜B｜≠0，即r(B)=4，而系数矩阵A的秩r(A)≤3，故r(A)≠r(B)．即方程组无解．(2)当a1=a3=k，a2=a4=一k(k≠0)时方程组为解析：本题考查线性方程组的解的存在性的判定，解的结构及解的求法．知识模块：线性方程组6．设A=E+ααT，其中α=(α1,α2,α3)T，且αTα=2，求A的特征值和特征向量．正确答案：由Aα=(E+ααT)α=α+ααTα=3α，于是得A的特征值λ3=3，其对应的特征向量为k1α，k1≠0为常数．又由A=E+ααT，得A—E=ααT，两边取行列式｜A一E｜=｜ααT｜=0，由此知λ2=1是A的另一个特征值．再由矩阵A的特征值的性质，trA=λ1+λ2+λ3=4+λ3，从而λ3=trA一4=3+αTα-4=1．由于λ2=λ3=1，对应的特征矩阵为A-E，由题设条件α=(a1，a2，a3)T≠0，不妨设a1≠0，则由此得方程组(A—E)x=0的同解方程组为a1x1=一a2x2一a3x3，解得λ2=λ3=1对应的特征向量为x=k2(一a2，a1，0)T+k3(一a3，0，a1)T，其中k2，k3，是不同时为零的任意常数．解析：本题考查抽象矩阵求特征值与特征向量的方法．可用定义Ax=λx，特征方程｜λE－A｜=0，trA=λ1+λ2+λ3．求A的特征值与特征向量．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化7．设函数求f(x)的最小值．正确答案：由题意令f’(x)=0，得唯一驻点x=1．当x∈(0，1)时f’(x)＜0，函数单调递减；当x∈(1，∞)时f’(x)＞0，函数单调递增．所以函数在x=1处取得最小值f(1)=1．涉及知识点：一元函数微分学8．已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1，α2，α3是相应的特征向量且线性无关，如α1+α2+α3仍是A的特征向量，则λ1=λ2=λ3．正确答案：若α1+α2+α3是矩阵A属于特征值λ的特征向量，即A(α1+α2+α3)=λ(α1+α2+α3)．又A(α1+α2+α3)=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3，于是(λ－λ1)α1+(λ－λ2)α2+(λ－λ3)α3=0．因为α1，α2，α3线性无关，故λ－λ1=0，λ－λ2=0，λ－λ3=0．即λ1=λ2=λ3．涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化9．设f(x)在x=0处n(n≥2)阶可导且=e4，求f(0)，f’(0)，…，f(n)(0)．正确答案：1)先转化已知条件．由=e4知从而再用当x→0时的等价无穷小因子替换ln[1+f(x)]～f(x)，可得2)用a(1)表示当x→0时的无穷小量，由当x→0时的极限与无穷小的关系=4+o(1)，并利用xno(1)=o(xn)可得f(x)=4xn+o(xn)．从而由泰勒公式的唯一性即知f(0)=0，f’(0)=0，…，f(n-1)(0)=0，=4，故f(n)(0)=4n!．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用10．设D是由曲线y=sin x+1与三条直线x=0，x=π，y=0所围成的曲边梯形，求D绕x轴旋转一周所围成的旋转体的体积．正确答案：y=π∫0π(sin x+1)2dx=。
考研数学二(解答题)模拟试卷280(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷280(题后含答案及解析)题型有：1.1．计算行列式正确答案：先把2至5列都加到第1列上，再自下而上2至4行各减去上行：涉及知识点：行列式2．正确答案：因为当x→0时，涉及知识点：函数、极限、连续3．求ω＝正确答案：属型．先作恒等变形然后用等价无穷小因子替换：χ→0时最后用洛必达法则得涉及知识点：极限、连续与求极限的方法4．设函数f(x)=(x＞0)，证明：存在常数A，B，使得当x→0+时，恒有f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求常数A，B．正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续5．设f(x)=为了使f(x)对一切x都连续，求常数a的最小正值．正确答案：又f(1)=1，f(一1)=一1，所以由此可见，f(x)在(一∞，一1]，(一1，1)，[1，+∞)内连续，故只需f(x)在x=一1，x=1两点连续即可．因为涉及知识点：函数、极限、连续6．设y=y(x)是由sin xy=ln+1确定的隐函数，求y’(0)和y”(0)的值．正确答案：故y”(0)=e3(3e3一4)．涉及知识点：一元函数微分学7．一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆。
现将贮油罐平放，当油罐中油面高度b时(如图1—3—4)，计算油的质量。
(长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数ρkg／m3)正确答案：如图1—3—11，建立直角坐标系，则油罐底面椭圆方程为=1。
图中阴影部分为油面与椭圆所围成的图形。
记S1为下半椭圆面积，则S1=πab，记S2是位于x轴上方阴影部分的面积，则S2=，记y=bsint，则dy=bcostdt，则因此可知油的质量为涉及知识点：一元函数积分学8．a，b取何值时，方程组有解?正确答案：(1)a≠1时，r(A)==4，唯一解为x1=，x2=，x3=x4=0；(2)a=1，b ≠=1时，r(A)≠r(A)，因此方程组无解；(3)a=1，b==1时，通解为X=k1(1，-2，1，0)T+k22(1，-2，0，1)T+(-1，1，0，0)T(k1，k2为任意常数)．涉及知识点：线性代数设向量α1,α2，…，αn-1是n—1个线性无关的n维列向量，ξ1，ξ2是与α1,α2，…，αn-1均正交的n维非零列向量。
考研数学(数学二)模拟试卷288(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷288(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．已知函数f(x)在区间(1-δ，1+δ)内具有二阶导数，f’’(x)≤0，且(1)=f’(1)=1，则( )．A．在(1-δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)＜xB．在(1-δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)＞xC．在(1-δ，1)内f(x)＜x，在(1，1+6)内f(x)＞xD．在(1-δ，1)内f(x)＞x，在(1，1+δ)内f(x)＜x正确答案：A解析：设φ(x)=f(x)-x，则φ’(x)=f’(x)-1，φ’’(x)=f’’(x)，由f’’(x)＜0得φ’’(x)＜0，故φ’(x)单调减少，则当x＜1时，φ’(x)＞φ’(1)=f’(1)-1=0，当x＞1时，φ’(x)＜φ’(1)=0，则φ(x)在x=1处取得极大值，当x∈(1-δ，1)∪(1，1+δ)时φ(x)＜φ(1)=f(1)-1=0，即f(x)＜x．选(A)．2．设f(x)=ex+sinx-1，则当x→0时( )．A．f(x)是x等价无穷小B．f(x)与x是同阶但非等价无穷小C．f(x)比x更高阶的无穷小D．f(x)是比x较低阶的无穷小正确答案：B解析：因为，所以应选(B)．3．设f(x)在x=0的邻域内有定义，f(0)=1，且，则f(x)在x=0处( )．A．可导，且f’(0)=0B．可导，且f’(0)=-1C．可导，且f’(0)=2D．不可导正确答案：B解析：4．已知函数△y=y(x)在任意点x处的增量，其中a是比△x(△x→0)高阶的无穷小，且y(0)=π，则y(1)=( )．A．πeπ/2B．2πC．πD．eπ/2正确答案：A解析：由题设，，且a是比△x(△x→0)高阶的无穷小．从而此为可分离变量的微分方程，则，两边积分得ln｜y｜=arcsinx+C．由已知y(0)=π，代入上式解得C=lnπ，于是y=πearcsinx，因此y(1)=πeπ/2，选(A)．5．设函数f(x)在x=a的某个邻域内连续，且f(a)为其极大值，则存在δ＞0，当x∈(a-δ，a+δ)时，必有( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：由题没连续性及f(a)为极大值知(x-a)[f(x)-f(a)]在x=a左右两侧变号，从而(A)、(B)都可排除，当x≠a时，由于f(a)在x=a点为极大值，且f(x)在x=a 的小邻域内连续，则存在φ＞0，当x∈(a-δ，a+δ)时，因此，选(C)，而排除(D)．6．曲线y=(1/x)+ln(1+ex)，渐近线的条数为( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：D解析：7．如果向量β可以由向量组a1，a2，…，as线性表示，则( )．A．存在一组不全为零的数k1，k2，…，ks使β=k1a1+k2a2+…+ksas成立B．存在一组全为零的数k1，k2，…，ks使β=k1a1+k2a2+…+ksas成立C．存在一组数k1，k2，…，ks使β=k1a1+k2a2+…+ksas成立D．对β的线性表达式唯一正确答案：A解析：由向量线性表示的定义知选(A)．8．设λ1，λ2是n阶矩阵A的特征值，a1，a2分别是A的属于λ1，λ2的特征向量，则( )．A．λ1=λ2时，a1与a2必成比例B．A。
2022考研数学二模拟试卷二答案解析
4
解 由题意知 r( A) 1，A 对称, 从而 A* 也对称.又因为 A (1,1,,1)T 3(1,1,,1)T ，所以 A*
的特征值为 3, 0, 0,, 0 , 对称阵不同的特征值对应的特征向量正交， Ax 0 的解与特征值 3 对应
的特征向量 (1,1, ,1)T 正交， Ax 0 与 x1 x2 x3 xn 0 同解. Ax 0 的通解为 x k1(1,1, 0,, 0)T k2 (1, 0,1,, 0)T kn1(-1,0,0,,1)T，ki 为任意实数．
(9) 答案：选（A）.
解 记 A (1,2,3,4 ) ，由已知的向量表示可知
0 1 2 1
(1,2 ,3,4 )
(1,2 ,3,4 )
1 2
0 2
1 0
4 1
，
1
5
4
0
记作 A AB ，从而 A(B E) O ，故 r(A) r(B E) 4 ，又 r(B E) 3 ，故 r(A) 1.再因为
解
z x
f1
f2
，
z y
cf1
cf
2
；
2z x2
f11 2 f12
f
22
，
2z y 2
c2
f11
c2
f12
c2
f
21
c2
f
22
c2 f11
2c2
f12
c2
f
22
，
2z x2
1 c2
2z y 2
4
f12.
（14）答案：填 .
解 F(t)
f (x 2 y 2)dxdy 2 d t f (r 2)rdr 2 t f (r 2)rdr ，所以
考研数学(数学二)模拟试卷521(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷521(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A是m×n矩阵，且方程组Ax=b有解，则A．当Ax=b有唯一解时，必有m=n．B．当Ax=b有唯一解时，必有r(A)=n．C．当Ax=b有无穷多解时，必有m＜n．D．当Ax=b有无穷多解时，必有r(A)＜m．正确答案：B解析：方程组Ax=b有唯一解的列数，所以(B)正确．注意方程组有方程组Ax=b有无穷多解的列数．当方程组有无穷多解时，不要求方程的个数必须少于未知数的个数，也不要求秩r(A)必小于方程的个数，例如2．若f(χ)∈C[1，＋∞)，在[1，＋∞)内可导，f(1)＜0，f′(χ)≥k＞0，则在(1，＋∞)内f(χ)＝0( )．A．至少有一个根B．只有一根C．没有根D．有无根无法确定正确答案：B解析：当χ＞1时，由f(χ)－f(1)＝f′(ξ)(χ－1)≥k(χ－1)得f(χ)≥f(1)＋k(χ－)，于是．因为f(χ)在[1，＋∞)上连续且f(1)＜0，所以f(χ)＝0在(1，＋∞)内至少有一个根．又因为f′(χ)≥k＞0，所以f(χ)单调增加，于是f(χ)＝0在(1，＋∞)内有且仅有一个根，选B．3．设f(x)，g(x)均有二阶连续导数且满足f(0)＞0，f′(0)=0，g(0)=0，则函数u(x，y)=f(x)∫1yg(t)dt在点(0，0)处取极小值的一个充分条件是A．f″(0)＞0，g′(x)＜0(0≤x≤1)B．f″(0)＜0，g′(x)＞0(0≤x≤1)C．f″(0)＞0，g′(x)＞0(0≤x≤1)D．f″(0)＜0，g′(x)＜0(0≤x≤1)正确答案：B解析：利用极值点的充分判别法．由u=f(x)∫1yg(t)dt得若g′(x)＞0(0≤x ≤1)g(x)在[0，1]上g(x)＞g(0)=0(0＜x≤1)∫10g(t)dt＜0，又当f″(0)＜0时AC—B2＞0．因此(0，0)是U(x，y)的极小值点．故选B．4．设f(x，y)为区域D内的函数，则下列命题中不正确的是( )．A．若在D内，有，则f(x，y)≡常数B．若在D内的任何一点处沿两个不共线方向的方向导数都为0，则f(x，y)≡常数C．若在D内有df(x，y)≡0，则f(x，y)≡常数D．若在D内有，则f(x，y)≡常数正确答案：D解析：大家知道，在区域D内在D内任何一点处沿两个不共线方向的方向导数都为0f(x，y)为常数，因此(A)、(B)、(C)正确，仅需考察(D)．解在极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ下，有这仅能表示f(x，y)与r无关，不能说明f(x，y)为常数．如则但f(x，y)在D上不恒为常数．5．设f(x)=∫0xarctan(t一x)2dt，g(x)=∫0sinx(3t2+t3cost)dt，当x→0时，f(x)是g(x)的( )A．高阶无穷小。
考研数学(数学二)模拟试卷284(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷284(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设则( )．A．a=-(5/2)B．a=5/2C．a=-2D．a=2正确答案：A解析：从而得a=-(5/2)．故应选(A)．2．设函数f(u)可导，y=f(sinx)当自变量x在x=π/6处取得增量△x=，相应的函数增量△y，的线性主部为1，则f’(1/2)=( )．A．-1B．-2C．1D．2正确答案：D解析：函数微分的函数增量的线性主部，所以本题就是已知微、自变量x 的增量，反过来求函数的导数值f’(1/2)，因为dy=cosxf’(sinx)dx，所以得，(D)是正确的．3．可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极大值，下列结论正确的是( )．A．f(x0，y0)在)在y=y0处的导数等于零B．f(x0，y)在y=0处的导数大于零C．f(x0，y)在y=y0处的导数小于零D．f(x0，y)在y=y0处的导数不存在正确答案：A解析：由题设知f(x，y)可微且f(x，y)在(x0，y0)处取得极大值，所以fx’(x0，y0)=fu’(x0，y0)=0．对该二元可微函数固定x=x0，则f(x0，y)是一元可导函数且它在y=y0处取得极大值，故f(x0，y0)在y=y0处的导数等于零，因此选(A)．4．微分方程2yy’’=(y’)2的通解为( )．A．y=(x-c)2B．y=c1(x-1)2C．y=c1+(x-c)2D．y=c1(戈一c2)2正确答案：C解析：因为此方程为二阶微分方程，故其通解中应含有2个自由常数，故可排除(A)、(B)．又y=c1+(x-c)0不是方程的解，故排除(C)．5．若曲线y=x2+ax+b和2y=-1+xy3在点(1，-1)处相切，其中a，b是常数，则( )．A．a=0，b=-2B．a=1，b=-3C．a=-3，b=1D．a=-1，b=-1正确答案：D解析：两曲线在一点相切，说明在此点两函数的导数相等，且两函数均经过此点。
考研数学(数学二)模拟试卷392(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷392(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)=则f(x)在x=0处( )A．连续，但f′(0)不存在．B．f′(0)存在，但f′(z)在x=0处不连续．C．f′(x)在x=0处连续，但f″(0)不存在．D．f″(0)存在．正确答案：D解析：故(A)不正确．当x≠0时，f′(x)=[exln(1+x)－1]′=exln(1+x)[ln(1+x)+]，f′(x)=0=f′(0)，故(B)不正确．故应选(D)．2．设f(x)在[a，b]上存在二阶导数，f(a)=f(b)=0，并满足f″(x)+[f′(x)]2－4f(x)=0．则在区间(a，b)内f(x) ( )A．存在正的极大值，不存在负的极小值．B．存在负的极小值，不存在正的极大值．C．既有正的极大值，又有负的极小值．D．恒等于零．正确答案：D解析：设存在x0∈(a，b)，f(x0)＞0且为f(x)的极大值，于是f′(x0)=0．代入所给方程得f″(x0)=4f(x0)＞0，则f(x0)为极小值，矛盾．进一步可知不存在c ∈(a，b)，使f(c)＞0．因若不然，由于f(a)=f(b)=0，推知在(a，b)内f(x)存在正的最大值，同时也是极大值．与已证矛盾．类似地可证f(x)在(a，b)内取不到负值．于是只能选(D)．当然，f(x)≡0是满足所给方程的．3．设f(x)在x=a处可导，则｜f(x)｜在x=a处不可导的充分必要条件是( )A．f(a)=0，f′(a)=0．B．f(a)=0，f′(a)≠0．C．f(a)≠0，f′(a)=0．D．f(a)≠0，f′(a)≠0．正确答案：B解析：若f(a)≠0，则存在x=a的某邻域U(a)，在该邻域内f(x)与f(a)同号．于是推知，若f(a)＞0，则｜f(x)｜=f(x)(当x∈U(a))；若f(a)＜0，则｜f(x)｜=－f(x)．总之，若f(a)≠0，｜f(x)｜在x=a处总可导．若f(a)=0，则从而知其中x→a+时取“+”，x→a－时取“－”，所以f(a)=0时，｜f(x)｜在x=a处可导的充要条件为｜f′(a)｜=0，即f′(a)=0．所以当且仅当f(a)=0，f′(a)≠0时，｜f(x)｜在x=a处不可导，选(B)．4．f(x)=dt在区间(－∞，+∞)内零点的个数为( )A．0B．1C．2D．无穷多．正确答案：C解析：f(x)为偶函数，f(0)＜0，f＞0，所以在区间(0，)内f(x)至少有1个零点，当x＞0时，f′(x)=2x+e－cos2xsinx =2x－2xe－cos2x+2xe－cos2x+e－cos2xsinx =2x(－e－cos2x)+e－cos2x(2x+sinx)＞0，所以在区间(0，+∞)内f(x)至多有1个零点，故在区间(0，+∞)内f(x)有且仅有1个零点，所以在区间(－∞，+∞)内f(x)有且仅有2个零点．5．考虑一元函数f(x)的下列4条性质：①f(x)在[a，b]上连续；②f(x)在[a，b]上可积；③f(x)在[a，b]上可导；④f(x)在[a，b]上存在原函数．以PQ表示由性质P可推出性质Q，则有( )A．①③．B．③④．C．①④．D．④①．正确答案：B解析：因可导必连续，连续函数必存在原函数，故(B)正确．(A)是不正确的．虽然由①(连续)可推出②(可积)，但由②(可积)推不出③(可导)．例如f(x)=｜x｜在[－1，1]上可积，且xdx=1，但｜x｜在x=0处不可导? (C)是不正确的．由②(可积)推不出④(存在原函数)，例如f(x)=在[－1，1]上可积，且=－1+1=0，但f(x)在[－1，1]上不存在原函数．因为如果存在原函数F(x)，那么只能是F(x)=｜x｜+C的形式，而此函数在x=0处不可导，在区间[－1，1]上它没有做原函数的“资格”．(D)是不正确的．因为由④(存在原函数)推不出①(函数连续)．反例如下：它存在原函数可以验证F′(x)=f(x)，但f(x)在x=0处并不连续，即存在原函数可以不连续．6．设当x＞0时，f(x)连续且严格单调递增，F(x)=(2t－x)f(t)dt，则F(x)在x ＞0时( )A．没有驻点．B．有唯一驻点且为极大值点．C．有唯一驻点且为极小值点．D．有唯一驻点但不是极值点．正确答案：A解析：F(x)=(2t－x)f(t)dt=2tf(t)dt－xf(t)dt，F′(x)=2xf(x)－xf(x)－f(t)dt=xf(x)－f(t)dt =[f(x)－f(t)]dt．由于f(x)严格单调增加，可知当t∈(0，x)时，f(x)＞f(t)，故当x＞0时，F′(x)=[f(x)－f(t)]dt＞0，也即F(x)在x＞0时没有驻点．故应选(A)．7．设A=(α1，α2，…，αn)经过若干次初等行变换得B=(β1，β2，…，βn)，b=(b1，b2，…，bn)T≠0则①Ax=0和Bx=0同解；②Ax=b和Bx=b同解；③A，B中对应的任何部分行向量组有相同的线性相关性；④A，B中对应的任何部分列向量组有相同的线性相关性．其中正确的是( )A．①，③．B．②，④．C．①，④．D．②，③．正确答案：C解析：A经过初等行变换后得B，方程组Ax=0和Bx=0中只是方程改变倍数、两方程互换，或某方程的k倍加到另一方程上，它们不改变方程组的解，故①成立．A，B中任何部分列向量组组成的方程组也是同解方程组，故列向量组有相同的线性相关性，故④成立．而②中由于b没有参与行变换，故②不成立．③行变换后，A，B中对应的部分行向量会改变线性相关性．如故③也不成立．8．设A是4×5矩阵，ξ1=(1，－1，1，0，0)T，ξ2=(－1，3，－1，2，0)T，ξ3=(2，1，2，3，0)T，ξ4=(1，0，－1，1，－2)T都是齐次线性方程组Ax=0的解，且Ax=0的任一解向量均可由ξ1，ξ2，ξ3，ξ4线性表出，若k1，k2，k3，k4是任意常数，则Ax=0的通解是( )A．k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3+k4ξ4．B．k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3．C．k2ξ2+k3ξ3．D．k1ξ1+k3ξ3+k4ξ4．正确答案：D解析：Ax=0的任一解向量均可由ξ1，ξ2，ξ3，ξ4线性表出，则必可由ξ1，ξ2，ξ3，ξ4的极大线性无关组表出，且ξ1，ξ2，ξ3，ξ4的极大线性无关组即是Ax=0的基础解系．因(ξ1，ξ2，ξ3，ξ4)=故知ξ1，ξ3，ξ4线性无关，是极大线性无关组，是Ax=0的基础解系，(D)是Ax=0的通解，故应选(D)．填空题9．微分方程xy″－y′=x的通解是____________．正确答案：y=ln｜x｜+C1x2+C2，其中C1，C2为任意常数解析：此为可降阶的y″=f(x，y′)型．令y′=p，y″=p′，有xp′－p=x．p=dx+C0)=xln｜x｜+C0x，y=∫(xln｜x｜+C0x)dx=x2+C2=ln｜x｜+C1x2+C2．10．曲线y=－x2在点(0，)处的曲率半径为____________．正确答案：解析：曲率半径=11．设f(x)连续且f(x)≠0，又设f(x)满足f(x)=f(x－t)dt+f2(t)dt，则f(x)=____________．正确答案：ex解析：f(x)=f2(t)dt =f2(u)du．令f2(t)dt=a，于是f(x)=f(u)du+a，f′(x)=f(x)，f(0)=a，所以f(x)=Cex，由f(0)=a得f(x)=aex．于是a=(e2－1)．解得a=0(舍去)，a=ex．12．=____________．正确答案：e解析：由(1+，则所以应填e．13．设平面区域D(t)={x，y)｜0≤x≤y，0＜t≤y≤1}，f(t)=dσ．则f″(t)=____________．正确答案：解析：14．设A=，其中abc=－6，A*是A的伴随矩阵，则A*有非零特征值____________．正确答案：11解析：因ab=c－6，故｜A｜==6+abc=0，r(A)＜3．又A11==6≠0，故r(A)=2，r(A*)=1．故A*有特征值λ1=λ2=0，λ3=Aii=A11+A12+A33==6+3+2=11．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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【答案】D
【解析】设 f（x）=-x，则 f（x）是在 (, ) 上的单调减少的奇函数， F (x) x x (t)dt 0 2 / 20
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2 x t(t)dt 2 x3 1 x3 1 x3 是在 (, ) 上的单调增加的奇函数；设 f（x）=x，则 f
A．
4 1
k1
2
2
k2
4 6
1
1
3
2 2 1
B．
4 1
k1
2
2
k2
8 2
2
1
5
2 2
C．
0
5
k
2
2
4
1
2 1
D．
4 1
k
12 8
2
1
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【答案】A
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C．恒为负
D．可变号
【答案】A
【解析】令 F(x) x f (t)dt ，则 F (a) F (b) 0 ，即可将所给条件变为 a
若 F (x) 在区间 (a, b) 上不恒为零，则 F (x) 在区间 (a, b) 取正的最大值或负的最小值。
设
F
(
x0
)
max
(a,b)
F
(
x)
0
，则
x0
(a,
则
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故函数 f（x）在点 x=0 处连续；
当 x0 是非零整数时，
f
考研数学(数学二)模拟试卷302(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷302(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)是满足的连续函数，则当x→0时是关于x的_________阶无穷小量．A．3.B．4C．5D．6正确答案：D解析：该题就是求n>0使得存在极限其中计算时用了等价无穷小因子替换：F(sin2x)一(sin2x)2(x→0)这表明当x→0时是关于x的6阶无穷小量，即应选D．2．设其中函数f(x)可导，且f’(x)>0在区间(一1，1)成立，则A．函数F(x)必在点x=0处取得极大值．B．函数F(x)必在点x=0处取得极小值．C．函数F(x)在点x=0处不取极植，但点(0，F(0))是曲线y=F(x)的拐点．D．函数F(x)在点x=0处不取极值，且点(0，F(0))也不是曲线y=F(x)的拐点．正确答案：C解析：本题主要考查变上限定积分求导法、函数的极值以及曲线的拐点等有关知识．因于是由F’’(x)符号的变化情况知，曲线y=F(x)在区间(一1，0]是凸的，在区间[0，1)是凹的，可见(0，F(0))是其拐点．由F’’(x)符号的变化情况还知道，F’(0)是F’(x)的最小值，又F’(0)=0，从而知F’(x)>0当x≠0时成立．这表明F(x)在x=0处不取极值．综合以上分析知，结论C正确，其余均不正确．故应选C．3．设函数则下列结论正确的是A．f(x)有间断点．B．f(x)在(一∞，+∞)上连续，但在(一∞，+∞)内有不可导的点．C．f(x)在(一∞，+∞)内处处可导，但f’(x)在(一∞，+∞)上不连续．D．f’(x)在(一∞，+∞)上连续．正确答案：C解析：本题主要考查分段函数在分界点处的连续性，可导性及导函数的连续性问题．f(x)的定义域是(一∞，+∞)，它被分成两个子区间(一∞，0]和(0，+∞)．在(一∞，0]内f(x)=x2，因而它在(一∞，0]上连续，在(一∞，0)内导函数连续，且f-’(0)=0；在(0，+∞)内，因而它在(0，+∞)内连续且导函数连续．注意．因而f(x)在(一∞，+∞)连续．可见A不正确．又因即f(x)在x=0右导数f+’(0)存在且等于零，这表明f’(0)存在且等于零．于是，f’(x)在(一∞，+∞)上处处存在．可见B 不正确．注意，当x>0时，于是不存在，这表明f’(x)在x=0处间断。
考研数学(数学二)模拟试卷390(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷390(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．把当x→0时的无穷小量α=In(1+x2)一In(1一x4)，β=∫02tantdt，γ=arctanx一x排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是A．α，β，γ．B．γ，α，β．C．α，γ，β．D．γ，β，α．正确答案：C解析：我们分别确定当x→0时，α、β、γ分别是x的几阶无穷小．当x →0时α=ln(1+x2) 一ln(1一x4) ～x2，因为ln(1+x2)一x2ln(1一x4)～一x4=o(x2)这表明当x→0时，α是关于x的2阶无穷小量，β是关于x的4阶无穷小量，而γ是关于x的3阶无穷小量．按题目的要求，它们应排成α，γ；β的次序．故应选C．2．设f(x)，g(x)在点x=x0处可导且f(x0)=g(x0)=0，f’(x0)g’(x0)＜0，则A．x0不是f(x)g(x)的驻点．B．x0是f(x)g(x)的驻点，但不是f(x)g(x)的极值点．C．x0是f(x)g(x)的驻点，且是f(x)g(x)的极小值点．D．x0是f(x)g(x)的驻点，且是f(x)g(x)的极大值点．正确答案：D解析：由于[f(x)g(x)]’｜x=x0=f’(x0)g(x0)+f(x0)g’(x0)=0，因此x=x0是f(x)g(x)的驻点，进一步考察是否是它的极值点．x∈(x0—δ，x0)时f(x)＞0(＜0)，g(x)＜0(＞0)→x∈(x0—δ，x0+δ)，x≠x0时f(x)g(x)＜0=f(x0)g(x0)→x=x0是f(x)g(x)的极大值点．因此选D．3．设f(x)=∫0x2et2dt，g(x)在x=0连续且满足g(x)=1+2x+o(x)(x→0)．又F(x)=f[g(x)]，则F’(0)=A．4e．B．4．C．2．D．2e．正确答案：A解析：故应选A．4．曲线的拐点的个数为A．0个．B．1个．C．2个．D．3个．正确答案：D解析：5．已知累次积分其中a＞0为常数，则，可写成A．B．C．D．正确答案：C解析：这是把极坐标系下的累次积分转换成Oxy直角坐标系下的累次积分的问题.先将I表成由D的极坐标表示6．设函数F(x，y)在(x0，y0)某邻域有连续的二阶偏导数，且F(x0，y0)=F’(x0，y0)=0，Fy’(x0，y0)＞0，Fxx’’(x0，y0)＜0．由方程F(x，y)=0在x0的某邻域确定的隐函数y=y(x)，它有连续的二阶导数，且y(x0)=y0，则A．y(x)以x=x0为极大值点．B．y(x)以x=x0为极小值点．C．y(x)在x=x0不取极值．D．(x0，y(x0))是曲线y=f(x)的拐点．正确答案：B解析：按隐函数求导法，y’(x)满足令x=x0，相应地y=y0由Fx’(x，y)=0，Fy’(x0，y0)≠0得y’(x0)=0．将上式再对x求导并注意y=y(x)即得再令x=x0，相应地y=y0得因此x=x0是y=y(x)的极小值点．故选B．7．设A是3阶矩阵，特征值为1，一1，一2，则下列矩阵中可逆的是A．A+E．B．A—E．C．A+2E．D．2A+E．正确答案：D解析：根据性质：λ是A的特征值不可逆．由1，一1，一2都是特征值，得到A一E，A+E，A+2E都不可逆．而一1／2不是特征值，A+(1／2)E可逆，因此2A+E=2[A+(1／2)E]可逆．8．已知向量组α1,α2,α3和β1，β2，β3，β4都是4维实向量，其中α1,α2,α3线性无关，每个βi都是与α1,α2,α3都正交的非零向量．则r(β1，β2，β3，β4)=A．1．B．2．C．3．D．4．正确答案：A解析：构造矩阵A=(α1,α2,α3)，则β都是与α1,α2,α3正交说明βi都是4元方程组ATx=0的解.再由α1,α2,α3线性无关，得r(AT)=r(A)=3，于是ATx=0的解集合的秩为1，从而r(β1，β2，β3，β4)=1．填空题9．设y=f(x)在(1，1)邻域有连续二阶导数，曲线y=f(x)在点P(1，1)处的曲率圆方程为x2+y2=2，则f’’(1)=_______．正确答案：一2．解析：y=f(x)在点P处的切线与OP垂直，OP斜率为1→f’(1)=一1．点P处y=f(x)的曲率半径为，故曲线y=f(x)在点P处的曲率为，于是按曲率计算公式→由于曲率中心在曲线y=f(x)凹的一侧→f’’(1)＜0(y=f(x)在(1，1)邻域是凸的)．因此f’’(1)=一2．10．设f’’(x)=arcsin(1-x)，且f(0)=0，则∫01f(x)dx=_________．正确答案：解析：已知f’(x)=aresin(x一1)，求I=∫02f(x)dx，我们不必先求出f(x)，而是把求，转化为求与f’(x)有关的定积分，就要用分部积分法．或把，再积分．利用分部积分法可得11．设有摆线x=φ(t)=t—sint，y=ψ(t)=1一cost(0≤t≤2π)的第一拱L，则L绕x轴旋转一周所得旋转面的面积S=________．正确答案：解析：由旋转面面积公式得12．设u=u(x，y)满足则u(x，y)=_______．正确答案：，c(y)为y的任意函数．解析：偏导数实质上是一元函数函数的导数．当y任意给定时就是一阶线性常微分方程13．已知当x＞0与y＞0时则函数f(x，y)在点(x，y)=(1，1)处的全微分df｜(1,1)=______．正确答案：解析：由于令x=1，y=1就有14．已知A是3阶矩阵，A的特征值为1，2，3．则(A*)*的最大特征值为________．正确答案：18解析：｜A｜=1×2×3=6，于是A的特征值为6，3，2，｜A*｜=36．则(A*)*的特征值为6，12，1 8，最大的是18．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(填空题)模拟试卷123(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）模拟试卷123(题后含答案及解析)题型有：1.1．设a＞0，且，则a=________，b=__________正确答案：4，1解析：由知识模块：函数、极限、连续2．=________.正确答案：解析：因为x→0时，eln2(1+x)-1～ln2(1+x)～x2，知识模块：高等数学3．=_______正确答案：解析：知识模块：高等数学部分4．＝_______．正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续5．arctan(x－lnx.sinx)=________．正确答案：解析：x－lnx.sinx=，由于x→+∞时，，x－lnx.sinx→+∞，于是知识模块：极限、连续与求极限的方法6．设f(χ，y)在单位圆χ2＋y2≤1上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，f(0，0)＝2004，试求极限＝_______．正确答案：2004 涉及知识点：多元函数微积分7．若f(t)=，则f’(t)=____________．正确答案：(2t+1)e2t解析：f(t)= 知识模块：一元函数微分学8．=_______________.正确答案：解析：知识模块：一元函数微分学9．已知A=有三个线性无关的特征向量，则x=________。
正确答案：0解析：由A的特征方程｜λE—A｜==(λ—1)(λ2一1)=0，可得A的特征值是λ=1(二重)，λ=一1。
因为A有三个线性无关的特征向量，所以λ=1必有两个线性无关的特征向量，因此r(E—A)=3—2=1，根据知识模块：矩阵的特征值和特征向量10．曲线上对应于t=1点处的法线方程为_________．正确答案：解析：由此可得法线的斜率为一1，因此可得法线方程为即知识模块：一元函数微分学11．=_______正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学12．设f(x)=D为xOy面，则f(y)f(c+y)dxdy=_________．正确答案：解析：在D1={(x，y)｜∞＜x＜+∞，0≤y≤1}上，f(y)=y；在D0：0≤x+y ≤1上，f(x+y)=x+y，则在D0=D1∩D0={(x，y)｜-y≤x≤1-y，0≤y≤1}上，f(y)f(x+y)=y(x+y)，所以f(y)f(x+y)dxdy=∫01dy∫-y1-yy(x+y)dx=. 知识模块：高等数学13．曲线在点(0，1)处的法线方程为_______．正确答案：y＝－2χ＋1解析：在点(0，1)处t＝0，则对应点处法线的斜率为－2，所以法线方程为y＝1＝－2(χ－0)，即y＝－2χ＋1．知识模块：一元函数微分学14．设函数z=z(x，y)由方程(z+y)2=xy确定，则=______。
考研数学(数学二)模拟试卷448(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷448(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．( )A．B．C．D．正确答案：D解析：作积分变量代换u=x－t，2．设f(x)在区间[a，b]上存在一阶导数，且fˊ(a) ≠fˊ(b)．则必存在x0∈(a，b)使( )A．fˊ(x0)> fˊ(a)．B．fˊ(x0)> fˊ(b)．C．fˊ(x0)=[5fˊ(b)+2fˊ(a)]．D．fˊ(x0)=[5fˊ(b)－2fˊ(a)]．正确答案：C解析：由于fˊ(a)≠fˊ(b)，不妨设fˊ(a)所以fˊ(a)[5fˊ(b)+2fˊ(a)] fˊ(b)，类似地可证fˊ(a)> [5fˊ(b)+2fˊ(a)]> fˊ(b)．一般地，设μ为介于fˊ(a)与fˊ(b)之间的任意一个确定的值．在本题条件下有结论：存在x0∈(a，b)使fˊ(x0)=μ．这个定理有点类似于连续函数介值定理，不过这里并不需要fˊ(x)连续而只要在[a，b] 上fˊ(x)存在即可．此定理在一般教科书上没有讲，但考研中经常用到．证明如下：令ф(x)= f (x)－μx．有фˊ(x)= fˊ(x)－μ．фˊ(a)= fˊ(a)－μ0．于是知，存在x1∈(a，b)使ф(x1)[5fˊ(b)+2fˊ(a)]介于fˊ(a) 与fˊ(b)之间，所以存在x0∈(a，b)使fˊ(x0)=[5fˊ(b)+2fˊ(a)]．3．设函数z=z(z，y)由方程确定，其中F为可微函数，且Fˊ2≠0．则( ) A．x．B．y．C．z．D．0．正确答案：C解析：方程两边对x求偏导数，得再将方程两边对y求偏导数，得4．设则在区间(－1，1)内( )A．f(x)与g(x)都存在原函数．B．f(x)与g(x)都不存在原函数．C．f(x)存在原函数，g(x)不存在原函数．D．f(x)不存在原函数，g(x)存在原函数．正确答案：D解析：g(x)在(－1，1)内连续，所以存在原函数，f(x)在x=0处为第一类间断点，所以不存在原函数，如果F(x)是f(x)在区间(－1，1)内的一个原函数．f(x)=F ˊ(x)，而f(x)在x=0处为第一类间断点，而作为导函数Fˊ(x)来说，是不可能存在第一类间断点的．5．设F(x)可导，下述命题：①Fˊ(x)为偶函数的充要条件是F(x)为奇函数；②Fˊ(x)为奇函数的充要条件是F(x)为偶函数；③Fˊ(x)为周期函数的充要条件是F(x)为周期函数．正确的个数是( )A．0个．B．1个．C．2个．D．3个．正确答案：B解析：②是正确的，证明如下：设Fˊ(x)= f(x)为奇函数．则φ(x)=∫0xf (t)dt 必是偶函数．证明如下：φ(－x)=∫0－xf (t)dt=∫0xf(－t)(－dt)=∫0xf(t)dt=φ(x)．又因f(x)的任意一个原函数必是φ(x)+C的形式，所以f(x)的任意一个原函数必是偶函数．必要性证毕．设F(x)为偶函数：F(x)=F(－x)，两边对x求导，得Fˊ(x)= －Fˊ(－x)，所以Fˊ(x)为奇函数，充分性证毕．①是不正确的．反例：(x3+1)ˊ=3x2为偶函数，但x3+1并非奇函数，必要性不成立．③是不正确的．反例：(sin x+x) ˊ=cosx+1为周期函数，但sin x+x不是周期函数，必要性不成立．6．设则在点O(0，0)处( )A．偏导数存在，但函数不连续．B．偏导数不存在，但函数连续．C．偏导数存在，函数连续，但函数不可微．D．函数可微．正确答案：D解析：|f(x，y)|≤x2+y2，令(x，y)→(0，0)，由夹逼定理有故A不正确．同理fˊy (0，0)=0．故B不正确．考虑点O(0，0)处的△f，按可微定义，f(x，y)在点(0，0)处可微．故应选D．7．设E是n阶单位阵，E+A是n阶可逆阵，则下列关系式中不恒成立的是( )A．(E－A)(E+A)2=(E+A)2(E－A)．B．(E－A)(E+A)T=(E+A)T(E－A)．C．(E－A)(E+A)－1=(E+A)－1(E－A)．D．(E－A)(E+A)*=(E+A)* (E－A)．正确答案：B解析：因EA=AE=A，AA2=A2A=A3，AA－1=A－1A=E，AA*=A*A=|A|E，故知A和E，A2，A－1，A*乘法运算均可交换．但(E+A)(E+A)T≠(E+A)T(E+A)．例事实上，(E－A)(E+A)T=[2E－(E+A)](E+A)T≠(E+A)T[2E－(E+A)]=(E+A)T(E－A)．故应选B．对于A，C，D均成立．以C为例，有(E－A)(E+A)－1=[2E－(E+A)](E+A)－1=2E(E+A)－1－(A+E)(A+E)－1=(E+A)－12E－(A+E)－1(A+E)=(A+E)－1[2E －(A+E)]=(A+E)－1(E－A)．同理，请读者推A，D也成立．8．设向量组(Ⅰ)α1，α2，α3，α4线性无关，则和(Ⅰ)等价的向量组是( )A．α1+α2，α2+α3，α3+α4．B．α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1．C．α1－α2，α2+α3，α3－α4，α4+α1．D．α1，α1－α2，α2－α3，α3－α4，α4－α1．正确答案：D解析：两个向量组可以相互表出〈=〉两个向量组等价．两个向量组等价=>等秩，但反之不成立，等秩不一定等价(但不等秩必不等价)．对于选项D．令β1=α1，β2=α1－α2，β3=α2－α3，β4=α3－α4，β5=α4－α5，则α1=β1，α2=α1－β1=β1－β2，α3=α2－β3=β1－β2－β3，α4=α3－β4=β1－β2－β3－β4，故D和D可相互表出，是等价向量组．应选D．填空题9．______．正确答案：e－2解析：所以原极限e－2．10．微分方程满足初始条件y(1)=1的特解是y=______．正确答案：xe1－x解析：此为一阶齐次方程．令y=ux，有，原方程化为，u|x=1=1．解得ln| lnu－1|= ln|C1x|，C1为任意非零常数．去掉对数记号及绝对值符号，得lnu=Cx+1，C=±C1．u=eCx+1，将u|x=1=1代入，得C=－1，则u=e1－x ，故原方程的解为y= xe1－x．11．心形线r=a(1+cosθ)(常数a>0)的全长为______．正确答案：8a解析：弧长12．设函数z=f(x，y)(xy≠0)满足=y2(x2－1)，则dz=______．正确答案：(2x－y)dx－xdy解析：设xy=u，=v，有x2=．则f(u，v)=uv(－1)=u2－uv，即z=f(x，y)=x2－xy．所以dz=(2x－y)dx－xdy．13．设f″(x0)存在，且，则f″(x0)=______．正确答案：2解析：令x→x0，两边取极限，由题设，知右边第一项趋于1，第二项由洛必达法则有所以f″(x0)=1+f″(x0)，则f″(x0)=2．14．设A是3阶矩阵，满足A2=A，则(A+3E)－1=______．正确答案：(A－4E)解析：由题设A2=A，则A2－A=(A+3E)(A－4E)+12E=O．即(A+3E)(A－4E)=－12E，整理得(A+3E)(A－4E)=E，故得(A+3E)－1=(A－4E)．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学(数学二)模拟试卷400(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷400(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)在(一∞，+∞)上可导，且对任意x1和x2，当x1＞x2时都有f(x1)＞f(x2)，则( )．A．对任意x，f’(x)＞0B．对任意x，f’(一x)≤0C．函数f(一x)单调增加D．函数一f(一x)单调增加正确答案：D解析：由于y=一f(-x)的图形与y=f(x)的图形关于原点对称，当x1＞x2时，有f(x2)＞f(x2)，则函数一f(一x)必单调增加．f(x)单调增加，但其导数不一定满足f’(x)＞0，也可能有f’(x)=0．例如y=x3单调增加，但y’(0)=3x2｜x=0=0．至于函数f(-x)与f(x)是两个不同函数，它是否单调增加及其导数是否小于0不得而知，故A、B、C不成立，仅D入选．2．曲线的拐点的个数为( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：D解析：先求出y’与y’’：因．在(一∞，+∞)上连续，且在的两侧y’’变号，故均为的拐点．另外在x=0处y’’不存在，但在x=0的两侧少变号，因此(0，0)也是曲线的拐点．此外再无其他拐点．仅D入选．3．设f(x)=min{1，x2)，则∫0xf(t)dt等于( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：当｜x｜≤1时，f(x)=min{1，x2)=x2，则仅B入选．4．若函数f(x)的一个原函数为arctanx，则∫xf(1一x2)dx=( )．A．arctan(1-x2)+CB．C．xarctan(1-x2)+CD．正确答案：B解析：由题设f(x)=(arctanx)’，于是仅B入选．5．=( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：故仅C入选．6．设方程exy+y2=cosx确定y为x的函数，则=( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：在所给方程两边对x求导，求解时应注意y是x的函数，得到exy(y+xy’)+2yy’=一sinx，y’(xexy+2y)+yexy=一sinx，故仅B入选．7．若两向量组的秩相等，那么必有( )．A．两组向量可以互相线性表示B．两组都是线性相关组C．两组都是线性无关组D．如从某组中任取单个向量放入到另一组中，所得新向量组都线性相关，则这两组向量能互相线性表示正确答案：D解析：对于选项D．考虑向量组(I)α1,α2……αs；向量组(Ⅱ)β1β2……βs，若从α1,α2……αs中任取一个放入向量组(Ⅱ)中后线性相关，则向量组(I)可以由向量组(Ⅱ)线性表示．又秩(I)=秩(Ⅱ)，由上述结论知，向量组(I)和向量组(Ⅱ)等价．从而向量组(Ⅱ)也可由向量组(I)线性表示．仅D入选．8．设矩阵，则下列矩阵中与矩阵A等价、合同，但不相似的是( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：由可知矩阵A的特征值是3，一3，0，故秩(A)=2．二次型XTAX的正、负惯性指数均为1．A中矩阵的秩为1，不可能与矩阵A等价；C中矩阵的特征值为3，一3，0，与矩阵A不仅等价、合同，而且也相似，不符合题意．而B中矩阵的特征值为1，4，0，正惯性指数为p=2，负惯性指数q=0，与A既不合同也不相似，但等价(因为秩相等)．对于D，记其矩阵为D，由可知D的特征值为1，一1，0．XTAX与XTDX的正、负惯性指数一样，所以它们合同，但不相似(因特征值不同)，符合题意．仅D入选．填空题9．=____________(a，b为常数)．正确答案：10．设f(t=e2，且∫0xf(t)dt=xf(ux)则=____________．正确答案：11．曲线y=lnx在点___________处曲率半径最小．正确答案：令Rx’=0得显然，当时，Rx’＞0；当时，Rx’＜0．由一阶导数判别法可知，为R(x)的极小值点．又因驻点唯一，该极小值也是R(x)的最小值，故曲线y=lnx在点处的曲率半径最小．12．如右图所示，函数f(x)是以2为周期的连续周期函数，它在[0，2]上的图形为分段直线．g(x)是线性函数，则∫02f(g(x))dx=___________.正确答案：由上图易知，线性函数g(x)的斜率由于f(x)是以2为周期的周期函数，由其性质①与②得到∫17f(t)dt=∫12.2+3f(t)dt=∫02+3f(t)dt=3∫02f(t)dt根据定积分的几何意义知13．设f(x，y)连续，且其中D是由y=x，y=0,x=1所围成的区域，则fxy’’(x，y)=____________．正确答案：14．设A，B是n阶方阵，且AB=BA，其中试求矩阵B=__________．正确答案：设B=[bij]n×n，AB=[cij]n×n，BA=[dij]n×n，显然cij=ibij，dij=jbij．又因AB=BA，故ibij=jbij(i，j=1，2，…，n)，其中，当i≠j时，有(i一j)bij=0，故bij=0(i≠j)．因此解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学(数学二)模拟试卷415(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷415(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．下列无穷小中阶数最高的是( )．A．eχ－etanχB．ln(1＋2t)dtC．ln(1＋χ)－sinχD．－1正确答案：B解析：eχ＝etanχ＝etanχ(eχ-tanχ－1)～χ－tanχ，因为，所以e χ－etanχ～－χ3 因此选B．2．下列命题正确的是( )．A．若f(χ)在χ0处可导，则一定存在δ＞0，在｜χ－χ0｜＜δ内f(χ)可导B．若f(χ)在χ0处连续，则一定存在δ＞0，在｜χ－χ0｜＜δ内f(χ)连续C．若存在，则f(χ)在χ0处可导D．若f(χ)在χ0的去心邻域内可导，f(χ)在χ0处连续，且f′(χ)存在，则f(χ)在χ0处可导，且f′(χ0)f′(χ)正确答案：D解析：令得f(χ)在χ＝0处可导(也连续)．对任意的a≠0，因为f(χ)不存在，所以f(χ)在χ＝a处不连续，当然也不可导，即χ＝0是f(χ)唯一的连续点和可导点，选项A、B不对；令f(χ)＝显然＝2，因为f(χ)＝0≠f(0)，所以f(χ)在χ＝0处不连续，当然也不可导，选项C不对；因为f(χ)在χ0处连续且在χ0的去心邻域内可导，所以由微分中值定理有f(χ)－f(χ0)＝f′(ξ)(χ－χ0)或者＝f′(ξ)，其中ξ介于χ0与χ之间，两边取极限得存在，即f(χ)在χ0处可导，且f′(χ0)＝f′(χ)，选D．3．下列说法中正确的是( )．A．若f′(χ0)＜0，则f(χ)在χ0的邻域内单调减少B．若f(χ)在χ0取极大值，则当χ∈(χ0－δ，χ0)时，f(χ)单调增加，当χ∈(χ0，χ0＋δ)时，f(χ)单调减少C．f(χ)在χ0取极值，则f(χ)在χ0连续D．f(χ)为偶函数，f〞(0)≠0，则f(χ)在χ＝0处一定取到极值正确答案：D解析：f(χ)＝f′(0)＝－1＜0，f′(χ)＝－1＋2χsin，当χ＝(k∈N)时，f′(χ)＞0f(χ)在χ＝0的任意邻域内都不单调减少，A项对；f(χ)＝f(χ)在χ＝0处取得极大值，但其在χ＝0的任一邻域内皆不单调，B项不对；f(χ)在χ＝1处取得极大值，但f(χ)在χ＝1处不连续；由f〞(0)存在，得f′(0)存在，又f(χ)为偶函数，所以f′(0)＝0，所以χ＝0一定为f(χ)的极值点，选D．4．设δ＞0，f(χ)在(－δ，δ)内恒有f〞(χ)＞0，且｜f(χ)｜≤χ2，记I-δδ＝∫f(χ)dχ，则有( )．A．I＝0B．I＞0C．I＜0D．不能确定正确答案：B解析：因为｜f(χ)｜≤χ2，所以f(0)＝0，由｜f(χ)｜≤χ2，得0≤≤｜χ｜，由迫敛定理得f′(0)＝0．由泰勒公式得f(χ)＝f(0)＋f′(0)χ＋，其中ξ介于0与χ之间，因为在(－δ，δ)内恒有f〞(χ)＞0，所以I＝f〞(ξ)χ2dχ＞0，选B．5．设厂有一阶连续的偏导数，且f(χ＋y，χ－y)＝4(χ2－χy－y2)，则χf′χ(χ，y)＋yf′y(χ，y)为( )．A．2χ2－8χy－2y2B．－2χ2＋8χy－2y2C．2χ2－8χy＋2y2D．－2χ2＋8χy＋2y2正确答案：D解析：令χ＋y＝u，χ－y＝v，则χ＝(u＋v)，y＝(u－v)，于是由f(χ＋y，χ－y)＝4(χ2－χy－y2)，得f(u，v)＝4uv－u2＋v2，故f(χ，y)＝4χy－χ2＋y2，χf′χ(χ，y)＋yf′y(χ，y)＝χ(4y－2χ)＋y(4χ＋2y)＝－2χ2＋8χy＋2y2，选D．6．设f(χ)＝χ3－3χ＋k只有一个零点，则k的取值范围是( )．A．｜k｜＜1B．｜k｜＞1C．｜k｜＞2D．k＜2正确答案：C解析：f(χ)为三次函数，至少有一个零点，因为函数不单调，故要使函数只有一个零点，必须极小值大于零或极大值小于零．由f′(χ)＝3(χ2－1)＝0，得驻点χ＝±1，且由图形可知，χ＝－1为极大点，χ＝1为极小点．故f(－1)＝2＋k＜0k＜－2，f(1)＝－2＋k＞0＞2，所以选C．7．设，则B等于( )．A．P1P2-1AB．AP1P2-1C．P1AP2-1D．P2-1AP1正确答案：C解析：故选C．8．设A＝(α1，α2，α3，α4)为四阶方阵，且α1，α2，α3，α4为非零向量组，设AX＝0的一个基础解系为(1，0，－4，0)T，则方程组A*X＝0的基础解系为( )．A．α1，α2，α3B．α1＋α3，α3，α4C．α1，α3，α4D．α1＋α2，α2＋2α4，α4正确答案：D解析：由r(A)＝3得r(A*)＝1，则A*X＝0的基础解系由3个线性无关的解向量构成．由α1－4α3＝0得α1，α3成比例，显然选项A、B、C不对，选D．填空题9．＝_______．正确答案：解析：10．设y＝y(χ)由确定，则＝_______．正确答案：解析：当t＝0时，χ＝1．y＝∫01ln(1＋u)du＝uln(1＋u)｜01－∫01du ＝2ln2－1 eχsint－χ1＝0两边对t求导，得eχsin.＋eχcost－＝0，于是＝e；y＝∫0t+1ln(1＋u)du两边对t求导，得＝ln(t＋2)，于是＝ln2．故11．曲线y＝的斜渐近线为_______．正确答案：y＝2χ－1解析：故曲线y＝的斜渐近线为y＝2χ－1．12．＝_______．正确答案：解析：改变积分次序得13．y〞－2y′－3y＝e-χ的通解为_______．正确答案：y＝C1e-χ＋C2e3χ－e-χ解析：特征方程为λ2－2λ－3＝0，特征值为λ1＝1，λ2＝3，则方程y〞－2y′－3y＝0的通解为y＝C1e-χ＋C2e3χ．令原方程的特解为y0(χ)＝Aχe-χ，代入原方程得A＝－，于是原方程的通解为y＝C1e-χ＋C2e3χ－e-χ．14．设A为三阶实对称矩阵，α1＝(m，－m，1)T是方程组AX＝0的解，α2＝(m，1，1－m)T是方程组(A＋E)X＝0的解，则m＝_______．正确答案：1解析：由AX＝0有非零解得r(A)＜3，从而λ＝0为A的特征值，α1＝(m，－m，1)T为其对应的特征向量；由(A＋E)X＝0有非零解得r(A＋E)＜3，｜A＋E｜＝0，λ＝－1为A的另一个特征值，其对应的特征向量为α2＝(m，1，1－m)T，因为A为实对称矩阵，所以A的不同特征值对应的特征向量正交，于是有m＝1．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学(数学二)模拟试卷404(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷404(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设函数y=y(x)由方程x2一ax2y2+by3=0所确定，要使x=1是y=y(x)的驻点，且曲线y=y(x)通过点(1，1)，则( )．A．a=2，b=3B．C．D．a=-2，b=-3正确答案：C解析：因y=y(x)过点(1，1)，故1一a+b=0，a一b=1．①又因x=1是y=y(x)的驻点，则y’(1)=0．先求y’(x)．在x3一ax2y2+by3=0两边对x求导，得到2．设，则在点x=a处( )．A．f(x)的导数存在，且f’(A)≠0B．f(x)取得极大值C．f(x)取得极小值D．f(x)的导数不存在正确答案：B解析：由题设有由极限的保号性知，存在x=a的右邻域(a，a+δ1)(δ1＞0)，使f(x)一f(A)＜0，即f(x)＜f(A)，也存在x=a的左邻域(a一δ2，a)(δ＞0)，使f(x)一f(A)＜0，即f(x)＜f(A)．由极值的定义知，f(A)为f(x)的极大值．仅B入选．3．设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f(A)=f(B)，f’’(x)≠0，则( )．A．f’(x)在[a，b]内没有零点B．f’(x)在[a，b]内只有一个零点C．f’(x)在[a，b]内至少有一个零点D．f’(x)在[a，b]内零点个数不能确定正确答案：B解析：因为f(x)在[a，b]上连续，(a，b)内可导，f(A)一f(B)，由罗尔定理知，至少存在-ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=0．如果f’(x)在(a，b)内有两个零点ξ1，ξ2(ξ1≠ξ2)，则函数f’(x)在[ξ1，ξ2]上仍满足罗尔定理条件，则在ξ1，ξ2之间存在ξ3，使f’’(ξ3)=0，这与在[a，b]上f’’(x)≠0矛盾．因此仅B入选．4．设f(x)在[0，1]上连续，f(x)≥0．记则( )．A．I1＜I2＜I3B．I3＜I1＜I2C．I2＜I3＜I1D．I1＜I3＜I2正确答案：B解析：在I1中，令x=sint，当x=0时，t=0；当x=1时，且dx=costdt．因此在I1中，令x=tanx，当x=0时，t=0；当x=1时，，且dx=sec2tdt，当时，sect＞1，从而有sec2t＞1．因此于是有I3＜I1＜I2．仅B入选．5．设函数z=f(x，y)满足且f(x，0)=1，一(x，0)=x，则f(x，y)=( )．A．1一xy+y2B．1+xy+y2C．1一x2y+y2D．1+x2y+y2正确答案：B解析：在方程两边对y积分得由fy’(x，0)=x知再积分得f(x，y)=y2+xy+C1(x)，再由f(x，0)=1知C1(x)=1．于是f(x，y)=1+xy+y2．仅B入选．6．设=( )．A．1B．C．D．e一1正确答案：B解析：积分区域如上图所示．交换积分次序，得仅B入选．7．设A是三阶实对称矩阵，λ1，λ2，λ3是3个非零特征值，且满足a ≥λ1≥λ2≥λ3≥b．若kA+E为正定矩阵，则参数k应满足( )．A．k＞一1／aB．k＞aC．k＞bD．k＜一1／b正确答案：A解析：由题设有a≥λ1≥λ2≥λ3≥B，故当时，由上式知从而当时，kA+E 为正定矩阵．仅A入选．8．已知λ1=2，λ2=1，λ3=一1为三阶矩阵A的3个特征值，对应特征向量为α1,α2,α3．令P=[2α2，3α3，一α1]，则P一1(A+2E)P=( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：因α1,α2,α3为A的3个不同特征值的特征向量，故线性无关，且它们都是齐次方程的解．而2α2，3α3，一α1仍然分别为齐次方程的解，且它们线性无关，故它们也为A的3个不同特征值的特征向量．于是令P=[2α2，3α2，一α1]，有故P一1(A+2E)P=P一1AP+2P一1EP仅A入选．填空题9．已知则a=__________．正确答案：因分子、分母去掉高阶无穷小，得到故a=一2．10．曲线的渐近线方程是__________．正确答案：故当x→3时，函数y不趋向无穷大，同法可得当x→4时，y也不趋向无穷大．y无铅直渐近线，也无斜渐近线，y的水平渐近线为．11．设函数f(x)在x=1处连续，且则f’(1)=_____________．正确答案：12．=___________。
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数学二模拟试题二校区学管师班级姓名分数一、选择题：1-8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上．
1.设函数2(1)()lim1nxnxnxefxe，则点0x为()fx的()(A)连续点(B)跳跃间断点(C)可去间断点(D)无穷间断点
2.设()fx是连续且单调增加的奇函数，0()(2)()dxFxuxfxuu，则()Fx是()(A)单调增加的奇函数(B)单调减少的奇函数(C)单调增加的偶函数(D)单调减少的偶函数3.设函数()fx具有一阶连续导数，且201()lim3xxefxxx，则()(A)5(0)1,(0)2ff(B)5(0)1,(0)
2ff
(C)5(0)1,(0)2ff(D)5(0)1,(0)
2ff
4.设20cosIxdx，2sin0cosxJxedx，则()(A)0,0IJ(B)0,0IJ(C)0,0IJ(D)0,0IJ5.设函数22242220(,)00xyxyxyfxyxy，则(,)fxy在点(0,0)处()(A)连续，但偏导数不存在(B)不连续，但偏导数存在(C)连续且偏导数存在(D)不连续且偏导数不存在
6.将极坐标系下的二次积分31400d(1cos,sin)frrrdr转化为直角坐标系下的二次积分为()(A)220111
200
2
(,)(,)xxxdxfxydydxfxydy
(B)2211(1)21(1)
2110
2
(,)(,)xxxdxfxydydxfxydy
(C)222
2
111
2201
2
(,)(,)yyyydyfxydxdyfxydx
(D)222
2
11111
220111
2
(,)(,)yyyydyfxydxdyfxydx
7.设,AB为三阶非零矩阵，满足ABO，其中21112122Baaaaaa，则()(A)2a时，必有()1RA(B)2a时，必有()2RA(C)1a时，必有()1RA(D)1a时，必有()2RA
8.已知二次型22123121323(,,)24fxxxxxaxxxx
的秩为2，则该二次型的正负惯性指
数分别为()(A)2,0(B)0,2(C)1,1(D)依赖于a的取值9.设()fx为可导的偶函数，20(cos)lim2xfxx，则曲线()yfx在点(1,(1))f处的法线方程为________.
10.32cossin1cosxxdxx________.11.433331lim(arctan)(123)nnn________.
12.微分方程242cosyyx
的特解形式为________.13.设函数(,)zzxy由方程()xazybz确定，其中可导，,ab为常数，且0ab，则
zzab
xy
________.
14.设122,130，对任意的正整数n，矩阵T()n
E
________.15.(本题满分10分)设01x，证明(1)2(21)ln(1)(1)xxxx；(2)11
(1)(1)4xxx
x
16.(本题满分10分)将yoz坐标面上的曲线段() (()0,012)yfzfzz绕z轴旋转一周所得旋转曲面与xoy坐标面围成一个无盖容器，已知它的底面积为216()m，如果以33(/)ms
的速度
把水注入容器内，在高度为()zm的位置，水的上表面积以23(/)1msz的速度增大，求：(1)曲线()yfz的方程；(2)若将容器内水装满，需要多少时间?17.(本题满分10分)已知平面上两点(4,6),(6,4)AB，C为椭圆221520xy上的点，求ABC面积的最大值和最小值.
18.(本题满分10分)设区域:01,02Dxy，计算21[(1)]d.xy
DIyexy
19.(本题满分10分)设函数()yyx满足21()2xyxoxxx，且(1)1y，计算21()d.yxx
20.(本题满分11分)设曲线L的参数方程sin (02)1cosxtttyt，求：(1)曲线L的参数方程确定的函数()yyx的定义域；(2)曲线L与x轴围成的平面图形绕y轴旋转一周而形成的旋转体体积y
V；
(3)设曲线L的形心坐标为(,)xy，求.y21.(本题满分11分)设函数()fx在[0,1]上具有二阶连续导数，且(0)(1)0ff，证明：
(1)至少存在一点(0,1)，使得1()2()(0)(1)24ffff；
(2)至少存在一点(0,1)，使得()(1)(0).4
fff
22.(本题满分11分)已知123
,,为三个三维列向量，
112233
.TTTA
(1)证明存在矩阵B使得TABB
；
(2)当123
,,线性无关时，证明()3RA；
(3)当1231232,2,4314时，求0Ax的通解.23.(本题满分11分)设A是二次型123
(,,)fxxx的矩阵，()1RA，齐次线性方程组(2)0EAx的通解为
1xk，其中
1
(1,1,1)T
，k为任意实数.
(1)求解齐次线性方程组0Ax；(2)求二次型123
(,,).fxxx数学二模拟试题二参考答案校区学管师班级姓名分数一、选择题：1-8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上．
1.设函数2(1)()lim1nxnxnxefxe，则点0x为()fx的()(A)连续点(B)跳跃间断点(C)可去间断点(D)无穷间断点解：应选(B)
22(1)0
1()lim0
12
0
nxnxn
x
xxxefxx
e
ex
，故点0x为其跳跃间断点.2.设()fx是连续且单调增加的奇函数，0()(2)()dxFxuxfxuu，则()Fx是()(A)单调增加的奇函数(B)单调减少的奇函数(C)单调增加的偶函数(D)单调减少的偶函数解：应选(B)
令xut，000()(2)()(d)()d2()dxx
xFxxtfttxftttftt
因为()ft是奇函数，()tft为偶函数，所以0()dxxftt为奇函数，0()dxtftt为奇函数，故()Fx为奇函数.(务必记住此处知识点的结论，要求会证明)
又因为0()()d()()()0xFxfttxfxxfxfx(在0与x之间)，故()Fx单调减少.3.设函数()fx具有一阶连续导数，且201()lim3xxefxxx，则()(A)5(0)1,(0)2ff(B)5(0)1,(0)
2ff
(C)5(0)1,(0)2ff(D)5(0)1,(0)
2ff
解：应选(A)2000
1()()()(0)()(0)1limlimlim()
2222
xxx
xxxexfxefxxfxeffxf
fx
xxxx
3，故知(0)1f，又
00(0)11limlim
222
xx
xxefe
xx
，0()(0)1lim(0)22xfxffx，
0
11lim()(0)
22x
fxf
所以1(0)32f，得5(0).
2f
或使用泰勒公式求解222200
11()1[(0)(0)()]1()2
limlim
x
xx
xxoxxffxoxexfx
xx
2220
1[1(0)][(0)]()
2lim3
x
fxfxox
x
故1(0)01(0)32ff，得5(0)1,(0).
2ff