人教版数学高二A版选修4-1学案第三讲二平面与圆柱面的截线

二 平面与圆柱面的截线

1．通过圆柱形水杯中水面的倾斜，感受平面截圆柱的形式，并能证明定理1.

2．通过Dandelin 双球探求椭圆的性质，体会这种证明问题的方法．

1

判断截口形状是椭圆【做一做1】圆柱形物体的截口是( )

A ．双曲线

B ．圆

C ．抛物线

D ．椭圆或圆

2．椭圆

(1)定义：平面上到两个定点的距离之____等于____的点的轨迹叫做椭圆．

(2)组成元素：如图所示，F 1，F 2是椭圆的焦点，B 1B 2是F 1F 2的中垂线．

我们把_________叫做椭圆的长轴，_________叫做椭圆的短轴，_________叫做椭圆的焦距．如果长轴为2a ，短轴为2b ，那么焦距2c =_________.

(3)Dandelin 双球探究椭圆性质：如图所示，设球O 1，O 2与圆柱的交线(圆)所在的平面分别为α，γ，椭圆所在的斜截面β与它们的交线分别为l 1，l 2，α，γ与β所成的二面角为θ，母线与平面β的交角为φ.由于α，β，γ都是确定的，因此交线l 1，l 2也是确定的．

①当点P 在椭圆的任意位置时，过P 作l 1的垂线，垂足为Q ，过P 作平面α的垂线，垂足为K 1，连接K 1Q ，得Rt△PK 1Q ，则∠QPK 1＝φ.从而有

PF 1PQ ＝PK 1PQ ＝G 2F 1G 2E

＝______＝定值．

②椭圆上任意一点到焦点F 1的距离与到直线l 1的距离之比为定值______．我们把直线l 1叫做椭圆的一条____．

③椭圆上任意一点到焦点F 2的距离与到直线l 2的距离之比也为定值cos φ，所以l 2是椭圆的另一条准线．

④记e ＝cos φ，我们把e 叫做椭圆的______．

e 的几何意义是，椭圆上一点到焦点的距离与它到准线的距离的比．当e 越接近于1时，c 越接近于a ，从而b 越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，从而b 越接近于a ，椭圆越接近于圆．当e ＝0时，c ＝0，a ＝b ，两个焦点重合，图形就是圆了．可见离心率是刻画椭圆圆扁程度的量．

【做一做2－1】F 1和F 2是椭圆的焦点，P 是椭圆上的任一点，PF 1＝d 1，PF 2＝d 2，则( )

A ．d 1＋d 2是常数

B ．d 1－d 2是常数

C ．d 1d 2是常数

D ．d 1d 2

是常数

【做一做2－2】椭圆的离心率e ＝45

，焦距为8，则长轴长为______． 【做一做2－3】椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则焦距等于( )

A ．6

B ．8

C ．10

D ．3

答案：

1．椭圆 斜交

【做一做1】D 当截面与圆柱的底面平行时，截口是圆，否则是椭圆．

2．(1)和 定长 (2)A 1A 2 B 1B 2 F 1F 2 2a 2－b 2

(3)①cos φ ②cos φ 准线 ④离心率

【做一做2－1】A

【做一做2－2】10 设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为2a ，2b ，2c ，

则由题意，知2c ＝8，故c ＝4.

又e ＝c a ，故长轴长2a ＝2c e ＝845

＝10. 【做一做2－3】A 设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为2a ，2b ，2c ，

则由题意，知2a ＝10，2b ＝8，

故a ＝5，b ＝4，

即2c ＝

2a 2－b 2＝6.

Dandelin 双球探求椭圆性质的过程

剖析：通过一条直线与相离的两个等圆的内公切线的情形，类比为两个半径相等的球在一个平面的两侧均与球相切的情形，从而得到定理1及有关结论，因而对于平面内直线与两个相离的等圆的内公切的情形要注意研究，这有助于理解椭圆和下一节的知识．

圆柱内嵌入两个球，使它们分别位于斜截面的上方和下方，并且与圆柱和斜截面均相切，这是证明定理的关键．这种方法是数学家Dandelin 创立的，故将嵌入的两球称为Dandelin 双球．要注意对于Dandelin 双球的研究．

题型一 椭圆的度量性质

【例题1】已知平面α与一圆柱的母线成60°角，那么该平面与圆柱截口图形的离心

率是( )

A ．32

B ．1

C ．22

D ．12

反思：圆柱形物体的斜截口是椭圆，因此，椭圆的度量性质与底面半径、截面及母线夹角密切相关．

题型二 探讨椭圆的性质

【例题2】如图所示，已知球O 1，O 2分别切平面β于点F 1，F 2，P 1P 2为⊙O 1的一条直径，Q 1，Q 2分别为P 1，P 2在平面β内的平行射影，G 1G 2＝2a ，Q 1Q 2＝2b ，G 1G 2与Q 1Q 2垂直平分，求

证：F 1F 2＝2a 2－b 2.

反思：探究圆柱体的斜截口——椭圆的性质，要仔细考查Dandelin 双球与圆柱及其截平面的关系，综合地应用切线长定理、三角形的相似与全等、解直角三角形，以及平行射影的性质等．

答案：

【例题1】D 平面与圆柱截口图形为椭圆，其离心率e ＝cos 60°＝12

. 【例题2】证明：如图，过G 1作G 1H ⊥BG 2，H 为垂足，

则四边形ABHG 1是矩形．

∴G 1H ＝AB .

∵Q 1，Q 2分别是P 1，P 2的平行射影，

∴P 1Q 1綉P 2Q 2.∴P 1Q 1Q 2P 2是平行四边形．

∴Q 1Q 2=P 1P 2，即Q 1Q 2等于底面直径．

∴G 1H =AB =Q 1Q 2=2b .

又由切线长定理，知G 1A =G 1F 1=G 2F 2，G 2F 1=G 2B ，

∴G 2F 1－G 2F 2=G 2B －G 1A .