代数学引论(近世代数)答案

第一章代数基本概念

习题解答与提示(P54)

1.如果群G中,对任意元素a,b有(ab)2=a2b2,则G为交换群.

证明:

对任意a,b G,由结合律我们可得到

(ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b

再由已知条件以及消去律得到

ba=ab,

由此可见群G为交换群.

2.如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群.

证明: [方法1]

对任意a,b G,

ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)

=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab 因此G为交换群.

[方法2]

对任意a,b G,

a2b2=e=(ab)2,

由上一题的结论可知G为交换群.

3.设G是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法ab,适合条件:

(1)a(bc)=(ab)c;

(2)由ab=ac推出a=c;

(3)由ac=bc推出a=b;

证明G在该乘法下成一群.

证明:[方法1]

设G={a1,a2,…,a n},k是1,2,…,n中某一个数字,由(2)可知若i j(I,j=1,2,…,n),有

a k a i a k a j------------<1>

a i a k a j a k------------<2>

再由乘法的封闭性可知

G={a1,a2,…,a n}={a k a1, a k a2,…, a k a n}------------<3>

G={a1,a2,…,a n}={a1a k, a2a k,…, a n a k}------------<4>

由<1>和<3>知对任意a t G, 存在a m G,使得

a k a m=a t.

由<2>和<4>知对任意a t G, 存在a s G,使得

a s a k=a t.

由下一题的结论可知G在该乘法下成一群.

下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。

[方法2]

为了证明G在给定的乘法运算下成一群，只要证明G内存在幺元(单位元)，并且证明G内每一个元素都可逆即可.

为了叙述方便可设G={a1,a2,…,a n}.

(Ⅰ) 证明G内存在幺元.

<1> 存在a t G，使得a1a t=a1.(这一点的证明并不难，这里不给证明);

<2> 证明a1a t= a t a1;

因为

a1(a t a1)a t=(a1a t) (a1a t)=(a1)2

a1(a1a t)a t=(a1a1)a t=a1(a1a t)= (a1)2,

故此

a1(a t a1)a t= a1(a1a t)a t.

由条件(1),(2)可得到

a1a t= a t a1.

<3> 证明a t就是G的幺元;

对任意a k G,

a1(a t a k) =(a1a t)a k=a1a k

由条件(2)可知

a t a k=a k.

类似可证

a k a t=a k.

因此a t就是G的幺元.

(Ⅱ) 证明G内任意元素都可逆；

上面我们已经证明G内存在幺元，可以记幺元为e，为了方便可用a,b,c,…等符号记G内元素.下面证明任意a G，存在b G，使得

ab=ba=e.

<1> 对任意a G，存在b G，使得

ab=e;

(这一点很容易证明这里略过.)

<2> 证明ba=ab=e;

因为

a(ab)b=aeb=ab=e

a(ba)b=(ab)(ab)=ee=e

再由条件(2),(3)知

ba=ab.

因此G内任意元素都可逆.

由(Ⅰ),(Ⅱ)及条件(1)可知G在该乘法下成一群.

4.设G是非空集合并在G内定义一个乘法ab.证明:如果乘法满足结合律,并且对于任一对

元素a,b G,下列方程

ax=b和ya=b

分别在G内恒有解，则G在该乘法下成一群.

证明：

取一元a G,因xa=a在G内有解, 记一个解为e a ,下面证明e a为G内的左幺元. 对任意

b G, ax=b在G内有解, 记一个解为c,那么有ac=b ,所以

e a b= e a(ac)= (e a a)c=ac=b,

因此e a为G内的左幺元.

再者对任意d G, xd=e a在G内有解,即G内任意元素对e a存在左逆元, 又因乘法满足结合律,故此G在该乘法下成一群.

[总结]

群有几种等价的定义:

(1)幺半群的每一个元素都可逆，则称该半群为群.

(2)设G是一个非空集合，G内定义一个代数运算，该运算满足结合律, 并且G内包含幺

元, G内任意元素都有逆元,则称G为该运算下的群.

(3)设G是一个非空集合，G内定义一个代数运算，该运算满足结合律, 并且G内包含左

幺元, G内任意元素对左幺元都有左逆元,则称G为该运算下的群.

(4)设G是一个非空集合，G内定义一个代数运算，该运算满足结合律, 并且对于任一对

元素a,b G,下列方程

ax=b和ya=b

分别在G内恒有解，则称G为该运算下的群.

值得注意的是如果一个有限半群满足左右消去律, 则该半群一定是群.

5.在S3中找出两个元素x,y,适合

(xy)2x2y2.

[思路] 在一个群G中，x,y G, xy=yx(xy)2x2y2(这一点很容易证明).因此只要找到S3中两个不可交换的元素即可. 我们应该在相交的轮换中间考虑找到这样的元素.

解: 取

x=, y=

那么

(xy)2= x2y2.