耦合电感和变压器

di di ( L1 L2 2 M ) Leq dt dt
i
Leq + u 串联等效 Leq L1 L2 2M Leq L1 L2 2M
顺串等效: 反串等效:
由耦合电感为储能公式
1 1 2 2 w(t ) ( L1 L2 2 M ) i Leq i 0 2 2
开关闭合时
+ I
j ( L1 M )
R1
jM
K
R2
1 jC
U
U 800 I 2 10 18.4A Z 4 1018.4 -
j ( L2 M )
例：求等效电感Leq。 1 4 ° * * • •° 3 6
Leq
2
8
解：两两去耦
4+3 -1+2
例1 列写伏安关系式，电路模型如下图。
a-
i1
* L1
M
i2
L2 *
- c
u1
b +
u2
+ d
di1 di2 u1 uL1 uM 1 L1 M dt dt
di2 di1 u2 uL 2 uM 2 L2 M dt dt
a-
i1

M
i2
L 2
di1 M dt
例2 已知
1 R1 6, R2 6, 12, L1 4, C L2 12, M 6 , U 800
求:开关打开和闭合时的电流。
+
I
R1
jM
* *
jL1
U
jL2
R2
1 jC
K
-
+
U
I
jM
R1
+
U
K
I
R1
* *
jL1
t
t di1 di2 di2 di1 ( L1 M )i1dt ( L2 M )i2 dt dt dt dt dt

u i dt u i
1 1
t
t
2 2
dt
1 2 1 2 L1i1 L2i2 Mi1i2 0 2 2
无源元件
也可以用其VCR和上式代入下式来验证
j ( L1 M )
jM
K
R2
1 jC
jL2
j ( L2 M )
-
R2 1 jC
-
解：这种互感线圈常称自耦变压器。
开关打开时
1 + I Z R1 R2 j ( L1 L2 2 M ) jC j ( L1 M )
R1
12 j16
+c
u1
b -
u2
-
u1
d b -
u2
d
耦合电感的相量(模型)形式为
jL I jMI U 1 1 1 2 jL I jMI U
2 2 2
1
jL1, jL2 称为自
感阻抗 jM 称为互感阻抗
据此可画出相应的相量模型图
8-1-3 耦合电感的储能
w (t )
8-1-1.耦合电感的伏安关系
设两线圈的电压和电流参考方向均各自关联。 由图，磁通方向与电流方向符合右手法则。
12
i1
22
11
21
I

其中 11 表示线圈1电流在 本线圈中产生的磁链，称 i2 为自感磁链；类此有 ； 22
12 表示线圈2的线圈电流 在线圈1中产生的磁链，称 为互感磁链，类此有 21。
图中显示自磁链与互磁链的参考方向一致； 若线圈2改变绕向，如下图所示，则自磁链 与互磁链参考方向将不一致。因此，穿过一 线圈的总磁链有两种可能，分别表示为：
12
i1
22
11
21
i2 1 11 12 L1i1 M12i2
I

2 22 21 L2i2 M 21i1
K a
M
c
根据其VCR，
v um 2
US
+ L1
b
+
L2
d
正偏，a,c同名端
反偏，a,d同名端
-
(2)交流法 原图电源改为正弦电源，开关移去，
a
M
c
+
U S
+ L1
b
直流电压表改为交流电 压表，bd端连接。
L2
d
-
v um2 根据其VCR的相量形式 同样能判定其同名端。
-
根据同名端标记，根据线圈电流和电压的参考 方向，就可以直接列写耦合电感伏安关系。其
得：
L1 L2 2 M 0 1 M ( L1 L2 ) 2
算术平均值
8-2-2 耦合电感的并联
同侧并联:(顺并)同名端两两相接。
异侧并联:(反并)异名端两两相接。 + u -
i
* L1 i1
M
* L2 i2
+
u -
i
L1 L2 M Leq L1 L2 2 M
2
同侧并联
V1 U ac 110 V
例：已知 uS (t ) U m cos t , C , M 也已知。
d w (t ) p(t ) u1i1 u2 i2 dt
8-2 耦合电感的联接及去耦等效
联接方式：串联，并联和三端联接 去耦等效： 耦合电感用无耦合的等效电路去等效。
8-2-1 耦合电感的串联
顺串：异名端相接。反串：同名端相接
* L1 M * L2
L1 * M * L2
i
+ u1 - + u2 -
i
-
+ u1 - + u2 -
+
u 顺串
+
u 反串
-
* L1 M * L2
i
+ u1 - + u2 + u 顺串 -
在图示参考方向下，耦合电感的伏安关系为： (下面推导中，顺串取+，反串取－)
di di di di u u1 u2 L1 M L2 M dt dt dt dt
i1 L1 M L2 M i2
u1
-
+
M
+
u2
-
-
(2)异名端相联
di1 di2 di1 d(i1 i2 ) u1 L1 M ( L1 M ) M dt dt dt dt di2 di1 di2 d(i1 i2 ) u2 L2 M ( L2 M ) M dt dt dt dt
规则：法1：若耦合电感线圈电压与电流的参 考方向为关联参考方向时，自感电压前取正号， 否则取负号；若耦合电感线圈的电压正极性端 与另一线圈的电流流入端为同名端时，则该线 圈的互感电压前取正号，否则取负号。
或：法2：第一步：总认为电压、电流方向 关联(假设电压或电流的参考方向)，这时， 自感电压总是正的,互感电压总是同一符号； 第二步：按要求(消去假设的变量)改变相 应互感电压的符号。
- c
故电路模型也可以用 受控源的形式表示：
u1
b
L1
+
di2 M dt
u2
+
d
当两线圈的电流、电压参考方向关联时， 相应耦合电感的电路模型为：
a+
i1
L1 di2 M dt
M
i2
L2
di1 M dt
a c + +
i1
L1 di2 M dt
M
i2
L 2
M di1 dt
8-2-3 耦合电感的三端联接
将耦合电感的两个线圈各取一端联接起来就成 了耦合电感的三端联接电路。(1)同名端相联; (2)异名端相联. + i1
u
-
* L1
M
i2 * L2
i1 + i2
i1 L1 M
+ -
L2 M i 2
M
+ -
u1
u2
(1) 同名端相联
+ i1
u
* L1
M
i2 L2 * i1 + i2
1.顾名思义,指绕法相同的一对端钮；
a
相同的一对端钮； 当线圈电流同时流入(或流出)该对端钮时， 各线圈中产生的磁通方向一致的这对端钮;
或者说，(1)同名端就是当电流分别流入线 圈时，能使磁场加强的一对端钮；
(2)同名端就是当电流分别流入线圈时，能 使电压增加的一对端钮； (3)产生自感电压与互感电压极性相同的 一对端钮。
式中， uL1 uL2 为自感电压， uM1 uM 2 互感电压， 取正号或负号；可见，耦合电感是一种动态、 有记忆的四端元件。(与电感有类似的特性) 耦合电感的VCR中有三个参数：L1、L2和M。
8－1－2.耦合电感的同名端
耦合线圈自磁链和互磁链的参考方向是否 一致，不仅与线圈电流的参考方向有关， 还与线圈的绕向及相对位置有关，后者不 便画出，故引入同名端的概念。
+ u
i
-
* L1 i1
M
+ L2 u
i
L1 L2 M 2 Leq L1 L2 2 M
* i2
-
异侧并联
图示电压，电流参考方向下，由耦合电 感的伏安关系：
di1 di2 u L1 M dt dt di1 di2 u M L2 dt dt
di1 L2 M u 2 dt L1 L2 M di2 L1 M u 2 dt L1 L2 M