统计学第六版贾俊平第6章

6-3
统计学(第6版)
6. 1
统计量
6. 1 统计量
6.1.1 统计量的概念 统计量是样本的函数，它不依赖于任何未知参 数； 根据不同的研究目的，可构造不同的统计量； 利用构造的统计量，用样本性质推断总体的性 质； 统计量是统计推断的基础，在统计学中占据着 非常重要的地位。
6-5
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X t Y /n
（6. 2）
其分布称为t分布，记为t(n), 其中n为自由度。
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统计学(第6版)
6.3 由正态分布得到的几个重要分布
t分布的密度函数是 一个偶函数，因此 图形是关于t 0对 称的.
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当n充分大时, 其图形 类似于标准正态变量 概率密度的图形.
所以当n足够大时 ，t分布近似于N(0, 1)分布 ；
6.2.3 随机模拟获得的近似分布 1.背景 2.思想 设有一个统计量T(X1，X2，…Xn)，其中n为样本容量， 求统计量T的分布函数F(n)(t)； 可连续作一系列类似试验，每次试验都是从总体中抽 取容量为n的样本，然后计算其统计量的值； 当这种试验进行了N次时，就得到统计量T的N个观测 值：T1，T2，…，TN； 根据这N个观测值可做其经验分布函数FN(n)(t)的一个 很好的近似。
6 - 13
统计学(第6版)
6. 2 关于分布的几个概念
6.2.2 渐近分布 当n无限增大时，统计量T(X1，X2，…Xn)的极限 分布常称为统计量的渐近分布； 第4节中的中心极限定理揭示的就是样本均值的 渐近分布； 不少重要的统计方法就是基于渐近分布提出的。
6 - 14
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6. 2 关于分布的几个概念
充分统计量。
因子分解定理是判别充分统计量的方法，由奈曼和哈尔姆 斯在20世纪40年代提出的。
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6. 1 统计量
充分统计量（算例） 【例6.2】某电子元件厂欲了解其产品的不合格率p，质 检员抽检了100个电子元件，检查结果是，除了前3个是 不合格品（记为X1=1, X2=1, X3=1）外，其他都是合格 品（记为Xi=0, i=4,5,…,100）。当企业领导问及抽检结 果时，质检员给出如下回答： （1）抽检的100个元件中有3个不合格； （2）抽检的100个元件中前3个不合格； 在产品检验中，二项分布的统计量 T X i是不合格 i 1 品率p的充分统计量。
6. 1 统计量
定义6.1 设X1，X2，…Xn是从总体中抽取的容 量为n的一个样本，如果由此样本构造一个函数 T(X1，X2，…Xn)，不依赖于任何未知参数，则称 函数 T(X1，X2，…Xn)是一个统计量。 对于T(X1，X2，…Xn), 也称样本统计量。当获得 样本的一组具体观测值x1，x2，…xn时，代入T， 就是一个具体的统计量值T(x1，x2，…xn) 。
但对于较小的 n, t分布与N(0,1) 分布相差很大.
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6.3 由正态分布得到的几个重要分布
1.设X1，X2，„Xn是来自正态分布N(μ ,σ
2)的一个样本，
1 n X Xi n i1
则
1 n 2 S ( X X ) i n 1 i1
2
n( X ) ～ t(n-1) S
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6. 1 统计量
【 例 6 .1 】 设 X1, X 2 ,, X n 是 从 总 体 X 中 抽 取 的 个 一样 本 ， 则 1 n X Xi n i 1
n 1 2 S2 (X X ） i n 1 i 1 2 都是统计量，而 [(X E (X ） ], [(Xi E (X ） ]/D(X 都 ) i i 1 n
i 1 i 1 n n
3 2
, 称 3为 样 本 偏 度 。
(7) 4
3, 称 4为 样 本 峰 度 。
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6. 1 统计量
6. 1. 3 次序统计量
定义6.2 设（X1，X2，…Xn）是从总体X中抽取的一个样 本,X(i)称为第i个次序统计量,它是样本（X1，X2，…Xn） 满足如下条件的函数： 每当样本得到一组观测值x1， x2，…,xn时，其由小到大的排序x(1)≤ x(2)≤ …≤x(i) ≤ … ≤ x(n) 中，第i个值x(i)就作为次序统计量X(i)的观测值， X(1), X(2) …X(n)称为次序统计量。其中X(1)和X(n)分别 为最小和最大次序统计量 。
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6.3 由正态分布得到的几个重要分布
证明：
X 1 1 X , Y i Yi n i 1 m i 1
n m
Sx
2
1 n 1 m 2 2 (Xi X ) , Sy (Yi Y ) 2 n 1 i 1 m 1 i 1
2
(n 1) S x
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6.3 由正态分布得到的几个重要分布
F分布的性质： 1.若X ~ F(m,n)分布，则数学期望 和方差为 n E(X) , n2 n 2 2n2 (m n 2) D(X) , n 4 m(n 2)(n 4) 2.F分布和t分布的 关系：
2 若随机变量X服从t( n)分布，则X ~ F(1,n).
X ~ N ( ,
2
n
),
即
X
/ n
~ N (0,1)
2
n Xi X 1 n (n 1)S2 2 2 由S (X X ) ， 得 i 2 n 1 i 1 σ σ i 1

(n 1)S2 ~ χ 2 (n 1) 2 σ Xμ n (X μ) σ/ n ~ t(n 1) 2 s (n 1)S 1 σ2 n 1
2 2 3. 2分布的可加性，即若 1 ~ 2(n1), 2 ~ (n2), 2
且独立，则
2 2 1 2 ~ (n1 n2) 2
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6.3 由正态分布得到的几个重要分布
6. 3. 2 t分布
2 定义6. 4 设随机变量X～N(0,1), Y～ (n)，且X与Y独立,则
第6章 统计量及其抽样分布
第6章 统计量及其抽样分布
本章将较系统地介绍统计量的概念，以正态
分布为基础导出常用的几个重要分布，并给出
一些常用统计量的抽样分布。
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统计学(第6版)
第6章 统计量及其抽样分布
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 统计量 关于分布的几个概念 由正态分布导出的几个重要分布 样本均值的分布与中心极限定理 样本比例的分布 两个样本均值之差的分布 关于样本方差的分布
不 是 统 计 量 ， 主 要 是为 因其 中 含 有 依 赖 于 总的 体未 知 参数。
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6. 1 统计量
6.2.2 常用统计量（当n充分大时）
1 n (1) X X i 是 样 本 的 均 值 。 n i 1 S (3)V 是 样 本 的 离 散 系 数 。 X 1 n ( 2)S ( X i X ) 2 是 样 本 方 差 。 n i 1

(n m 2)
nm mn
( X Y ) ( 1 2 ) m n ~ t (n m 2) S xy mn
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( X Y ) ( 1 2 ) mn ~ t (n m 2) S xy mn
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6.3 由正态分布得到的几个重要分布
1 ( X i X )2 n 1 i1
2 2 (n 1)S x (m 1)S y
n
Sy
2
1 m (Yi Y )2 m 1 i1
S xy
nm2
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( X Y ) ( 1 2 ) mn ~ t (n m 2) （6. 4） S xy mn
（6. 3）
称为服从自由度为(n-1)的t分布。
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6.3 由正态分布得到的几个重要分布
1 n 证明： X X i 因为Xi服从正态分布, 所以 n i 1
X 也服从正态分布
1 n E ( X ) EXi n i1
1 n 2 D( X ) 2 D( X i ) n i1 n
2
1 n k ( 4)m k X i ， 称m k 为 样 本 k阶 矩。 n i 1
1 n (5) v k ( X i X )k ， 称为 样 本 k阶 中 心 矩 。 n i 1 (6) 3 n ( X i X )3
i 1 n
n 2 ( X X ) i i 1 n ( Xi X)4 [ ( X i X ) 2 ]2
R(n) = X(n)－ X(1)称为样本极差 中位数、分位数、四分位数都是次序统计量。
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6. 1 统计量
6.1.4 充分统计量 在统计学中，假如一个统计量能把含在样本中有关总体的 信息一点都不损失地提取出来，则对以后的统计推断质量 具有重要意义。 在统计量加工过程中一点信息都不损失的统计量通常称为
E ( X Y ) 1 2 D ( X Y ) D ( X ) D (Y ) X Y ~ N ( 1 2 , ( X Y ) ( 1 2 ) 1 1 n m

2 2
~ (n 1),
2
(m 1) S y
2

2
~ 2 (m 1)
2 X i 服从自由度 i1
n
2
不同容量样本的卡方分布 6 - 17
当自由度增加时， 卡方分布的概率 密度曲线趋于对 称。当n趋于无 穷大时，卡方分 布的极限分布就 是正态分布。
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6.3 由正态分布得到的几个重要分布
2分布的性质 1.数学期望为：E( 2 ) n 2.方差为：D( 2 ) 2n
6. 3. 3 F分布 定义6.5 设随机变量Y与Z相互独立，且Y与Z分别服从自 由度为m和n的 2 分布
Y ~ 2 (m)
Z ~ 2 (n)
（6. 5）
Y/m nY 则称 X Z/n mZ
X服从第一自由度为m，第二自由度为n的F分布，记为 F(m,n)，简记为X～F(m,n) 。
6 - 11
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6. 2 关于分布的几个概念
6. 2 关于分布的几个概念
6.2.1 抽样分布
近代统计学的创始人之一，英国统计学家费希尔曾把 抽样分布、参数估计和假设检验看作统计推断的三个 中心内容。
定义：在总体X的分布类型已知时，若对任一自然数n, 都能导出统计量T(X1,X2, „,Xn)的分布的数学表达式, 这种分布称为精确的抽样分布。 精确的抽样分布大多是在正态总体的情况下得到的。 在正态总体条件下主要有 χ 2分布、t分布和F分布，常 称为统计的三大分布。

)
2
n


2
(n 1) S x
m

2

(m 1) S y
2

2
~ 2 (n m 2)
2
n

2
m
( X Y ) ( 1 2 ) 1 1 n m ( X Y ) ( 1 2 )

S xy
~ N (0, 1)

(n 1) S x 2 (m 1) S y 2 2 2
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6.3 由正态分布得到的几个重要分布
2.设X和Y是两个相互独立的总体，X～N(μ1，σ2)， Y～N(μ2，σ2)，X1，X2，…，Xn是来自X的样本，Y1， Y2， …，Ym是来自Y的样本，记
1 n X Xi n i1
Sx
2
2
1 m Y Yi m i1
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6.3 由正态分布得到的几个 重要分布
6.3 由正态分布得到的几个重要分布
2 6. 3. 1 分布
定义6.3 设随机变量X1，X2，…Xn相互独立, 且Xi (i=1,2,…,n)
服从标准正态分布N(0,1)，则它们的平方和
为n的 分布。
2
n=1 n=4 n=10 n=20