高等数学微积分下第八章

例 2 求过点(1,1,1) ，且垂直于平面 x − y + z = 7 和
3 x + 2 y − 12 z + 5 = 0 的平面方程 的平面方程. r r 解 n1 = {1,−1, 1}, n2 = {3, 2,−12} r r r 取法向量 n = n1 × n2 = {10, 15, 5},
Q (0, b,0) 、 R(0,0, c )（其中a ≠ 0 ，b ≠ 0 ，c ≠ 0 ） ，
求此平面方程. 求此平面方程
解
设平面为 Ax + By + Cz + D = 0,
aA + D = 0, 将三点坐标代入得bB + D = 0, cC + D = 0, D D D ⇒ A=− , B=− , C =− . a b c
三、空间曲线及其方程 1. 空间曲线的一般方程
z 空间曲线可以看作两个曲面的交线．
两曲面的交线
O x
y
z 空间曲线可以看作两个曲面的交线． 两平面的交线
O x
y
它们的交 设F (x，y，z) =0和G (x，y，z) =0是两个曲面方程， z 线为C． 因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个方程， F ( x, y, z ) = 0, 所以应满足方程组 G ( x, y, z ) = 0. 反过来，如果点 M 不在曲 线 C上那么它不可能同时在两个 曲面上， 所以它的坐标不满足此 ， 方程组． 因此， 曲线C可以用上 述方程组来表示． x O C F (x, y, z)=0
一般地，设有三元二次方程 A x 2+A y 2+A z 2+D x +E y+F z+G=0， 这个方程的特点是缺x y ，y z ，z x 各项，而且平方项系数相同， 只要将方程经过配方就可以化成方程 (x−x 0) 2+(y−y 0) 2+(z−z 0) 2=R 2． 的形式， 它的图形就是一个球面．
( 3 ) A = B = 0,
坐标面； 平面平行于 xoy坐标面；
情形. 类似地可讨论 A = C = 0, B = C = 0 情形
例 3 设平面过原点及点(6,−3, 2) ，且与平面
4 x − y + 2 z = 8 垂直，求此平面方程 垂直，求此平面方程.
解 设平面为 Ax + By + Cz + D = 0, 由平面过原点知 D = 0,
( 2 ) 2 x − y + z − 1 = 0, − 4 x + 2 y − 2z − 1 = 0 r r n2 = {−4, 2,−2} n1 = {2,−1, 1}, 2 −1 1 , ⇒ = = 两平面平行 −4 2 −2 Q M (1,1,0) ∈ Π 1 M (1,1,0) ∉ Π 2
第 八 章 平面与直线
§8.1 曲面方程与曲线方程
一、曲面方程及其方程
1. 曲面方程的概念 在空间解析几何中，任何曲面 都可以看作点的几何轨迹． 在这样的意义下，如果曲面 S与三元方程 F(x，y，z)=0
z F(x，y，z )=0 (x，y，z ) M(x，y，z ) S O y
有下述关系：(1)曲面S上任一点的坐标都 满足方程F(x，y，z)=0； x (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x，y，z)=0， 那么，方程F(x，y，z)=0就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方 程F(x，y，z)=0的图形．
两平面平行但不重合． 两平面平行但不重合．
( 3 ) 2 x − y − z + 1 = 0, − 4 x + 2 y + 2z − 2 = 0 2 −1 −1 Q , 两平面平行 = = 2 −4 2 Q M (1,1,0) ∈ Π 1 M (1,1,0) ∈ Π 2 ∴ 两平面重合 两平面重合.
1 1 1 ⇒a= , b= , c= , 6t 6t 6t 6t t
代入体积式
1 1 1 1 1 ∴1 = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒t= , 6 6t t 6t 6
∴ a = 1, b = 6, c = 1,
所求平面方程为 6 x + y + 6 z = 6.
三、两平面的夹角
定义: 定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角. 通常取锐角） 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角（ .
D D D 将 A=− , B=− , C =− , a b c
代入所设方程得
x y z + + =1 a b c
平面的截距式方程
x 轴上截距
y 轴上截距Biblioteka Baidu
z 轴上截距
例 5 求平行于平面6 x + y + 6 z + 5 = 0而与三个坐 标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程. 标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程
设平面上的任一点为 M ( x , y , z ) 必有
r M0M⊥n
r ⇒ M0 M⋅ n = 0
Q M 0 M = { x − x 0 , y − y0 , z − z 0 } ∴ A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
平面的点法式方程 其中法向量 n = { A, B , C }, 已知点 ( x0 , y0 , z0 ). 平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不 平面上的点都满足上方程， 满足上方程，上方程称为平面的方程， 满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程 的图形． 的图形．
r n2
r n1
θ
Π2
Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0, r n1 = { A1 , B1 , C1 }, r Π1 n2 = { A2 , B2 , C 2 },
按照两向量夹角余弦公式有
cosθ =
r
例 1 求 过 三 点 A ( 2 , − 1,4 ) 、 B ( − 1, 3 , − 2 ) 和
C ( 0 ,2 ,3 ) 的 平 面 方 程 .
解
AB = { −3, 4,−6}
AC = {−2, 3,−1}
r 取 n = AB × AC = {14, 9,−1},
所求平面方程为 ( x − 2) + 9( y + 1) − ( z − 4) = 0, 14 化简得 14 x + 9 y − z − 15 = 0.
解
x y z 设平面为 + + = 1, a b c
1 1 QV = 1, ∴ ⋅ abc = 1, 3 2
1
z
o x
y
由所求平面与已知平面平行得 （向量平行的充要条件） a = b = c , 向量平行的充要条件）
1
1
6
1
6
1 1 1 = = , 化简得 6a b 6c
1 1 1 令 = = =t 6a b 6c
由平面过点( 6,−3, 2) 知 6 A − 3 B + 2C = 0
r Q n⊥{4,−1,2},
∴ 4 A − B + 2C = 0
2 ⇒ A = B = − C, 3 所求平面方程为 2 x + 2 y − 3 z = 0.
例4
设平面与 x , y , z 三轴分别交于 P (a ,0,0) 、
M0 R M
这就是建立球心在点M 0(x 0，y 0，z 0)、 半径为R的球面的方程． 特殊地，球心在原点O(0，0，0)、 半径为R的球面的方程为 x 2+y 2+z 2=R 2． x O
y
例4 设有点A(1，2，3)和B(2，−1，4)，求线段AB的垂直平 分面的方程． 解 由题意知道，所求的平面就是与A和B等距离的点的几何 轨迹． 设M(x，y，z)为所求平面上的任一点， 由于 z | AM|=|BM|，
研究以下各组里两平面的位置关系： 例6 研究以下各组里两平面的位置关系： 解 (1) − x + 2 y − z + 1 = 0,
y + 3z − 1 = 0
| −1 × 0 + 2 × 1 − 1 × 3 | cosθ = 2 2 2 2 2 ( −1) + 2 + ( −1) ⋅ 1 + 3 1 1 cosθ = . 两平面相交， 两平面相交，夹角 θ = arccos 60 60
M
所以
( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 + ( z − 3) 2
A
B
= ( x − 2) 2 + ( y + 1) 2 + ( z − 4) 2 ． O 等式两边平方，然后化简得2x−6y+2z−7=0．
y
这就是线段AB的垂直平分面的方程．
x
研究曲面的两个基本问题： 研究曲面的两个基本问题： (1)已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立这曲面的方程； (2)已知坐标x、y和z间的一个方程时， 研究这方程所表示的 曲面的形状． 例5 方程x 2+y 2+z 2−2x+4y=0表示怎样的曲面？ 解 通过配方，原方程可以改写成 (x−1) 2+(y+2) 2+z 2=5． 这是一个球面方程，球心在点M 0(1，−2，0)、 半径为R= 5 ． 比较：球心在点M 0(x 0，y 0，z 0)、半径为R的球面的方程 (x−x 0) 2+(y−y 0) 2+(z−z 0) 2=R 2．
P1 P0 = { x0 − x1 , y0 − y1 , z0 − z1 }
n =
0
A , 2 2 2 A + B +C
B , 2 2 2 A + B +C
C 2 2 2 A + B +C
∴
=
( P1 P0 ) n = ( P P0 ) ⋅ n 0 1
A( x0 − x1 ) B( y0 − y1 ) C ( z0 − z1 ) + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A + B +C A + B +C A + B +C
Ax + By + Cz + D = 0
法向量
平面的一般方程
r n = { A, B , C }.
平面一般方程的几种特殊情况： 平面一般方程的几种特殊情况：
(1) D = 0,
平面通过坐标原点； 平面通过坐标原点；
D = 0, 平面通过 x 轴； ( 2 ) A = 0, 平面平行于x 轴； D ≠ 0, 情形. 类似地可讨论 B = 0 , C = 0 情形
| A A2 + B1B2 + C1C2 | 1 A + B + C ⋅ A + B2 + C2
2 1 2 1 2 1 2 2 2 2
两平面夹角余弦公式 两平面位置特征： 两平面位置特征：
(1) Π 1⊥ Π 2 ⇐⇒ A1 A2 + B1 B2 + C1C 2 = 0;
A1 B1 C1 = = . ( 2) Π 1 // Π 2 ⇐⇒ A2 B2 C 2
Ax0 + By0 + Cz0 − ( Ax1 + By1 + Cz1 ) , = 2 2 2 A + B +C
例3 建立球心在点M 0(x 0，y 0，z 0)、半径为R的球面的方程． 那么|M 0M|=R． 解 设M(x，y，z)是球面上的任一点， 由于 所以 或 | M 0M| = ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 ， z ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 = R， (x−x 0) 2+(y−y 0) 2+(z−z 0) 2=R 2．
所求平面方程为
10( x − 1) + 15( y − 1) + 5( z − 1) = 0,
化简得 2 x + 3 y + z − 6 = 0.
二、平面的一般方程
由平面的点法式方程
A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 ⇒ Ax + By + Cz − ( Ax0 + By0 + Cz0 ) = 0 =D
例7
设 P0 ( x 0 , y0 , z 0 )是平面 Ax + By + Cz + D = 0
外一点， 到平面的距离. 外一点，求 P0 到平面的距离
解
∀ P1 ( x1 , y1 , z1 ) ∈ Π
uuuu r d =|(PP)n | 1 0
r n ⋅P 0
P1 ⋅
N
uuuu r ( P P0 ) n = P P0 ⋅ n0 1 1
y G (x, y, z)=0
上述方程组叫做空间曲线C的一般方程．
§8.2 平面及其方程
z
r n
M
一、平面的方程
M0
1. 平面的点法式方程 如果一非零向量垂直于一平面，这 向量就叫做该平面的法线向量．
x
o
y
法线向量的特征：
垂直于平面内的任一向量． 垂直于平面内的任一向量．
r 已知 n = { A, B , C }, M 0 ( x0 , y0 , z0 ),