电磁场与电磁波 第二章-5 恒定电场

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填充两种ε1、σ1,ε2、σ2的电介质材料, 介质分界面半径为 c ,内
外导体的电压为U0。试计算
(1)介质中的电场强度;
2,2
(2)分界面上的自由电荷
(3)单位长度的电容和电导。
解: (1)考察单位长度
E1r
Jr
1
I
2 r1
, E2r
Jr
2
I
2 r 2
1,1
c
U0
c
a E1rdr
b c
1 ( m)
• 欧姆定理的推导:I J d S S
JS ES
U
El
I
S
l
I
l
S
IR
SJ
l
E
U IR
J E
5
电流密度与电荷平均速度的关系:
dt时间内流过S面的电量及电流分别为:
dq Svdt I Sv J v
S vJ
vdt
6
二、 恒定电流场方程
1 电流连续性方程 2 基尔霍夫电流定律
数值为
Js
dI dl
A/m,方向为电流的方向。
通过任意曲线l 的电流
的电流为
I S JS dl
dl
JS
bupt 2012
4
3 欧姆定律
欧姆定理微分式:
导体任一点上电流密度与电场强度成正比。 J E
描述媒质的导电特性,理想导体σ为趋于无穷大。
是媒质的电导率,单位 1/欧.米 (1/ m)
xb
U
xb x
I
2 r 2
dr
I
2
( 1 ) bI
r x 2x(x b)
半球形接地器的危险区
为保护人畜安全起见 U UO (危险电压取40V)
相应
X0
Ib
2 U0
为危险区半径
在电力系统的接地体附近,要注意危险区。 30
例4.7 双线传输线的导线半径为a,两轴线的距离为 d,传输线周围的介质电导率为。求双线单位长度 的漏电导。
1
1
n
2
2
n
Edl 0 l
E1t E2t
J1t J 2t
1 2
2J1t 1J 2t
23
1E1 cos1 2E2 cos2
E1 sin1 E2 sin2
J1 θ1
σ1
tg1 1
σ2
tg2 2
θ2
J2
此式表明分界面上电流线和电场线发生曲折。
24
四、 恒定电场与静电场的比拟
J:D,:, I :Q,G:C
解1: R dl
l S
式中dl为沿电流方向的长度元, S是垂直
于电流方向的面积, 它可能是坐标变量
的函数,
b
R1 a
d 1 1n b 2 2 a
( / m)
21
解2:假设同轴电缆内外导体间加一直流电压U, 并考虑轴对称,
故沿径向流过同一圆柱面的漏电流密度相等:
E J I ˆ 2
J I ˆ 2 1
7
1 电流连续性方程:
电荷守恒定理:在单位时间从任意闭和曲面 Nhomakorabea出的电量等于此闭和曲面包围体积中电荷的减少率。
SJ
d
S
q t
t
V
dV
SJ d S V JdV
V ( J t )dV 0
J 0
电流连续性方程:
t
恒定电流场,驻立电荷的空间分布不随时间变化。
0
t
• 电流连续性方程: J 0
l S
l
l
l 电动势
14
(4) 导电媒质中的能量损耗(课本2.11.5节)
自由电子的碰撞产生能量损失,由外电场做功补充能量。
P
dW
ur r dqE dl
ur r I E dl
ur ur J Edl S
ur udrt
dt
J EdV
单位体积功率损耗: p J E
P pSl SJ lE IU I 2R U 2 / R
21n
b a
11n
c b
C0
2π1 2
21n
b a
11n
c b
34
导体表面上总的场强为
E Et2 En2 0.565
电场强度与导体表面法向的夹角为
a arctg Et 19.5 En
17
例 4.2 设有一同心金属球, 内外球体之间均匀充满二层电导率分 别为σ1和σ2的导电媒质, σ1、σ2远小于金属球的电导率。 σ1≈σ2, 为 常数。导体球及导电媒质的半径如图所示。 内外球间加有直流电压U0, 极性 如图。试求两区域中恒定电场的 电流、 电流密度、电场强度及 电位的分布。
28
例4.5 浅埋半球形接地器
解:考虑地面的影响用镜像法 处理。此时由静电比拟
C' q
U
1
4
q
a
q r2
dr
4 a
C ,C 4a G 4a G
图2.5.6 浅埋半球形接地器
接地器接地电阻 R 2R ' 1 2 a
29
例 4.6 跨步电压
以浅埋半球接地器为例
J
I
2r2
,
E
J
I
2r2
E2r dr
I 2π
1 (
1
1n
c a
1
2
1n
b c
)
1 c1 b
I 2πU0/( 1 1n a 2 1n c )
32
ur E1
(1n
c
U0
1
1n
b
)r
ur ,E2
(2
1n
U0 c 1n
b
)r
a 2 c
1 a c
(2)内导体表面电荷密度:
s1
1E1r
|r a
a(1n
1U0 c 1
1n
b
)
I lim q dq t0 t dt
2 电流密度:描述电流的空间分布。
•单位时间内垂直穿过的单位
ur J
lim
lim
q /
t

面积的电量。安/米2(A/m2)
S s0 t0
电流强度是电流密度的通量:
ur ur
I S J d S
电流密度:体电流密度矢量J(单位 A/m2)、面电流密度
Js(单位 A/m),线电流密度等情况。
恒定电流连续性方程的微分形式
ur
ur ur
J 0
E E E 0
均匀媒质: 0
E 0
在均匀导体内部虽然有恒定电流, 但没有电荷, 恒定电荷(静电荷) 只能分布在导体的表面上。
10
导体中的恒定电场分析
EE
J
在静电场中的导体:
若内部无恒定电流,导体表面产生感应电荷,感应电 荷激发的感应电场抵消原电场,内部总电场为零。
外导体表面电荷密度:
a 2 c
s2
2 E2r
|rb
b(2
2U0
1n c 1n
b
)
1 a c
33
分界面电荷密度:
s2 (1E1r 2E2r ) |rc
(3)单位长度的电容和电导
U0 c
21
21n
c a
1 2 11n
b c
G I

2π1 2
U0
1 1n b 1 1n c
1 a 2 b
bupt 2012
2
体电流密度
体电流密度矢量J 为垂直穿过单位面积的电流。
数值为 J dI A/m2,方向为电流的方向。 dS
通过任意曲面的电流为:
vv
I S J dS
dS
J
线电流密度: 即是线电流本身。
bupt 2012
3
面电流密度
面电流密度矢量Js(单位 A/m)为垂直穿过单位 线段的电流。
13
(3) 均匀介质中恒定电场的电位
在电源外的导体内: J 0, E 0
J E
E () 2 0
电源外的导体内, 电位函数也满足拉普拉斯方程。
电源内部: J E E'
J E E'
l
J
dl
l
Edl
l
E'
dl
基尔霍夫电压定律
I dl Edl E' dl E'dl
解 (1) 在导体内部只存在Et。
Et dl Etl IR
Et
IR l
20 1 100
0.2
V /m
或者: E J I , R l ,
S S
E IR 0.2 l
16
(2) 因为在导体表面存在恒定电荷, 所以产生的场强是
En
Dn
0
s 0
5 1012 8.85 1012
0.565
12
(2) 恒定电场的无旋性
在导体内部电荷分布保持恒定, 电场分布也为恒定。 不变电荷 产生的稳恒场,所以恒定电场与静电场相同。
E 0
恒定电场也是位场。
l E d l 0
这个特性只在电源外的导体中满足。
在电源内部, 不仅有电荷产生的电场(库仑场), 还有其它局外 电场(非静电力,非库仑场) 。
C G
26
例 4.4 试计算如图所示的深埋在地下的铜球的接地电阻, 设铜球
的半径为a。
解: 大地中任一点的电流密度为
J
I
4r2

E
J
I
4r2

U E dr
I
a
4
a
dr r2
I
4 a
R U 1 ()
I 4 a
式中σ是土壤的电导率。
27
联合接地
VA VB
I
R
R
R’ RG
防止电位反击
25
例如两导体电极间的电容为
蜒 ? C Q U
S1 SdV
2
E dl
EdV E ds
S1 2
S1 2
E dl
E dl
1
1
1
两导体电极间的电导为
G I U
J ds E ds
S1 2
S1 2
E dl E dl
1
1
2
R 1 1E dl

G E ds S1
焦耳定律
15
例 4.1 直径为2mm的导线, 每100 m长的电阻为1 Ω, 当导线中通过 电流20 A时, 试求导线中的电场强度。如果导线中除有上述电流通 过外, 导线表面还均匀分布着面电荷密度为ρs=5×10-12 (C/m2)的 电荷, 导线周围的介质为空气, 试求导线表面上的场强大小和方向。
2-9 恒定电流场
静电场中的导体: E D 0 C
1 电流和电流密度 4恒定电流场和静电场 2 恒定电流场方程 5恒定电流场的能量 3 恒定电流场边界条件
1
一、 电流和电流密度
电流:电荷的定向移动形成电流,方向为正电荷运动的方
向。 分传导电流及位移电流。
1. 电流强度:单位时间流过某 横截面的电荷量。安培(A)
18
解: 设流过两区域的任一同心球面的电流为I。 则两区域中任一
点的电流密度为
J
I
4r2

E1
J
1
I
4 1r2
rˆ, E2
J
2
I
4 2r2

U0
I
c
a E1 dr
b
c E2 dr 4U0
I
4 1
1 a
1 c
I
4
2
1 c
1 b
1
1
1 a
1 c
1
2
1 a
1 b
19
将I分别代入J、E1和E2的表示式, 即得到两个区域中的电流密度 和电场强度。
SJ d S 0
恒定电场没有散度源,电流无头无尾,自行闭合。
8
2 基尔霍夫电流定律:
J1
设电路中一节点为a,在它
a
周围作一个小的闭和曲面:
SJ d S 0
J S1
1
d
S1
J
S2
2
d
S2
J
S3
3
d S3
0
I1 I2 I3 0
J2 J3
9
3. 导电媒质中的恒定电场
(1) 均匀导电媒质中恒定电场的无散性
若内部有恒定电流,导体表面的感应电荷激发的感应 电场无法抵消原电场,内部电场不为零,这种由恒定 电流引发的电场称为恒定电场。
11
静电场和恒定电场: 静电场一般指绝缘介质中的静电场;恒定电场是导 体中的静电场。二者本质相同。 媒质对静电场的影响主要通过介质的极化;媒质对 恒定电场的影响主要通过电流。 维持静电场不需要外部能量;要维持恒定电场,必 须维持恒定电流,有焦耳损耗。
取外金属球为电位参考点, 则区域①(a≤r≤c)中任一点的电位是
1
c r
E1dr
b
c E2dr
I
4
1
1 r
1 c
I
4
2
1 c
1 b
区域②(c≤r≤b)中任一点的电位是
2
b r
E2dr
I
4
1
1 r
1 b
20
例 4.3 一同轴电缆内导体半径为a, 外导体内半径为b, 内外导体间 填充一种介电常数为ε、电导率为σ的电介质材料, 如图。试计算同 轴电缆单位长度的绝缘电阻R1。
b
b
U E d
I ˆ I 1n b
a
a 2 2 a
则单位长度绝缘电阻是
R1
U I
1
2
1n
b a
(Ω/m)
22
三、恒定电场的边界条件
参考静电场相关边界条件的分析方法
电流连续性方程: 所以
S J d s J1ns J2ns 0
J1n J 2n
又由Jn=σEn 和 E = -▽φ,
1E1n 2E2n ,
解:设d>>a,导线电荷密度为
E 2 r 2 (d r)
•• d
da
d a
U Edr
d a
dr
dr
a
a 2 r
a 2 (d r)
ln d a ln a ln d 2 a 2 d a a
q
C
G
U U ln d
ln d
a
a
31
例4.8 一同轴电缆内导体半径为a, 外导体内半径为b, 内外导体间
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