差错控制编码技术

（2）
① 检测e个随机错误，则要求最小码 距d0≥e+1 ② 纠正 t 个随机错误，则要求最小码 距d0≥2t+1； ③ 纠正t个同时检测e（e＞t）个随机 错误，则要求最小码距d0≥t+e+1。
（3）
用差错控制编码提高通信系统的的可 靠性，是以降低有效性为代价换来的。定 义编码效率R来衡量有效性：
2. 监督矩阵H和生成矩阵G
（1） 监督矩阵
我们把 H 称为监督矩阵，或称一致校 验矩阵，一旦 H 给定，信息位和监督位之 间的关系也就确定了。H为 r×n阶矩阵， H矩阵每行之间是彼此线性无关的。H矩阵 可分成两部分，其中P为r×k阶矩阵，Ir为 r×r阶单位阵。能写成H=［PIr］形式的矩 阵称为典型监督矩阵。
令S=BHT，称为伴随式或校正子。
S=BHT=（A+E）HT=EHT
由此可见，伴随式S与错误图样E之间 有确定的线性变换关系，与发送码组 A 无 关。接收端译码器的任务就是从伴随式确 定错误图样，然后从接收到的码字中减去 错误图样。
从以上分析可以得出线性分组码译码 ① 计算接收码组B的伴随式S ② 根据S找出错误图样E，判定误码
8.1 差错控制编码的基本概念
1.
按照噪声或干扰的变化规律，可把信道分 为三类：随机信道、突发信道和混合信道。 恒参高斯白噪声信道是典型的随机信道， 其中差错的出现是随机的，而且错误之间 是统计独立的。具有脉冲干扰的信道是典 型的突发信道，错误是成串成群出现的， 即在短时间内出现大量错误。
差错控制的基本工作方式有4种：前向 纠错、检错重发、混合纠错和反馈校验。
（1） 前向纠错方式
前向纠错方式记作 FEC。发端发送能 够纠正错误的码，收端收到信码后自动地 纠正传输中的错误。其特点是单向传输， 实时性好，但译码设备较复杂。
（2） 检错重发方式
检错重发方式又称自动请求重传方式， 记作ARQ。
（3） 混合纠错方式
混 合 纠 错 方 式 记 作 HEC， 是 FEC 和 ARQ方式的结合。
③ 根据E纠正错误，得到正确的码组 A=E+B。
4. 汉明码
汉明码是一类常见的线性分组码，是 一种能够纠正单个错误的完备码。要纠正 码组中的单个错误，则要求与单个错误图 样对应的伴随式各不相同，且不能为全零。 若码长为 n，监督码元的个数为 r，则要求 2 r-1≥n。码组为汉明码时取等号。即用来 纠正单个错误时，汉明码所用的监督码元 个数最少，效率最高。
（ 4 ） 按照码组中信息码元在编码前 后是否相同可分为系统码和非系统码。 （ 5 ） 按照纠（检）错误的类型可分 为纠（检）随机错误码、纠（检）突发错 误码和既能纠（检）随机错误同时又能纠 （检）突发错误码。
（ 6 ） 按照每个码元的取值可分为二 进码和多进码。
3.
差错编码的基本思想是在被传输信息
（4）
群计数码是将信息码元分组后，计算
每组码元中“1”的个数，然后将这个数目 的二进制表示作为监督码元，一起送往发
送端。
8.2 线性分组码
1. 线性分组码的定义和特点
线性分组码，是指信息码元与监督码 元之间的关系可以用一组线性方程来表示 的分组码，即在（ n，k）分组码中，每一 个监督码元都是码组中某些信息码元按模2 和而得到的，线性分组码是一类重要的纠 错码，应用很广。
R=k/n
其中，k是信息元的个数，n为码长。
4. 常用的几种简单编码
（1） 奇偶监督码
奇偶监督码是在原信息码后面附加一 个监督元，使得码组中“1”的个数是奇数 或偶数，或者说，它是含一个监督元，码 重为奇数或偶数的（ n，n-1）系统分组码。 奇偶监督码又分为奇监督码和偶监督码。
（2） 行列监督码
（2） 生成矩阵
称为生成矩阵，由 G 和信息组就可以
产生全部码字。 G 为 k×n 阶矩阵，各行也
是线性无关的。生成矩阵也可以分为两部
分：其中 Q 为 k×r 阶矩阵， I
k 为 k 阶单位
阵，可以写成式（8-12）形式的G矩阵，称 为典型生成矩阵。非典型形式的矩阵经过 运算也一定可以化为典型矩阵形式。
中增加一些冗余码，利用附加码元和信息
码元之间的约束关系加以校验，以检测和
纠正错误，增加冗余码的个数可增加纠检
错能力。
（1） 码长、码重、码距
编码码组的码元总位数称为码组的长 度，简称码长。 码组中，“ 1 ”码元的数目称为码组 的重量，简称码重。 两个等长码组之间对应位上码元不同 的数目称为这两个码组的距离，简称码距。
奇偶监督码不能发现偶数个错误。为
了改善这种情况，引入行列监督码。这种 码不仅对水平（行）方向的码元，而且对
垂直（列）方向的码元实施奇偶监督。
（3）
码字中1的数目与0的数目保持恒定比 例的码称为恒比码。由于恒比码中，每个 码组均含有相同数目的 1 和 0 ，因此恒比码 又称等重码，定1码。这种码在检测时，只 要计算接收码元中1的个数是否与规定的相 同，就可判断有无错误。
（4） 信息反馈方式
信息反馈方式记作 IF，信息反馈是收 端将接收的消息原封不动地送回发端，由 发端将反馈信息和原发送信息进行比较， 发现错误进行重发，其优点是方法和设备 简单，无需纠（检）错编码的用途不同 可分为检错码、纠错码和纠删码。
（2） 按照信息码元和监督码元之间 的函数关系可分为线性码和非线性码。 （3） 按照对信息元处理方式的不同 可分为分组码和卷积码。
（3） 监督矩阵H和生成矩阵G之
间的关系
由上可知，监督矩阵 H 和生成矩阵 G 之间有一一对应的关系。由于 G 的每一行 都为码字，因此它必然满足式（8-7）
HAT=0T
即
HGT=0T
3. 线性分组码的译码——伴随
式（校正子）S
若某一码字为许用码组，则它必然满 足式（8-7）。利用这一关系，在接收端将 收到的码组和事先与发端约定好的监督矩 阵相乘，看是否为零。若满足条件，则认 为接收正确；反之，则认为传输过程中发 生了错误，进而设法确定错误的数目和位 置。
汉明码的特点如下。 （1） 监督码元的个数r=n-k，码长满 足n=2r-1，则k=n-r。r≥2。 （2） 无论码长n为多少，汉明码最小 码距d0=3。 （3） 其编码效率为