现代光学基础复习课件

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1、8 光线方程
一、特殊情形 n (y)
(ds)2 (dx)2 (dy)2
dy 2 ds 2 ( ) ( ) 1 即 dx dx ds 1 n( y )sin n0 sin 0 dx sin dy 2 n2 ( y) ( ) 2 2 1 dx n0 sin 0
1、4 费马原理
一、表述 光线沿光程为平稳值的路径而传播。

p
Q
n(r )ds 平稳值
路径积分为平稳值的概念，是与邻近路径积分相比较 言的，有三种情况：极小值，极大值，常数。 二、数学表达式
L(QP) n(r )ds L(l )
Q
p
L(l )为平稳值要求其变分为0
L(l ) n(r )ds 0
l1
l2
li ni
ln nn
P
nili
Q
n1 n2
3、在变折射率介质中，光线弯曲，光程为 二、光程与相位差 光在介质中传播时，每传播一个波长的距离,相位落后2 , 故传播l距离所造成的相位落后为2 l . 参照介质分区情况，Q、P点的相位差为
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L(QP) n(r )ds
Q
p
2 li 2 ( p) (Q) l1 l 2 2 2 i 1 2 2 0 已知n 得 ( p) (Q) nili L(QP)
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（1）球差：由主轴上某物点向光学系统发出的单色圆锥形光 束，经光学系统折射后，若原光束不同孔径角的各光线，不能 交于主轴上的同一位置，以至在主光轴的理想平面处，形成一 弥散斑（模糊圈），则光学系统的成像误差称为球差。 （2）彗差：轴外物点用宽光束成像时可能产出的一种像差。 它表现为像方的光束对主光轴失去对称，使得在像面上形成一 个彗星状弥散斑，彗差由此得名。这种像差在很靠近光轴的点 上就会产生。 （3）证明：齐明点位置的傍轴小物可以宽光束严格成像.
QMP 是一条直线而不是折线。则有
i i
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费马原理导出反射角等于入射角，反射线和入射线同在入射面。
3、导出折射定律 设定Q点和P点，求出入射点M的位置以满足光程为极值。 如图所示，在AB线上选一动点M作为待定的入射点。 设 AM = x，MB = d-x
L(QMP) n1QM n2 MP n1 a 2 x 2 n2 b 2 (d x) 2
E ( P, t ) H ( P, t )
光矢量
分量
标量

E ( P, t )
Ex ( P, t ) E y ( P, t ) Ez ( P, t )

U ( P, t )
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其标量波函数的最一般的形式为
U ( P, t ) A( P) cos(t ( P))
2
sin 0
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讨论：空间周期
2 sin 0 T a
例题:P24 作业：1.1，1.3(1)，1.4，1.6(1)
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第二章
波动光学引论
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2、2 定态光波 复振幅描述
一、定态波 具有下述性质的波为定态波 （1）空间各点的扰动是同频率的振动。 （2）波场中各点扰动的振幅不随时间变化，在空间形成一个 稳定的振幅分布。 满足上述要求的光波应当充满全空间。 二、定态光波的标量表示 电磁场

0
0
三、光程与时差 光线经Q点到P点的时间为
c 已知 n v
li t P tQ ti vi
1 1 tP tQ ni li L(QP) c c
光线经Q点到P点的光程等于传播时间 t 乘以真空光速c. 借助光程，便于比较光在不同介质中传播所需时间长短。
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sin i1 v1 sin i2 v2
sin i1 n2 sin i2 n1
7
n2 v1 得到 n1 v2
设入射方为真空，则 n1 1
v1 c 有
c n v
介质折射率等于真空中光速与该介质中光速之比 五、折射率与波长比 已知在介质中波速等于时间频率乘以波长，即 v f 真空中的光速
水波通过狭缝后的衍射图象。
3
2、波的折射定理证明: 根据惠更斯原理，A、B为同 一波面上的两点, A、B发射子波， 经t后， A 点发射的子波达到界面 的 C点， B点的到达D点。
i
A
B
源自文库
BD v1t sin i AD AD AC v2 t sin r AD AD sin i v1 const sin r v2
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二、导出球面折射傍轴成像公式
证明： 傍轴条件：
s, r , x sin u tgu u
Q’成为像点的前提是
n
h
M
n
u
Q
O
C
Q’
L(QMQ) L(QOQ)
L(QOQ) ns nx
s
x
L(QMQ) nQM nMQ n (s ) 2 h 2 n (x ) 2 h 2
要求变分为0，即
n1 x n2 (d x) d L(QMP) 2 2 dx a x b 2 (d x) 2
n1 sin i1 n2 sin i2 0
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1、5
费马原理与成像
一、物像等光程性 理想光学系统成像时，有一个重要的性质，即从物点P 到像点P’的各光线的光程相等，称为物像之间的等光程性。
第一章 费马原理与变折射率光学
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1、1 惠更斯原理
一、原理内容 介质中任一波面上的各点，可以被看作一个新的扰动中心， 称其为子波源，子波源向四周激发子波；下一时刻的波面应当 是这些大量子波面的公共切面；子波中心与其子波面上的那个 切点的连线方向，给出了该处光的传播方向。
t时刻波面
t+t时刻波面
波传播方向
n n n n s s r
单折射面成像的物像关系
小结：1、入射的傍轴同心光束经球面折射后仍为同心光束。 2、 Q与Q′是共轭像点。 3、非傍轴光线不能在计算中忽略高次项。 4、s, s’ ,r正负号的约定。
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例题1：设有一半径为3cm的凹球面,球面两侧的折射率分别 为n = 1，n’ = 1.5，一会聚光束入射到界面上，光束的顶点 在球面右侧3cm处。求像的位置。 解：
i
v2 t
r
v1t
D
r
证毕
C
惠更斯原理不能说明子波的强度分布，也不能解释波动为 什么不会向后传播的问题。
4
1、2
一、定义
折射率
i1
i1' n1 n2 i2
sin i1 n2 sin i2 n1
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二、夫琅禾费谱线
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三、色散 1、一种介质对不同波长 的光具有不同的折射率， 这称为色散。 右图为如一细束白光 可被棱镜分为七色光。 2、正常色散 随波长的增加而介质 的折射率减少。 四、折射率与光速比 根据惠更斯原理导出的折射公式和折射定律的原始形式
d (n 2 ) 则 n2 ( y) n02 (1 ay 2 ) 2an02 y dy d2y a 2 y 代入光线方程 2 dx sin 0
2 2
这与一维谐振子的运动方程 d x dt 0 x 在数学形式上完全 相同。 a 故其通解为简谐函数 y( x) C cos( x 0 )
Q
p
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三、应用 1、导出光沿直线传播定律 在平直空间内，两点之间直线路径最短，折射率为常数， 则光程极小。
2、导出反射定律 如右图所示,M是待求点，使光程 L(QMP) 为极值 引入Q点的镜像对称点
L(QM ) L(QM )
则有 L(QMP) L(QMP)
L(QMP) 有极小值的条件是
2、特点：单根光纤可以传光但不传像；众多光纤集束为光缆 可传像。光线从一端入，从另一端出，而不从外套逸出，故光 能损耗极小。 3、应用：可弯曲传光、传像，可制成各种潜望镜，医用内窥 镜。
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二、梯度型光纤－聚光纤维 1、折射率的变化规律
1 2 n(r ) n0 (1 ar ) 2
2、特点（1）单根可传像。 （2）端面轴上A点发出的光束中的傍轴光线，经过 一段空间周期后，又重聚于 A点。
平面波
球面波
2
二、惠更斯原理的应用 利用惠更斯原理可解释波的衍射、折射等现象。 1、波的衍射 波在传播过程中，遇到障碍物时其 传播方向发生改变，绕过障碍物的边缘 继续传播的现象。 波达到狭缝处，缝上各点都可看作 子波源，作出子波包络，得到新的波前。 在缝的边缘处，波的传播方向发生改变。 当狭缝缩小，与波长相近时，衍射效果 显著。
n n n n s s r
n
n
P
P
n 1.5, n 1, s 3, r 3
s 9cm
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三、齐明点 对于单球面折射，一般都存在一对特殊共轭点，可以宽 光束严格成像，这一对共轭点称为齐明点。 四、阿贝正弦定理 1、傍轴小物：其上的点到光轴 的距离远小于球面曲率半径。 2、置于齐明点位置的傍轴小物 可以宽光束严格成像。用像差的 语言表述为：在齐明点位置的傍 轴小物，既消除了轴上物点产生 的球差，也消除了轴外小物产生 的彗差，且满足阿贝正弦定理。
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（4）阿贝正弦定理（条件）
ny sin u ny sin u
（5）放大率与光锥孔径角正弦值之比的关系 定义放大率 V y 孔径角正弦值之比 W sin u sin u y
n V W 常数 n
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1、7 人工变折射率
一、阶跃型光纤 1、构成:它用高折射率材料做芯线，外包一层低折射率的皮。 光线在芯、皮界面发生全反射，其在芯线内的轨迹是锯齿型的 折线。
: A(P):振幅的空间分布 ; ( P)相位的空间分布；都与t无关。 三、波函数的复数表示
（1） U ( P, t ) A( P)ei (t ( P))
（2）三种典型波的波函数及其复数表示
平面简谐波 U (r , t ) A cos(t k r 0 ) U (r , t ) Aeik r e it ;(0＝0) a1 球面简谐波 U (r , t ) cos(t kr 0 ) r (r , t ) a1 eikr e it U r
c f 0 0 f 0 0 则有 n f
而
f0 f
0 n
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表明，介质折射率等于同一谱线在真空中波长与在该介质 中波长之比。
1、3 光程
一、定义 1、均匀介质光线从Q点到 P点的光程为L(QP) nl 2、介质分区均匀时，光程为
L(QP) n1l1 n2l2
h (2r ) 2r 2r
2 2
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(s ) h s 2s 2r s 2 ( s r )
2 2 2 2 2
2 ( r s ) rs s(1 ) s(1 2 ) 2 s s
1 2
同理
再对x求导一次 得
d2y 1 d (n 2 ) 2 2 2 dx 2n0 sin 0 dy
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二、导出聚光纤维子午光线的径迹 由于光线径迹的轴对称性，可将三维问题转化为二维问题 (x, y)。 1 2 2 2 2 聚光纤维的折射率函数为 n ( y ) n0 (1 ay ) 2 2 当折射率函数为慢变时，有 ay 1
应用费马原理,采用反证法证明物像之间的等光程性： 如图所示，物点P发出的同心光束，通过系统之后成 为中心在像点P’的同心光束。在这同心光束中连续分布着 无数多条实际的光线路径。 根据费马原理， 它们的光程 应取极大值或极小值，或常数。如果其中一条光线是极大 或极小，就意味着与它邻近的光线不处于平稳值，违背费 马原理。只能是物点到像点的光线光程相等。
rx ( x ) h x(1 2 ) x
2 2
代入等光程方程
rs rx ns(1 2 ) nx(1 2 ) ns nx s x
化简得
n n n n s x r
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在傍轴条件下，由物点Q发出的一窄光束，经单球面折射可 近似成像于Q′点，用S’表示像距，则物像距公式为