空间解析几何-第2章-空间的平面与直线
空间解析几何知识点
空间解析几何知识点在数学中，解析几何是研究几何图形与代数表达式之间关系的分支学科。
解析几何广泛应用于物理、工程学和计算机图形学等领域。
而在解析几何中，空间解析几何是其中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的几何形状和位置关系。
本文将就空间解析几何的一些重要知识点进行探讨。
一、平面与直线的表示在空间解析几何中，平面和直线是两个基本的几何概念。
我们可以通过向量和点坐标来表示平面和直线。
对于平面来说，如果已知平面上的一个点A和两个不共线的向量AB和AC，那么平面上的任意一点P都可以表示成向量AP的线性组合，即P=A+x(AB)+y(AC)，其中x、y为实数。
而对于直线来说，如果已知直线上的一个点A和一个不为零的向量u，那么直线上的任意一点P都可以表示成P=A+tu，其中t 为实数。
二、平面与平面的位置关系在空间解析几何中，平面与平面的位置关系有三种情况：相交、平行和重合。
我们可以通过向量来判断平面与平面的位置关系。
如果两个平面的法向量不平行，那么它们一定相交于一条直线；如果两个平面的法向量平行但不重合，那么它们一定平行；如果两个平面的法向量相等，那么它们重合。
三、直线与直线的位置关系在空间解析几何中，直线与直线的位置关系也有三种情况：相交、平行和重合。
我们同样可以通过向量来判断直线与直线的位置关系。
如果两条直线的方向向量不平行，那么它们一定相交于一个点；如果两条直线的方向向量平行但不重合，那么它们一定平行；如果两条直线的方向向量相等，并且经过它们的一点也相等，那么它们重合。
四、平面与直线的位置关系在空间解析几何中，平面与直线的位置关系也有三种情况：相交、平行和包含。
对于平面与直线的相交关系，我们可以通过求解平面与直线的交点来判断。
如果平面与直线有且只有一个交点，那么它们相交；如果平面与直线没有交点，那么它们平行；如果平面包含直线，那么它们重合。
五、球面与直线的位置关系在空间解析几何中，球面与直线的位置关系也有三种情况：相交、不相交和切线。
《解析几何》知识点总结：第2章-平面与直线
第二章平面与直线一、直角坐标系、放射坐标系以及直角坐标系中的向量计算1.直角坐标系和放射坐标系（1）定义5.1：i ，j ，k 以O 为起点，为单位向量且两两垂直，则O ；i ，j ，k 为空间的一个以O 为原点的直角标架或直角坐标系，记为{O ；i ，j ，k }。
如果向量形成右手系，则成为右手直角标架或右手直角坐标系。
i ，j ，k 称为该直角坐标系的基向量。
（2）定义5.2：不要求i ，j ，k 为单位向量且两两垂直，只要求不共面，则称为仿射标架或放射坐标系。
（3）定理5.1：v =x i +y j +z k ，称（x ，y ，z ）为向量v 在该坐标系{O ；i ，j ，k }下的坐标，记为v =（x ，y ，z ）。
（4）定义5.3：规定P 的坐标为向量→OP 的坐标，向量→OP 称为P 点的定位向量或矢径。
（5）8个卦限（逆时针，上层，右下角），x 轴为一半长。
2.直角坐标系中的向量运算（1）线性运算（仿射可）①a ±b =（a 1±b 1，a 2±b 2，a 3±b 3）；②λa =（λa 1，λa 2，λa 3）；（2）内积（仿射不可）①a ·b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3；②|a |=232221a a a ++；③cos∠（a ，b ）=232221232221332211b b b a a a b a b a b a +++++++；cosα=2322211a a a a ++；cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1；·向量a 与x、y、z 轴的夹角称为向量a 的方向角，其余弦称为a 的方向余弦。
·把与三个方向余弦成比例的三个数（该向量的坐标），称为该向量的一组方向数。
（3）外积（仿射不可）a ×b =（a 2b 3-a 3b 2）i +（a 3b 1-a 1b 3）j +（a 1b 2-a 2b 1）k （4）混合积（仿射不可）（a ，b ，c ）=321212131313232c b b a a c b b a a c b b a a ++3.距离公式和定比分点公式（1）距离公式21221221221z -z y -y x -x ）（）（）（++=P P （2）定比分点公式（坐标形式）：P 1P=λPP 2λλλλλλ++=++=++=1z 1y y 1x 212121z z y x x ；；·中点公式：⎪⎭⎫⎝⎛+++2a ,2a ,2a 332211b b b ·重心公式：⎪⎭⎫⎝⎛++++++3c a ,3c a ,3c a 333222111b b b 4.题型①向量运算二、平面方程1.平面方程（1）平面的向量形式的点法式方程：N ·（P -P 0）=0平面的坐标形式的点法式方程：A （x-x 0）+B （y-y 0）+C （z-z 0）=0——平面法向量[垂直]N =（A ，B ，C ）（2）平面的一般式方程（普通方程）：Ax+By+Cz+D=0（A ，B ，C 不能同时为0）平面的一般式方程（向量形式）：N ·P+D=0定理6.1：平面方程是三元一次方程，反之三元一次方程必表示平面。
空间直线与平面的方程及其位置关系
空间直线与平面的方程以及位置关系高天仪 20101105295数学科学学院 数学与应用数学专业 10级汉二班指导教师 李树霞摘 要 解析几何中，在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这一工具，通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的。
平面与空间直线方程的建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些稽核对象的方程的代数问题了。
关键词 空间直线、方向向量、参数方程、方向数1 空间直线的方程1.1 直线的对称式（点向式）方程空间给定了一点0M 与一个非零向量v ,那么通过点0M 且与向量v 平行的直线l 就被唯一确定,向量v叫直线l 的方向向量.任何一个与直线l 平行的非零向量都可以作为直线l 的方向向量.直线l 过点),,(0000z y x M ,方向向量{}Z Y X v ,,= .设),,(z y x M 为l 上任意一点,00r OM =, r OM =,由于M M 0与v (非零向量)共线, 则 v t r r =-0 即 v t r r +=0 （1.1-1）叫做直线l 的向量式参数方程，（其中t 为参数）。
如果设},,{0000z y x r = ，},,{z y x r = 又设},,{Z Y X v = ，那么（1.1-1）式得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=Zt z z Yt y y Xt x x 000 （1.1-2）（1.1-1）叫做直线l 的坐标式参数方程。
消参数t 即得 Z z z Y y y X x x 000-=-=- (1.1-3) 则(1.1-3)叫做直线l 的对称式方程或称直线l 准方程。
例1 求通过空间两点),,(1111z y x M ，),,(2222z y x M 的直线方程。
解 取21M M v =作为直线l 的方向向量，设),,(z y x M 为直线l 上的任意点（如右图），那么},,,{12121212z z y y x x r r M O r ---=-== 所以直线l 的向量式参数方程为：);(121r r t r r -+= （1.1-4）坐标式参数方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-==-+=)()()(121121121z z t z z y y y y x x t x x （1.1-5）对称式方程为 121121121z z z z y y y y x x x x --=--=-- （1.1-6） 方程（1.4-4）（1.4-5）（1.4-6）都叫做直线l 的两点式方程。
空间解析几何中的直线与平面的夹角公式
空间解析几何中的直线与平面的夹角公式在空间解析几何中，直线与平面的夹角是一个重要的概念。
它可以帮助我们描述直线与平面之间的关系，并在实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍空间解析几何中直线与平面的夹角公式，包括其推导过程和应用方法。
一、直线与平面的夹角定义及性质首先，我们来定义直线与平面的夹角。
给定一条直线 l 和一个平面α，直线 l 与平面α 的夹角定义为直线上某一点到平面的距离最短的线段与平面的夹角。
直线与平面的夹角具有以下性质：1. 不同位置的点到平面的距离最短的线段与平面的夹角相等；2. 直线与平面的夹角等于其余直线与平面中该点的连线与平面的夹角的最小值。
二、直线与平面的夹角公式的推导为了求解直线与平面的夹角，我们需要首先推导出夹角的计算公式。
下面，我们通过几何推导的方法来得到直线与平面的夹角公式。
假设直线 l 的方程为：l: (x-x1)/m = (y-y1)/n = (z-z1)/p平面α 的方程为：α: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0其中，(x1, y1, z1) 是直线上的一点，(x0, y0, z0) 是平面上的一点，A、B、C 是平面的法向量的分量。
将直线和平面的方程联立，我们可以得到：A[(x-x1)/m] + B[(y-y1)/n] + C[(z-z1)/p] = 0化简后，得到：Ax + By + Cz = D其中，D = Ax1 + By1 + Cz1。
因此，直线 l 与平面α 的夹角公式可以表示为：cos(θ) = |Ax0 + By0 + Cz0 - D| / (A² + B² + C²)^(1/2)其中，θ 表示直线与平面的夹角。
三、直线与平面的夹角公式的应用直线与平面的夹角公式在解决空间解析几何问题中起到了重要的作用。
下面，我们将介绍几个典型的应用场景。
1. 直线与平面的垂直关系判定当直线与平面的夹角为 90 度时，称直线与平面垂直。
空间解析几何教学大纲
《空间解析几何》课程教学大纲一课程说明1.课程基本情况课程名称：空间解析几何英文名称：Analytic geometry课程编号：2411207开课专业：数学与应用数学开课学期：第1学期学分/周学时：3/3课程类型：专业基础课2．课程性质（本课程在该专业的地位作用）本课程是数学与应用数学及信息与计算机科学专业的一门专业基础课，是初等数学通向高等数学的桥梁，是高等数学的基石，线性代数，数学分析，微分方程，微分几何，高等几何等课程的学习都离不开空间解析几何的基本知识及研究方法。
空间解析几何是用代数的方法研究几何图形的一门学科，是从初等数学进入高等数学的转折点，是沟通几何形式与数学关系的一座桥梁。
3．本课程的教学目的和任务通过本课程的学习，学生在掌握解析几何的基本概念的基础上，树立起空间观念。
使学生受到几何直观及逻辑推理等方面的训练，扩大知识领域，培养空间想象能力以及运用向量法与坐标法计算几何问题和证明几何问题的能力，并且能用解析方法研究几何问题和对解析表达式给予几何解释，为进一步学习其它课程打下基础；另一方面加深对中学几何理论与方法的理解，从而获得在比较高的观点下处理几何问题的能力，借助解析几何所具有的较强的直观效果提高学生认识事物的能力。
4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求本课程的教学，要求学生熟练掌握用代数的方法在空间直角坐标系下，研究平面、空间直线、柱面、锥面、旋转曲面和二次曲面等几何图形的性质，能对坐标化方法运用自如，从而达到数与形的统一。
了解二次曲线的一般理论和二次曲面的一般理论。
以培养学生掌握解析几何的基础知识为主，着力培养学生运用解析几何的思想和方法解决实际问题的能力，以及娴熟的矢量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力，为后续课程的学习打下良好的基础。
5．教学时数及课时分配二教材及主要参考书1.李养成，《空间解析几何》，科学出版社。
2.吴光磊、田畴编，《解析几何简明教程》，高等教育出版社。
解析几何第二章第一二节
0 2,
z
( M ( x, y, z )) M (r, , z )
z .
x
o
r
P(r , )
y
如图，三坐标面分别为
圆柱面； 为常数 半平面； z 为常数 平 面． 柱面坐标与直 角坐标的关系为 x r cos , y r sin , z z.
y
y
作业：P52
3,5,7
§2 平面的方程
1.1平面的参数方程和一般方程 1.2 两平面的相关位置 1.3三平面恰交于一点的条件
M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) ，向量 1 ( X 1 ,Y1 , Z1 ) 和向量 ) 2( X 2 ,Y2 , Z 2，其中 1 与 2 不共线， 求由点 M 0 和 1 2 确定的平面 的方程。 z M x , y , z 在平面上 点 2 M M0 M 0 M 与v1 ,v2 共面 e3 e 2 1 v1 // v2 o y e1 M 0 M , v1 , v2共面,则存在唯一的一对实数 x , 使得： M 0 M v1 v2 .
三元二次方程：Ax By Cz Dxy Eyz Fzx Gx Hy Kz L 0 若A B C 0, D E F 0，整理得：
2 2 2
x y z 2b1 x 2b2 y 2b3 z c 0;
2 2 2
( x b1 ) ( y b2 ) ( z b3 ) b1 b2 b3 c .
2. 如果取u, v (a≤u≤b, c≤v≤d)的一切可能 取值，向量 r ( u, v ) x( u, v )e1 y( u, v )e2 z(u, v )e3 的终点 M 总在一个曲面上；反过来， 在这个曲面上的任意点M总对应着以它为 终点的向量, 且该向量可由u, v的值通过 (a≤u≤b, c≤v≤d)完全决定； 那么我们就把上式叫做曲面的向量式参 数方程，其中u, v为参数.
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的点、直线和平面，以及它们之间的关系和性质。
通过解析几何，我们可以更好地理解和描述三维空间中的几何图形，从而解决与空间相关的问题。
一、平面方程在空间解析几何中，平面是一个基本概念。
为了方便研究和描述平面，我们需要找到一种方式来表示平面。
平面方程就是用来表示平面的一种方式。
一个平面可以由一个点和一个法向量确定。
假设平面上的一点为P，法向量为n，那么平面的方程可以表示为Ax + By + Cz +D = 0，其中A、B、C和D是常数。
这就是平面的一般方程。
二、直线方程与平面类似，直线也是空间解析几何中的一个重要概念。
为了描述直线，我们同样需要找到一种方式来表示它。
直线方程可以通过点和向量来确定。
设直线上的一点为P，方向向量为v，那么直线的方程可以表示为x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct，其中x0、y0、z0是直线上的一点的坐标，a、b、c是方向向量v的分量，t是参数。
三、直线与平面的位置关系在解析几何中，直线与平面的位置关系也是一个重要的问题。
直线可以与平面相交、平行或重合。
为了判断直线和平面的位置关系，我们可以通过求解方程组来解决。
假设直线的方程为L：x = x0 + at，y =y0 + bt，z = z0 + ct，平面的方程为P：Ax + By + Cz + D = 0。
将直线方程代入平面方程，将得到一个关于参数t的一元方程。
如果这个方程有解，那么直线与平面相交；如果方程无解，那么直线与平面平行；如果方程有无穷多解，那么直线与平面重合。
四、空间曲线除了点、直线和平面，空间解析几何还涉及到更为复杂的空间曲线。
空间曲线可以由参数方程、一般方程或者向量方程来表示。
不同的曲线有着不同的性质和特点，如曲率、切线等。
通过研究空间曲线，我们可以理解曲线在空间中的运动和变化规律。
总结：空间解析几何是数学中的一个重要分支，通过解析几何的方法，我们可以更好地研究和描述空间中的几何图形。
解析几何中的空间直线与平面的关系
解析几何是数学的一个重要分支，研究的是在坐标系中描述和研究几何图形的方法。
在解析几何中，空间直线和平面是两个基本的几何图形，它们之间存在着密切的联系和相互作用。
首先，我们来看空间直线和平面的定义。
在三维坐标系中，空间直线可以用参数方程形式表示为：$$\begin{cases}x=x_0+at \y=y_0+bt \z=z_0+ct\end{cases}$$其中$x_0, y_0, z_0, a, b, c$为常数。
这个参数方程表示了空间中直线上的一切点，这些点在三个坐标轴上的坐标满足这个方程。
而平面则由一个点和两个不共线的向量确定，其一般方程为：$$Ax+By+Cz+D=0$$其中$A, B, C$为平面的法线向量，$D$为平面的常数项。
这个方程表示了平面上的一切点，这些点满足这个方程所描述的平面条件。
然后我们来研究空间直线与平面的关系。
一个空间直线与一个平面可以有以下几种情况：1.直线与平面相交：这种情况下，直线与平面上的某个点有交点。
设直线的参数方程为$P(x, y, z)=P_0+t\mathbf{v}$，平面的方程为$Ax+By+Cz+D=0$。
那么直线与平面有交点的充分必要条件是这两个方程有解，即满足：$$Ax_0+By_0+Cz_0+D+t(Aa+Bb+Cc)=0$$从中可以解出参数$t$的值，进而得到交点的坐标。
2.直线与平面平行：这种情况下，直线的方向向量与平面的法向量平行，即：$$\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} = 0$$其中$\mathbf{v}$是直线的方向向量，$\mathbf{n}=(A,B,C)$是平面的法向量。
3.直线在平面内：这种情况下，直线的方向向量与平面的法向量垂直。
设直线的方向向量为$\mathbf{v}=(a, b, c)$，平面的法向量为$\mathbf{n}=(A, B, C)$，则直线在平面内的条件为：$$\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} = aA+bB+cC=0$$接下来我们来研究直线和平面的距离。
空间解析几何-第2章 空间的平面与直线ppt
例 2 求过点(1,1,1)，且垂直于平面x y z 7和
3x 2 y 12z 5 0的平面方程.
解 n1 {1,1,1}, n2 {3,2,12}
取法向量
n
n1
n2
{10,
15,
5},
求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0,
aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0,
cC D 0,
A D, B D, C D.
a
b
c
将A D, B D, C D,
z
c
a
b
c
代入所设方程得
o
法向量 n {A, B,C}.
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
平面一般式方程的几种特殊情况：
(1) D 0, 平面通过坐标原点；
D 0, 平面通过 x轴；
(2)
A
0,
D
0,
平面平行于 x轴；
类似地可讨论 B 0, C 0 情形.
(3) A B 0, 平面平行于xoy 坐标面；
解析几何
第2章 空间的平面与直线
2019/9/2
§2.1.1 平面的方程
一、平面的点法式方程
z
n
如果一非零向量垂直
M0
M
于一平面，这向量就叫做
该平面的法线向量．
o
y
x
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
已知 n { A, B, C}, M0( x0 , y0 , z0 ),
《空间解析几何》课件
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通过参数方程表示曲面的形式，如x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)。
曲面方程
表示三维空间中曲面的方程形式，如z = f(x, y)。
空间曲线的方程
1 2
参数曲线
通过参数方程表示曲线的形式，如x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)。
空间曲线
表示三维空间中曲线的方程形式，如F(x, y, z) = 0。
空间解析几何的应用领域
总结词
空间解析几何在许多领域都有广泛的应用。
详细描述
在物理学中，空间解析几何用于描述物理现象的空间关系，如力学、电磁学和光学等领 域。在计算机图形学中，空间解析几何用于建模和渲染三维场景。在工程学中，空间解 析几何用于设计和分析机械、建筑和航空航天等领域中的物体和结构。此外，空间解析
03
空间平面与直线
空间平面的方程
平面方程的基本形式
Ax + By + Cz + D = 0
特殊平面
平行于坐标轴的平面、过原点的平面、与坐标轴垂直的平面
参数方程
当平面过某一定点时，可以用参数方程表示平面的方程
空间直线的方程
直线方程的基本形式
Ax + By + Cz = 0
特殊直线
与坐标轴平行的直线、过原点的直线、与坐标轴垂直的直线
利用代数方法，如向量运算、线性代数等， 求解空间几何问题。
几何意义
将代数解转化为几何意义，解释其实际意义 。
如何理解空间几何中的概念？
向量的概念
理解向量的表示、向量的加法、数乘以及向量的模 等基本概念。
空间解析几何中的直线与平面的距离公式
空间解析几何中的直线与平面的距离公式空间解析几何中直线与平面的距离公式空间解析几何是数学中的重要分支，其中直线与平面的距离是一个常见的问题。
本文将介绍直线与平面之间的距离计算公式，并探讨其应用。
一、直线与平面的距离公式在空间解析几何中，直线和平面都可以通过一般式方程表示。
设直线的方程为Ax+By+Cz+D=0，平面的方程为Ex+Fy+Gz+H=0。
1. 直线与平面的距离公式直线与平面的距离可以通过以下公式计算：d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)其中，(x₀, y₀, z₀)为直线上一点的坐标。
2. 推导过程为了理解直线与平面距离公式的推导过程，我们首先需要了解两个概念：点到平面的距离和向量的投影。
点到平面的距离可以通过以下公式计算：d = |Ex₀ + Fy₀ + Gz₀ + H| / √(E² + F² + G²)其中，(x₀, y₀, z₀)为平面上一点的坐标。
向量的投影可以通过以下公式计算：proj_u(v) = (v · u) / |u|其中，v和u分别为两个向量，且u不为零向量。
通过将直线与平面的距离转化为点到平面的距离，我们可以进行以下推导：将直线的一般式方程转化为参数方程：x = x₀ + aty = y₀ + btz = z₀ + ct其中，(x₀, y₀, z₀)为直线上一点的坐标，(a, b, c)为直线的方向向量的分量。
将直线上一点的坐标代入平面的方程，得到点到平面的距离表达式：d = |Ex₀ + Fy₀ + Gz₀ + H| / √(E² + F² + G²)由于点(x, y, z)在直线上，所以直线上的点向量与直线的方向向量垂直，即向量(u = (x - x₀, y - y₀, z - z₀))·(a, b, c) = 0。
空间解析几何计算直线和平面的交点和距离
空间解析几何计算直线和平面的交点和距离空间解析几何是数学中的一个重要概念，它研究了空间中的点、直线和平面之间的关系。
在解析几何中，计算直线和平面的交点以及它们之间的距离是非常常见的问题。
本文将介绍如何计算直线和平面的交点，并给出计算它们之间距离的方法。
一、直线和平面的交点计算方法在空间解析几何中，直线和平面的交点可以通过求解直线和平面的联立方程得到。
设直线的参数方程为：$$\begin{cases}x = x_0 + at \\y = y_0 + bt \\z = z_0 + ct \\\end{cases}$$其中 $(x_0, y_0, z_0)$ 是直线上一点的坐标，$a, b, c$ 是方向向量的系数，$t$ 是参数。
设平面的方程为：$$Ax + By + Cz + D = 0$$其中 $A, B, C$ 是法向量的分量，$(x, y, z)$ 是平面上的一点的坐标，$D$ 是平面的常数项。
将直线的参数方程带入平面的方程中，消去参数 $t$，即可得到直线和平面的联立方程：$$A(x_0 + at) + B(y_0 + bt) + C(z_0 + ct) + D = 0$$将上式整理，得到关于参数 $t$ 的一元二次方程：$$(at + x_0)A + (bt + y_0)B + (ct + z_0)C + D = 0$$解这个方程可得到参数 $t$ 的值，将 $t$ 带回直线的参数方程即可得到交点的坐标。
二、直线和平面之间的距离计算方法直线和平面之间的距离可以通过点到平面的距离公式计算得到。
设直线上一点的坐标为 $(x_1, y_1, z_1)$，平面的方程为 $Ax + By + Cz +D = 0$，则点 $(x_1, y_1, z_1)$ 到平面的距离为：$$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$其中分子是点到平面的带符号距离，分母是平面的法向量的模。
空间解析几何的平面与直线位置关系
空间解析几何的平面与直线位置关系空间解析几何是现代数学中的一个重要分支，研究了平面和直线在三维空间中的位置关系。
平面和直线是空间解析几何中的基本要素，它们的位置关系对于很多几何问题的解决具有重要意义。
本文将就空间解析几何中平面与直线的位置关系进行探讨。
一、平面的一般方程在空间解析几何中，一个平面可以用一般方程表示，假设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为常数。
根据坐标系中的直角坐标，平面上的点(x, y, z)必须满足该方程。
我们可以通过方程的系数(A、B、C)来判断平面与坐标轴之间的关系。
1. 若A、B、C都不为零，则该平面与坐标轴相交，且相交点称为平面的截距。
2. 若有两个系数同时为零，那么该平面平行于一个坐标轴。
3. 若有一个系数为零，那么该平面平行于两个坐标轴，且与含有零系数的坐标轴相交。
二、直线的参数方程与一般方程在空间解析几何中，一条直线可以用参数方程或者一般方程表示。
1. 参数方程：设直线上一点为P（x, y, z），直线的方向向量为a （α, β, γ），则直线的参数方程可表示为x = x0 + αt，y = y0 + βt，z = z0 + γt，其中（x0, y0, z0）是直线上一点，t为参数。
2. 一般方程：直线的一般方程可表示为（x - x0）/ α = (y - y0) / β = (z - z0) / γ，其中（x0, y0, z0）是直线上一点，（α, β, γ）为直线的方向向量。
三、平面与直线的位置关系平面与直线的位置关系主要有以下几种情况：1. 平行关系：当平面与直线的法向量平行时，平面与直线是平行的。
两者的法向量都可以表示为（A, B, C），则有方程组A = α，B = β，C = γ，其中（α, β, γ）为直线的方向向量。
如果方程组无解，则平面与直线平行。
2. 相交关系：当平面与直线的法向量不平行时，平面与直线将相交。
空间解析几何中的直线与平面的性质与应用
空间解析几何中的直线与平面的性质与应用空间解析几何是研究空间中几何图形的位置关系和性质的一门数学学科。
其中，直线和平面是空间解析几何的基本概念，它们具有许多重要的性质和广泛的应用。
本文将介绍直线与平面的性质，以及它们在空间解析几何中的应用。
一、直线的性质与应用1. 直线的方程和向量表示直线可以通过方程或者向量表示。
若用方程表示，一般采用点向式、方向向量式或者对称式。
若用向量表示，则可以使用点向式或者参数式。
直线的方程形式可以根据具体问题选择合适的表示方式。
2. 直线与直线的位置关系两条直线的位置关系可以分为平行、相交和重合三种情况。
判断直线之间的位置关系可以通过直线的方向向量或者解直线方程得到，并且可以根据具体问题选择合适的方法求解。
3. 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系可以分为平行、相交和垂直三种情况。
判断直线与平面之间的位置关系可以通过直线的方向向量与平面的法向量之间的关系来确定，并且可以通过解直线方程和平面方程得到具体的位置关系。
4. 直线与直线的距离和角度直线与直线之间的距离可以通过向量表示和点到直线的距离公式计算得到。
两条直线之间的角度可以通过直线的方向向量之间的夹角来求解。
直线的距离和角度计算有助于解决实际问题中的定位和测量等应用。
二、平面的性质与应用1. 平面的方程和向量表示平面可以通过方程或者向量表示。
若用方程表示，一般采用点法式或者一般式。
若用向量表示，则可以使用点法式、法向量式或者参数式。
平面的方程形式可以根据具体问题选择适当的表示方式。
2. 平面与平面的位置关系两个平面的位置关系可以分为平行、相交和重合三种情况。
平面之间的位置关系可以通过其法向量之间的关系来判断，并通过求解平面方程得到具体的位置关系。
3. 平面与直线的位置关系平面与直线的位置关系可以分为平行、相交和垂直三种情况。
判断平面与直线之间的位置关系可以通过直线的方向向量和平面的法向量之间的关系来确定，并可以通过解直线方程和平面方程得到具体的位置关系。
空间解析几何教学大纲
《空间解析几何》教学大纲课程代码：090131103课程英文名称：Analytic Geometry课程总学时：32 讲课：32 实验：0 上机：0适用专业：信息与计算科学大纲编写（修订）时间：2017.11一、大纲使用说明（一）课程的地位及教学目标《空间解析几何》是信息与计算科学专业的一门重要基础课，是初等数学通向高等数学的桥梁，是高等数学的基石，高等代数，数学分析，微分方程，微分几何，等课程的学习都离不开空间解析几何的基本知识以及研究方法。
空间解析几何是用坐标法，把数学的基本对象与数量关系密切联系起来，它对整个数学的发展起了很大作用。
通过本课程的教学，使学生受到几何直观化及逻辑推理等方面的训练，扩大知识领域，培养抽象的空间想象能力，运算能力和逻辑思维能力，能运用解析方法研究几何图形的性质，并对解析表达式予以几何解释，为进一步学习基础课程打下坚实基础。
同时通过学习，进一步提高学生对中学几何理论与方法的理解，联系中学数学的教学，充分利用矢量工具注意矢量法与坐标的联系，从而获得高观点下处理中学几何问题的能力，以及画图能力。
（二）知识、能力及技能方面的基本要求基本知识：通过本课程的学习，要求学生掌握矢量的概念；矢量的运算及矢量的坐标法；平面与空间直线方程；空间中的点、直线、平面两两之间的相互关系的代数形式的联系；曲线与曲面的一般方程；参数方程、球面和旋转面、柱面和锥面、二次曲面（十七种）、直纹面、曲面的交线和曲面所围区域；平面仿射坐标变换平面直角坐标变换空间坐标变换等。
基本能力：培养学生空间想象能力和运用解析方法研究几何问题以及在实际中应用这一方法的能力；严密的科学思维及分析问题解决问题的能力；用空间的观点和结构的观点解决数学中的其它问题以及其它实际问题的能力。
基本技能：使学生获得空间解析几何的基本运算技能；运用数学软件进行具有一定难度和复杂度的空间解析几何运算技能。
（三）实施说明1 本大纲主要依据信息与计算科学专业2017-2020版教学计划、信息与计算科学专业建设和特色发展规划和沈阳理工大学编写本科教学大纲的有关规定及全国通用《空间解析几何教学大纲》并根据我校实际情况进行编写的。
解析几何答案廖华奎王宝富第二章
第二章 直线与平面习题1.求通过两点(2,3,4)A 和(5,2,1)B -的直线方程。
解：直线的方向向量为(3,1,5)AB =--，所以直线的方程为234.315x y z ---==-- 2.在给定的仿射坐标系中，求下列平面的普通方程和参数方程。
（1）过点(1,2,0),(2,1,4),(3,1,5)----； （2）过点(3,12)-和z 轴；（3）过点(2,0,1)-和(1,3,4)-，平行于y 轴； （4）过点(1,5,4)--，平行于平面3250x y -+=。
解：（1）平面的方位向量为12(1,3,4),(4,1,5)v v =--=--，所以平面的参数方程14,23,45.x y z λμλμλμ=--+⎧⎪=--⎨⎪=-⎩平面的普通方程为121340,415x y z+---=--即19111330.x y z ++-= （2）平面的方位向量为12(3,1,2),(0,0,1)v v =-=，所以平面的参数方程33,1,22.x y z λλλμ=+⎧⎪=+⎨⎪=--+⎩因为过z 轴，所以也可选经过的点为(0,0,0)，那么参数方程也可以写为 3,,2.x y z λλλμ=⎧⎪=⎨⎪=-+⎩平面的普通方程为3120,01x y z-=即30.x y -= （3）平面的方位向量为12(3,3,5),(0,1,0)v v =-=，所以平面的参数方程23,3,15.x y z λλμλ=-⎧⎪=+⎨⎪=-+⎩平面的普通方程为213350,01x y z -+-=即5370.x z +-=（4）平面的方位向量平行于平面3250x y -+=，方位向量(,,)X Y Z 满足320X Y -=，因此可以选为12(2,3,0),(0,0,1)v v ==。
所以平面的参数方程12,53,4.x y z λλμ=-+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩平面的普通方程为1542300,01x y z ++-=即3270.x y --=3.在直角坐标系中，求通过点(1,0,2)-并与平面1:220x y z ∏+--=和2:30x y z ∏---=均垂直的平面方程。
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是数学中的一个重要分支，它研究了三维空间中的点、直线、平面以及它们之间的位置关系和运动规律。
它与平面解析几何相似，但在处理问题时需要考虑三维空间的特殊性和复杂性。
本文将介绍空间解析几何的基本概念和定理，并探讨其应用于实际问题的方法。
第一节：点、直线和平面的表示在空间解析几何中，点、直线和平面都可以通过数学方法进行表示。
点可用它在空间中的坐标表示，通常用三个实数表示它在x、y、z轴上的位置。
直线可用参数方程表示，例如：$$\begin{cases}x = x_0 + at \\y = y_0 + bt \\z = z_0 + ct \\\end{cases}$$其中，$(x_0, y_0, z_0)$是直线上一点的坐标，$a, b, c$是方向向量的分量，$t$为参数。
平面可用一般方程表示，例如：$$Ax + By + Cz + D = 0$$其中，$A, B, C, D$为常数，$(x, y, z)$为平面上任意一点的坐标。
第二节：点与直线的关系点与直线的关系在空间解析几何中是一个重要的研究内容。
给定一直线和一个点，在确定这个点在直线上的位置时，可通过求解参数方程所表示的直线和点坐标的方程组得到。
如果方程组有解，则表示该点在直线上；如果方程组无解，则表示该点不在直线上。
第三节：点与平面的关系点与平面的关系也是空间解析几何中的一个重要问题。
给定一个平面和一个点，在确定这个点在平面上的位置时，可通过将该点的坐标带入一般方程所表示的平面方程中，若等式成立则表示该点在平面上；若等式不成立则表示该点不在平面上。
第四节：直线与直线的关系直线与直线的关系是空间解析几何中的一个研究热点。
两个直线之间可能存在相交、平行或异面的关系，通过求解直线的参数方程，可得到它们的交点或判断它们的平行性。
若两直线的方向向量的夹角为零或$\pi$，则表示它们平行；若两直线参数方程的方程组有解，则表示它们相交。
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必有
M0M
n
M0M
n
0
M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
平面的点法式方程
其中法向量
n
{A, B,C},
已知点
( x0 ,
y0 ,
z0 ).
平面上的点都满足上方程，不在平面上的 点都不满足上方程，上方程称为平面的方程， 平面称为方程的图形．
(1) D 0, 平面通过坐标原点；
D 0, 平面通过 x轴； (2) A 0, D 0, 平面平行于 x轴； 类似地可讨论 B 0, C 0 情形. (3) A B 0, 平面平行于xoy 坐标面；
类似地可讨论 A C 0, B C 0 情形. (4)A B D 0, 有z 0,即xoy面.
(s , n)
,
2
(s , n)
2
sin cos cos .
2
2
sin
| Am Bn Cp |
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置关系：
(1) L A B C . mn p
(2) L // Am Bn Cp 0.
相交，求其方程. .
解 因为直线和y 轴垂直相交,
所以交点为 B(0,3, 0),
取 s BA (2, 0, 4),
所求直线方程 x 2 y 3 z 4 .
2
0
4
y 3
或
x
2
2
z
4
4.
四、空间直线的两点式方程(2.1.15) 另, 直角坐标系下的参数式和对称式, 即直 线l的方向向量可取成单位向量(方向余弦),
x x0 y y0 z z0 ,
0
0
p
理 解 为 交 线
x y
x0 y0
0( 考 虑 其 几 何 意 义 ) 0
例1 求过点(1,0,-2)且与平面3x+4y-z+6=0平行,
又与直线
x3 y2 z 1 41
垂直的直线方程.
解: 设所求线的方向向量为s ,
已知平面的法向量
n (3,4,1),
解得，t 0,M1(1, 1,3),
s MM1 (2,3,6),
x1 y2 z3 2 3 6
§2.2.3 空间两直线的相关位置
一、空间两直线的相关位置
定理3.7.1 判定空间两直线
l1 :
x x1 X1
y y1 Y1
z
z1 Z1
,
l2
:
x x2 X2
y y2 Y2
z z2 Z2
2020/7/5
§2.2.1 空间两平面的相关位置 • 相交 • 平行 • 重合
2020/7/5
§2.2.2 直线与平面的相关位置
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹
角（所成锐角）称为直线与平面
的夹角．
0 .
2
L:
x x0 y y0 z z0 ,
m
n
p
s (m, n, p),
: Ax By Cz D 0, n ( A, B,C),
36
arcsin 7
36
为所求夹角．
直线与平面的交点
设直线L： x x0 y y0 z z0 ,
m
n
p
平面Π： Ax By Cz D 0
L与Π不平行，求L与Π的交点.
解题步骤：
1. 写 出L的 参 数 方 程 ：
x x0 mt, y y0 nt, z z0 pt
2. 代入平面Π的方程，求得t的值t0 , 3. 代t0入L的参数方程，即可得交点坐标。
例 1 设直线L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
: x y 2z 3，求直线与平面的夹角.
解
n
(1,1,
2),
s
(2,1,
2),
sin
| Am Bn Cp |
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
| 1 2 (1) (1) 2 2 | 7 .
6 9
表示
D
即 任一平面
？
Ax By Cz D 0
（A,B,C不同时为零）
不妨设 A 0，则
A x
D A
By 0 Cz 0
0
，为一平面.
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
法向量
n
{A, B,C}.
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
平面一般式方程的几种特殊情况：
解析几何
第2章 空间的平面与直线
2020/7/5
§2.1.1 平面的方程
一、平面的点法式方程
z
n
如果一非零向量垂直
M0 M
于一平面，这向量就叫做
该平面的法线向量．
o
y
x
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
已知
n
{
A,
B,
C },
M0( x0 , y0 , z0 ),
设平面上的任一点为 M( x, y, z)
交点既在P1上,又在 L上,因此是L与P1的交点.
解 过M作平行于 平面 P 的一个平P1
P1: 6( x 1) 2( y 2) 3(z 3) 0
即P1: 6x 2 y 3z 1 0
求平面 P1与已知直线 L的交点
6x 2 y 3z 1 0
x
3
1
y1 2
z3 5
t
例 1 求过三点A(2,1,4)、B(1,3,2)和 C (0,2,3)的平面方程.
解 AB {3, 4,6}
AC {2, 3,1}
取
n
AB AC
{14, 9,1},
所求平面方程为 14( x 2) 9( y 1) (z 4) 0,
化简得 14x 9 y z 15 0.
2. 通过点M(1,-5,1)和N(3,2,-2)且垂直于xOy坐标面的平面. 3. 已知四点(5,1,3),B(1,6,2),C(5,0,4),D(4,0,6),求通过直线AB
且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与三角形ABC所 在平面垂直的平面.
4. 过点M(3,2,-4)且在x轴和y轴上截距分别为-2 和-3的平面
化简得 2x 3 y z 6 0.
例3 已知两点M(1,-2,3)与N(3,0,-1)，求线段MN的垂直平分面 方程。
二、平面的一般式方程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
例 4 设平面过原点及点(6,3, 2)，且与平面
4x y 2z 8垂直，求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0,
由平面过原点知 D 0,
由平面过点(6,3, 2)知 6A 3B 2C 0
n{4,1,2},
4A B 2C 0
A
B
2 C,
3
所求平面方程为 2x 2 y 3z 0.
2020/7/5
已知不共线的三点,求通过三点的平面
——三点式方程(2.1.6)
向量式法式方程(2.1.10) 坐标式法式方程(2.1.11)
以上共介绍了多少种方法? 哪些方法适用于仿射坐标系? 哪些方法适用于直角坐标系?
2020/7/5
练习1
1. 通过点M(3,1,-1)和N(1,-1,0)且平行于矢量 {-1,0,2}的平面 .
例 2 求过点(1,1,1)，且垂直于平面x y z 7和
3x 2 y 12z 5 0的平面方程.
解
n1 {1,1,1},
n2 {3,2,12}
取法向量
n n1 n2 {10,15, 5},
所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0,
m 0,n 0,p 0时 ， 方 程 仍 然 写 为
x x0 y y0 z z0 ,
此
0 时
理
解
n 为二
平
p 面的
交线
x y
x0 y0 n
0 z
z0 p
当 方 向 向 量 的 某 两 个 坐标 为 零 时 ， 比 如
m 0,n 0,p 0时 ， 方 程 也 仍 然 写 为
cC D 0,
A D, B D, C D.
a
b
c
将A D, B D, C D,
z
c
a
b
c
代入所设方程得
o
xa
y
b
x y z 1 平面的截距式方程 a bc
x轴上截距 y轴上截距 z 轴上截距
例 7 求平行于平面6x y 6z 5 0而与三个坐
标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
解得 y0 0, z0 2
点坐标(1,0,2),
因所求直线与两平面的法向量都垂直
取
s
n1
n2
(4,1,3),
对称式方程 x 1 y 0 z 2 , 4 1 3
令 x 1 y 0 z 2 t, 4 1 3
x 1 4t
得参数方程
y
t
.
z 2 3t
例 3 一直线过点 A(2,3,4)，且和 y 轴垂直
5. 已知两点M1(3,-1,2)和M2(4,-2,-1) ，通过 M1且垂直于M1M2的平面
6. 已知平面上三点A(3,-1,2) B (4,-2,-1) C(3,2,-4)，求平面方程。
求通过直线 截距相等的平面方程
，且在y轴与z轴上
§2.1.2 空间直线的方程
一、空间直线的一般方程