第4章 树与二叉树

1
i / 2
3
2
i
4 5 6 7 13
8
9
10
11
12
2i
2i+1
课堂练习
(1)求100个结点的完全二叉树的叶子结点数。
解
a) 有7层； b) 前6层共26-1=63个结点； 第7层有100-63=37个； 第6层有26-1=32个结点； c) 第6层19个非叶子结点； 有32-19=13个叶子结点； 所以共有37+13=50个叶子结点。
算法与数据结构
阙夏制作
§4
树和二叉树
树形结构是一类很重要的非线性结构。 结构中，元素有明显的分支和层次关系。 树形结构在客观世界广泛存在，如家族关 系的家谱、各种社会组织机构、书的章节 划分等等。
树形结构如下图：
A11
A21
A22
A31
A32
A33
A34
A35
§ 4.1
树的定义
一、树的定义和有关术语
H
I
中序：CEBDFAHGI
(4)
CE B
DFA HG I
例
分别写出右图二叉树的 先序、中序和后序序列。 B
D E F
A
G
AL AR (1) _____________ _____ A C BL BR GL __GA (2) ______ ______ B__ GR CL CR __ DR (3) __ __ C DL __D B H I GA
课堂练习
已知一棵二叉树中，有20个叶子结点，10个 结点只有左孩子，15个结点只有右孩子，求 该二叉树的总结点数。 解： n=n0+n1+n2 n0=20 n2=n0-1=19（性质3） n1=15+10=25 n=20+19+25=64

定义1：高度为k且有2k-1个结点的二叉树为满二
叉树；
如下图：

2、线索二叉树：
先序线索二叉树
A
中序线索二叉树
A
B
C E D F H
G
I
B
G
C
E
D
F
H
I
将空的左孩子指针改为指向前驱； 将空的右孩子指针改为指向后继；
课堂练习：后序线索二叉树
后序线索二叉树
A B C E D F H G
I
将空的左孩子指针改为指向前驱； 将空的右孩子指针改为指向后继；
思考

先序线索二叉树最后一个结点的后继线索 有什么特点？
(4)二叉树子树有序，树无序。
例
比较三个结点的树与二叉树的不同。
三个结点的树：
共两棵
三个结点的二叉树：
共五棵
3、二叉树五种不同的形态：
(1)空树，即结点数为0
(2)单结点二叉树，即仅有一个结点
(3)左子树为空右子树不空 (4)右子树为空左子树不空
(5)左右子树均不空
下图是一棵二叉树：
二、二叉树的性质
2、设计算法输出二叉树的所有叶子结点的 值。
void leaf( bnode *T) { if ( T != NULL ) { if ( T -> lchild == NULL && T -> rchild == NULL ) cout<<T->data; leaf( T -> lchild ); A leaf( T -> rchild ); } G B }
36
73
(3)判断题： （√ ）完全二叉树中最多有1个度为1的结点。
三、二叉树的存储结构
1、顺序存储方式（不仅要存值，还要存关系）
1
2 4
A
B
E
10 5 6
C
F
3 7
D
9
3
G
8
H
0 1 2 4
I
5 6 7 8 9 10
A
B
C D
E
F G
H
^
I
优点：方便、简洁；
缺点：只适合完全二叉树 或 接近于完全二叉树。
void preorder(bnode *t) { if(t!=NULL) { visit(t->data); preorder(t->lchild); preorder(t->rchlid); } }
中序遍历二叉树T 若T不空，则： 中序访问其左子树； 访问根； 中序访问其右子树。
void inorder(bnode *t) { if(t!=NULL) { inorder(t->lchild); visit(t->data); inorder(t->rchlid); } }

高度（深度）：整个树中结点的最大层次；
A11
A21
A22
A31
A32
A33
A34
A35

度：孩子结点的数目。
叶子（终结点）——度为0； 分支结点（非叶子结点）
——度不为0的结点；
树的度——最大的结点度；
A11
A21
A22
A31
A32
A33
A34
A35

森林： 多棵树； 有序树/无序树：
树中各兄弟结点之间的排列是否有序。
1、定义：
树 是n个结点（n＞0）的有限集合。

仅有一个根结点； 其它结点可划分为m（m ≥ 0）个互不相交 的子集，每个子集也构成树——子树。
2、有关术语

关系术语： 父结点 孩子结点 兄弟结点
祖先、后代
A11
A21
A22
A31
A32
A33
A34
A35
层次类术语 层次：根的层次为1 其余结点的层次=其父结点层次+1
顺序存储的一个极端例子：
1
A B
3
2
4
5
6
C
7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
^
B
^
^
^
C
2、动态二叉链表 typedef struct bnode {datatype data; bnode *lchild,*rchild; } 引用：bnode *T
lchild data rchild bnode
空二叉树：T==NULL
B11
A11
A21
A22
A31
A32
A33
A34
A35
B21
二、 树的运算
运算 （1）初始化； （2）查找 — 结点的父、兄弟、祖先、 后代、根； （3）插入 — 叶子，子树； （4）删除 — 叶子，子树。

树的存储？
§ 4.2 二叉树的定义和性质
一、二叉树的基本概念
1、定义
二叉树 是n个（n≥0）结点的有限集合。
C E D F I H
3、求给定二叉树的高度：
A B G
C D H 分析： I (1)t==NULL——高度为0； E F (2)否则，设左子树高度为hl，右子树高度为hr， 则二叉树高度h为max(hl,hr)+1； (3)左右子树的高度可以通过递归形式求出。
int high(bnode *t) { if(t==NULL) return(0); else return(max(high(t->lchild),h来自百度文库gh(t->rchild))+1); }
如下图的二叉树：
T A B C D G E F F ^ ^ C ^ ^ D ^ B A ^ E
n个结点的二叉链表共有2n个指针域。 ^ G ^ 其中n-1个不空，剩下2n-(n-1)=n+1个指针域为空。
§4.3 二叉树的遍历
一、二叉树遍历算法的实现
1、遍历：按照某种次序依次访问二叉树T中 每个结点一次且仅一次。
一、线索二叉树结构
1、定义：

线索：将空的左孩子指针改为指向前驱；
将空的右孩子指针改为指向后继； 修改过的指针称为线索。

修改的过程称为线索化；
为能区分孩子指针和线索需要增设标志： ltag= 0 lchild指向左孩子； = 1 lchild指向前驱； rtag= 0 rchild指向右孩子； = 1 rchild指向后继。
后序遍历二叉树T 若T不空，则： 后序访问其左子树； 后序访问其右子树； 访问根。
void postorder(bnode *t) { if(t!=NULL) { postorder(t->lchild); postorder(t->rchlid); visit(t->data); } }
二、遍历的应用
3、有关遍历方法的例题：
例
分别写出右图二叉树的 先序、中序和后序序列。 B
D F
A
G
C AR AL (1) A ______________ _______
BL BR G GR (2) AB ______ ______ G __L __ E C C DL DR (3) ABC__ L__R D __ __ G H I
H
I
先序：ABCEDFGHI
(4) ABC
E D
F G H I
例
分别写出右图二叉树的 先序、中序和后序序列。 B
C E D F
A
G
AL AR (1) _____________A______
BL BR G G (2) _____ B _____ A __L G __R CL CR DL DR (3) __C__ B__D__ A H G I
2、分析： (1)若T为空，遍历结束；否则转(2) (2) 设二叉树的形态如右图：
L D R
<A>假设左右子树能分别遍历（用 L， R分别表示其遍历），则整个二叉树 可有如下形式的遍历：
先左后右：DLR 先右后左：DRL 先根序 LDR RDL 中根序 LRD RLD 后根序
<B>对于左右子树的遍历，可按照 与整个二叉树相同的方式遍历（递归调用）
A
解
A
CDBE GF
B
A C B CD E G F D E G
F
课堂练习

已知一棵二叉树的后序序列和中序序列， 要求还原该二叉树。 中序：CBEDAFG 后序：CEDBGFA
A
A A
B
FG C B ED F G C E D
F
G
CBED
思考：只有先序和后序能否唯一还原二叉树？
4、遍历算法 先序遍历二叉树T 若T不空，则： 访问根； 先序访问其左子树； 先序访问其右子树。
§4.4 线索二叉树
问题：对给定次序（先、中、后序）求某结点 的前驱或后继（二叉链表）。 求解方法 （1）遍历——费时； （2）给每个结点增设前驱后继指针； （3）利用二叉链表中n+1个空指针；
下图为一个二叉链表：
T A B E B A ^ E F ^ G ^ C ^ ^ D ^
C
D
F
n个结点的二叉链表共有2n个指针域。 ^ G ^ 其中n-1个不空，剩下2n-(n-1)=n+1个指针域为空。
H
I
后序：ECFDBHIGA
(4)
E C
F D B H I GA
课堂练习

分别写出下图二叉树的先、中、后序。
A
B C E D F G H
先序：ABCDEFGHI 中序：CBEDFAGIH 后序：CEFDBIHGA
I
例
已知一棵二叉树的先序序列和中序序列， 要求还原该二叉树。 先序：ABCDEFG 中序：CDBEAGF
性质1：在二叉树的第i层上的结点数≤2i-1 （i>0）。 性质2：高度为k的二叉树的结点数≤2k-1 （k>0）。
第1层 1=20 第2层 1×2=21
…
…
…
…
…
第i层 2i-1
20+21+22+…＋2k-1=2k-1
性质3：对任一棵非空的二叉树T，如果其叶子 数为n0，度为2的结点数为n2，则有下面的关 系式成立：n0=n2+1。 证明：设T的总结点数为n，度为1的结点数为n1， 则T的结点数满足下面关系式： n=n0+n1+n2 (a) n-1=n1+2n2 (b) 综合(a)和(b)两式得：n0=n2+1。 得证。
(1)求100个结点的完全二叉树的叶子结点数。
解
1
50
100
根据性质5，从编号51到100都是叶子。 共有50个叶子。
(2)完全二叉树的第7层有10个结点，问共有几个 结点？多少个叶子结点？多少个度为1的结点？
解
a)共有26-1+10=73个结点； b)37到73都是叶子，共37个叶子结点；
1
c)度为1的结点数为0。
定义2：在满二叉树最下一层从右到左依次连续 去掉若干个结点的二叉树称为完全二叉树。 如下图：
下图不是一棵完全二叉树：
性质4：有n个（n≥1）结点的完全二叉树的高 度为 log 2 n + 1 。
高度为k的满二叉树有2k-1个结点；
性质5：对完全二叉树进行层次编号，编号为i 的结点，其左孩子的编号为2i，右孩子编号 为2i+1，其父结点的编号为：i / 2 。
1、设计算法求二叉树的结点数。
分析: 设置一个全局变量，在遍历二叉树的过程中，对访问的 结点累计计数。 void num( bnode *T ) A //设k是全局变量，初始化k=0 G B { if ( T != NULL ) { k++; C D H num( T -> lchild ); I E F num( T -> rchild ); } }
中序线索二叉树第一个结点的前驱线索有 什么特点，最后一个结点的后继线索有什 么特点？ 后序线索二叉树第一个结点的前驱线索有 什么特点？


构造二叉树

输入数据 => 构造算法
（n=0为空二叉树）


仅有一个根结点；
其余结点可划分为两个互不相交的子集， 且这两个子集也构成二叉树——左右子 树。
二叉树大多用图的形式表示，如下图：
下图也是一棵二叉树：
2、二叉树与树的区别：
(1)是两种不同的结构；
(2)二叉树有空的概念，而树没有；
(3)二叉树恰有两棵子树，树可有0到多棵；