切比雪夫多项式-详细-Chebyshev_polynomials

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切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关,以递归方式定义的一系列正交多项式序列。通常,第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示,第二类切比雪夫多项式用Un表示。切比雪夫多项式Tn 或Un 代表n 阶多项式。

切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根(被称为切比雪夫节点)可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象,并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。

在微分方程的研究中,数学家提出切比雪夫微分方程

相应地,第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形.

定义:第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定

也可以用母函数表示

第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出

此时母函数为

从三角函数定义:第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定

其中n = 0, 1, 2, 3, .... . 是关于的n次多项式,这个事实可以这么看:

是:的实部(参见棣美弗公式),而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中,都是偶数次的,从而可以表示成的幂。

用显式来表示

尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数,则有

类似,第二类切比雪夫多项式满足

以佩尔方程定义:切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程

在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:

归递公式

两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:

T0(x) = 1 U − 1(x) = 1 Tn + 1(x) = xTn(x) − (1 − x2)Un − 1(x) Un(x) = xUn − 1(x) + Tn(x) 证明的方式是在下列三角关系式中用x 代替

xTn(x) − (1 − x2)Un(x)

正交性

Tn 和Un 都是区间[−1,1] 上的正交多项式系.

第一类切比雪夫多项式带权

即:

可先令x= cos(θ) 利用Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.

类似地,第二类切比雪夫多项式带权即:

其正交化后形成的随机变量是Wigner 半圆分布).

基本性质

对每个非负整数n,Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。并且当n为偶(奇)数时,它们是关于x 的偶(奇)函数,在写成关于x的多项式时只有偶(奇)次项。

时,Tn 的最高次项系数为2n − 1 ,n = 0时系数为1 。

最小零偏差

对,在所有最高次项系数为1的n次多项式中,对零的偏差最小,即它是使得f(x)在[ − 1,1] 上绝对值的最大值最小的多项式。其绝对值的最大值

为,分别在- 1 、1 及f 的其他n − 1 个极值点上达到。

两类切比雪夫多项式间的关系

两类切比雪夫多项式间还有如下关系:

切比雪夫多项式是超球多项式或盖根堡多项式的特例, 后者是雅可比多项式的特例.

切比雪夫多项式导数形式的递推关系可以由下面的关系式推出:

例子

前六个第一类切比雪夫多项式的图像,其中-1¼

前几个第一类切比雪夫多项式是

前六个第一类切比雪夫多项式的图像,其中-1¼

前几个第二类切比雪夫多项式是

按切比雪夫多项式的展开式

一个N 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下:

多项式按切比雪夫多项式的展开可以用Clenshaw 递推公式计算。

切比雪夫根

两类的n次切比雪夫多项式在区间[−1,1]上都有n 个不同的根, 称为切比雪夫根, 有时亦称做切比雪夫节点,因为是多项式插值时的插值点. 从三角形式中可看出Tn 的n个根分别是:

类似地,Un 的n个根分别是:

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