切比雪夫多项式详细
切比雪夫多项式的应用
4 3.5 3 2.5 2
←f(x)
1.5 1 0.5
→L3(x)
0 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
对于连续函数 g ( x) = x 20 , e x , sin(5πx), e − x sin(2πx) ，分别绘出 n = 10,13,20,21 次拉格朗日 插值多项式 Ln ( x) 的图像和原函数的图像如图 1-4 所示
>> k=0:1:10; >> X=cos((2*k+1)*pi/22); >> %求出 10 次切比雪夫多项式的零点 syms x >> F=inline('x.^20'); >> %要插值的原函数 f(x)=x.^20 >> t=linspace(-1,1,100000); >> yt=F(t); y=F(X); yi=interp1(X,y,t,'language'); plot(t,yt,'r--',t,yi,'k-')
k=0:1:20; X=cos((2*k+1)*pi/42); syms x >> F=inline('sin(5*pi*x)'); %要插值的原函数 f(x)=sin(5*pi*x) t=linspace(-1,1,100000); yt=F(t); y=F(X); yi=interp1(X,y,t,'language'); plot(t,yt,'r--',t,yi,'k-')
Rn ( x ) =
1 f ( n +1) (ξ x )ω n ( x) (n + 1)!
关于两类切比雪夫多项式及三角函数的一些恒等式
关于两类切比雪夫多项式及三角函数的一些恒等式
切比雪夫多项式是一类多项式，它们可以用来描述在多维空间中的曲线或曲面。
两类切比雪夫多项式是一类特殊的切比雪夫多项式，它们的形式如下：
$P_n(x)=\sum_{k=0}^n c_kT_k(x)$
其中$T_k(x)$ 是切比雪夫多项式，$c_k$ 是常数。
三角函数是指以弧度制为单位的角度所对应的函数，这些函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
在数学中，恒等式是指两个数学表达式，它们对于任意可以取到的值都相等。
例如，以下是一些有关两类切比雪夫多项式和三角函数的恒等式：
切比雪夫多项式的级数展开：$P_n(x)=\sum_{k=0}^n
c_kT_k(x)=c_0+c_1T_1(x)+c_2T_2(x)+...+c_nT_n(x)$
切比雪夫多项式的级数逆展开：$T_n(x)=\frac{P_n(x)-P_{n-1}(x)}{c_n}$
三角函数的恒等式：$\sin^2 x+\cos^2 x=1$
反三角函数的恒等式：$\sin^{-1} x=\arcsin x$、$\cos^{-1} x=\arccos x$、
$\tan^{-1} x=\arctan x$
这些恒等式在数学中都有广泛应用。
第一类切比雪夫多项式
第一类切比雪夫多项式第一种的切比雪夫多项式是一组正交多项式定义解决方案切比雪夫微分方程和表示。
他们是作为一个近似最小二乘适合,的一个特例盖根堡多项式与。
他们用三角也密切相关多角度的公式。
第一类切比雪夫多项式表示和实现Wolfram语言作为ChebyshevT[n x]。
归一化,这样。
最初几个多项式上面和,2,…5。
第一种的切比雪夫多项式可以定义的围道积分(1)轮廓包含原点和遍历在逆时针方向(Arfken 1985,p . 1985)。
最初几个第一类切比雪夫多项式(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)命令从最小到最大的权力时,三角形的非零系数是1;1;,2;4,18;5、16岁……(OEIS A008310).一个美丽的情节可以通过策划径向,增加每个值的半径,并填写曲线之间的区域(Trott 1999,pp。
10和84年)。
切比雪夫多项式的第一种定义的身份(9)切比雪夫多项式的第一种可以获得的生成函数(10)(11)和(12)(13)为和(分为et al . 1972,15项)。
(密切相关生成函数的定义的基础吗第二类切比雪夫多项式.)一种是直接表示(14)中定义的多项式也可以总结(15)(16)(17)在哪里是一个二项式系数和是层功能,或产品(18)(Zwillinger 1995,p . 1995)。
也满足好奇行列式方程(19)(1986年纳什)。
第一种的切比雪夫多项式的一个特例雅可比多项式与 ,(20)(21)在哪里是一个超几何函数(Koekoek 和Swarttouw 1998)。
0时(22)为2……。
极值出现的(23)在哪里。
在最大,,至少, .切比雪夫多项式是正交多项式关于权重函数(24)在哪里是克罗内克符号。
第一类切比雪夫多项式满足额外的离散的身份(25)在哪里为 , ...,是0的 .他们也满足递归关系(26)(27)为,以及(28)(29) (沃特金斯和蔡Rivlin 1993;1990年,p . 5)。
天线阵的切比雪夫加权 CST官方
图1单元天线模型 图2 单元天线3D远场特性
图3 线性切比雪夫阵列宏对话框 图4 切比雪夫线阵的3D远场特性
图5 切比雪夫阵phi=0度的切面图
3、在MWS中利用编写的宏命令可以将单元天线扩展为N×N的平面阵列，有关平面阵列宏的使用可以参考相应的宏使用帮助。
这里我们将天线扩展为25×25的平面阵，并对其进行切比雪夫加权，宏界面的设置和计算后的阵列远场如下图示：
6 平面切比雪夫阵列宏对话框 图
7 切比雪夫面阵的3D远场特性
图8 切比雪夫面阵phi=0度的切面图
4、还可以利用编写的宏对平面天线阵进行相位加权，加权后天线的主瓣将指向指定的方向。
在上面的宏界面下，指定相应的theta和phi值即可。
如我们将theta 设为
度。
切比雪夫和相位同时加权，仿真所得远场特性如下图示：
图9 相位加权的切比雪夫面阵3D远场图。
切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题
切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题
一、引言
在密码学中，困难问题是指难以在有效时间内求解的问题。
切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题就是其中之一。
本文将对该问题进行详细介绍。
二、切比雪夫多项式
切比雪夫多项式是指具有最小无穷范数的实系数多项式。
它可以表示为以下形式：
T_n(x) = cos(n \arccos(x))
其中n为正整数，x为实数。
三、离散对数
离散对数是指在一个有限域上，求解给定元素的幂次方等于另一个给定元素的幂次方的问题。
具体地说，设p为一个质数，a和b为模p 意义下的整数，则求解x使得以下等式成立：
a^x \equiv b \pmod{p}
四、切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题
切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题就是求解以下等式：
T_n(a^x) \equiv T_n(b) \pmod{p}
其中a和b为模p意义下的整数，n为正整数。
该问题被证明是一个NP难问题，因此没有已知有效算法可以在多项
式时间内求解。
五、应用
切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题在密码学中有广泛的应用。
例如，它可以用于构建安全的公钥密码体制，如ElGamal密码体制和Diffe-Hellman密钥交换协议。
六、总结
切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题是一个NP难问题，在密码
学中有广泛的应用。
虽然没有已知有效算法可以在多项式时间内求解
该问题，但它仍然为构建安全的公钥密码体制提供了重要的理论支持。
切比雪夫多项式零点证明
切比雪夫多项式零点证明切比雪夫多项式（Chebyshev polynomial）是一类在数学中具有重要应用的特殊多项式。
在实分析和数值计算中，切比雪夫多项式的零点分布具有独特的性质，可以用于插值、逼近和优化等领域。
本文将详细介绍切比雪夫多项式的零点证明。
首先，我们来定义切比雪夫多项式。
切比雪夫多项式可以用递归的方式定义，如下：T0(x) = 1T1(x) = xTn(x) = 2xTn-1(x) - Tn-2(x) (n ≥ 2)切比雪夫多项式的零点通常被称为切比雪夫节点。
切比雪夫多项式的第n个零点可以表示为：xk = cos(π(k + 0.5)/n) (0 ≤ k < n)为了证明这一结论，我们可以通过数学归纳法来进行证明。
首先，我们可以验证n=1和n=2的情况，这是基本情况。
当n=1时，切比雪夫多项式为T1(x) = x，其零点为x0 = 0，与结论一致。
当n=2时，切比雪夫多项式为T2(x) = 2x^2 - 1，其零点为x0 = -1/√2 和x1 = 1/√2，也与结论一致。
接下来，我们假设对于任意的n≥2，切比雪夫多项式的零点公式成立。
我们要证明对于n+1的情况，也能得到相应的结论。
假设切比雪夫多项式Tn(x)的零点为x0, x1, ..., xn-1。
我们定义新的多项式Un(x) = Tn(x) - λ，其中λ为待确定的常数。
根据切比雪夫多项式的递推关系，我们有：Un+1(x) = 2xUn(x) - Un-1(x)假设Un(x)有m个零点，我们用y0, y1, ..., ym-1来表示。
因为Un(x) = Tn(x) - λ，所以Un(x)的零点与Tn(x)的零点相同。
我们还可以得到：Un+1(yi) = 2yiUn(yi) - Un-1(yi) = 0现在，我们来确定λ的值，使得Un+1(x)的零点为切比雪夫多项式Tn+1(x)的零点。
我们假设Un(x)的零点在[-1,1]之间，因为切比雪夫多项式的定义域为[-1,1]。
chebyshev多项式的由来
chebyshev多项式的由来
切比雪夫多项式（Chebyshev Polynomials），也叫作切比雪夫混沌映射（Chebyshev Chaotic Map），是计算数学中一类特殊的函数。
它起源于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式，是计算数学中一类特殊的函数，对于注入连续函数逼近问题、阻抗变换问题等等的数学、物理学、技术科学中的近似计算有着非常重要的作用。
此外，切比雪夫多项式还有两个重要的等价定义：一是设n,x为变量且满足n阶切比雪夫多项式的余弦式定义为Tn(x)=cos(narccosx)，当x=±1时，等价的递归迭代定义为Tn(x)=2xTn−1(x)−Tn−2(x)，其中T0(x)=1,T1(x)=x。
二是设n,x为变量且满足n阶扩展切比雪夫多项式的余弦式定义为Tn(x)=cos(narccosx)，当x=±1时，等价的递归迭代定义为Tn(x)=2xTn−1(x)−Tn−2(x)，其中T0(x)=1,T1(x)=x。
切比雪夫多项式有广泛的数学、物理学、技术科学的应用，例如在逼近理论中有重要的应用。
同时，扩展切比雪夫多项式（Extended Chebyshev Polynomials）也有重要应用，特别是当参数x在区间[-1,1]之外时，仍然具有半群性质并且可以有效抵抗Bergamo攻击。
切比雪夫多项式定理
切比雪夫多项式定理切比雪夫多项式定理（Chebyshev Polynomial Theorem）是一个数学定理，由俄国数学家切比雪夫（Pafnuty Chebyshev）首先提出。
它是关于多项式的定理，描述了多项式在有界域内的行为。
该定理可以用来证明许多关于多项式的性质，也可以用来解决许多多项式问题。
定理的形式如下：给定函数f(x)在区间[a,b]上单调，其中a<b，假设函数f(x)具有n次可导的连续导数，并且f(x)的n-1次导数在[a,b]上单调。
如果f(x)可以由n 次切比雪夫多项式Pn(x)表示，则有：f(x)=Pn(x)+Rn(x)其中，Pn(x)是n次切比雪夫多项式，Rn(x)是n次余项，称为切比雪夫多项式定理。
从定理可以看出，如果f(x)在[a,b]上可以由n次切比雪夫多项式表示，那么f(x)可以被分解为两部分，一部分是切比雪夫多项式Pn(x)，另一部分是余项Rn(x)。
该定理的重要性在于它提供了一种精确的方法来表示函数f(x)的行为，而不必使用近似解法。
此外，该定理也显示了函数f(x)的收敛性，即当n越大时，Pn(x)越接近f(x)，Rn(x)越小。
根据切比雪夫多项式定理，可以得出一些有用的结论，如：（1）在[a,b]上，所有可导的函数f(x)都可以表示为一组切比雪夫多项式的和；（2）在[a,b]上，函数f(x)的收敛性，即当n越大时，Pn(x)越接近f(x)，Rn(x)越小；（3）在[a,b]上，f(x)的最大值和最小值可以由切比雪夫多项式的绝对值来确定，即f max=max{|Pn(x)|}， f min=min{|Pn(x)|}（4）在[a,b]上，有f'(x)=P'n(x)+R'n(x)其中，P'n(x)是n次切比雪夫多项式的导数，R'n(x)是n次余项的导数。
切比雪夫多项式定理的应用非常广泛，在许多领域都有着广泛的应用，如量子力学、量子物理、量子化学、量子计算机、光电子学、电磁学、可编程逻辑控制器、信号处理、机器人学、计算机图形学、计算几何学、数值分析、系统工程、模式识别等等。
数值分析切比雪夫多项式
(2k 1)
xk cos( 22 )
( k = 0, 1, 2, ···, 10)
11/18
令, P11(x) = (x – x0)(x – x1)···(x – x10) Q11(x) = (x – t0)(x – t1)···(x – t10)
则有
max
1 x1
|
P11( x)
|
max
1 x1
a22= - 1/3 a21=0
所以,
2(x)
x2
1 3
5/18
切比雪夫多项式:
T0(x)=1, T1(x)= cos = x, T2(x)=cos2 ······
1.递推公式:Tn(x)=cos(n),·········
由 cos(n+1)=2 cos cos(n) – cos(n-1) 得
Tn+1(x) = 2 x Tn(x) – Tn-1(x) (n ≥ 1) 所以, T0(x)=1, T1(x)=x, T2(x)=2x2 – 1 , ···········
88 135
17/18
最佳平方逼近:
P( x) 7 88 ( x 5) 9 135 8
f (x) x
P( x) 7 88 ( x 5) 9 135 8
18/18
0 cos m cos nd 0
所以,切比雪夫多项式在[– 1 , 1]上带权
( x) 1 正交
1 x2
9/18
3.切比雪夫多项式零点
T1=cos=x
n阶Chebyshev多项式: Tn=cos(n),
或, Tn( x ) = cos(n arccos x )
取 narccos x (2k 1) (k=0,1,···,n-1 )
切比雪夫插值节点
Chebyshev多项式(page59) n阶切比雪夫多项式: Tn(x)=cos(n arccosx)
当n 0时，T0 ( x) 1; 当n 1时，T1 ( x) cos(arccos x) x; 当n 2时，T2 ( x) cos(2arccos x)
1
0 .5
0
-0 . 5 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
6/18
5
1 f ( x) 例1. 函数 x ∈ [-5, 5] 2 1 x 取等距插值结点: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 f (11) ( n ) f ( x ) L10 ( x ) 11 ( x )
11 !
11(x)=(x+5)(x+4)(x+3)(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
y arccos x
cos(2 y) 2cos 2 y 1 2 x 2 1;
n阶切比雪夫多项式: Tn(x)=cos(n arccosx)
性质1：Tn+1 ( x) 2 xTn ( x) Tn 1 ( x); 性质2： deg(Tn ( x)) n, 且首项系数是2 ; 性质3：Tn ( x)在[-1,1]上的最大绝对值是1. 性质4：Tn ( x)的n个零点全部位于[-1,1]，且 i xi cos( ), i 1,3,..., 2n 1. 2n
11(x)
4/18
在[-5, 1) xk 5 cos( ) ( k=10, 9, 8, · · · , 1, 0 ) 22
切比雪夫多项式-详细-Chebyshev_polynomials
切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。
通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。
切比雪夫多项式Tn 或Un 代表n 阶多项式。
切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。
这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。
相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。
在微分方程的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程和相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。
这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形.定义：第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定也可以用母函数表示第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出此时母函数为从三角函数定义：第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定其中n = 0, 1, 2, 3, .... . 是关于的n次多项式，这个事实可以这么看：是:的实部（参见棣美弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中，都是偶数次的，从而可以表示成的幂。
用显式来表示尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有类似，第二类切比雪夫多项式满足以佩尔方程定义：切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:归递公式两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:T0(x) = 1 U − 1(x) = 1 Tn + 1(x) = xTn(x) − (1 − x2)Un − 1(x) Un(x) = xUn − 1(x) + Tn(x) 证明的方式是在下列三角关系式中用x 代替xTn(x) − (1 − x2)Un(x)正交性Tn 和Un 都是区间[−1,1] 上的正交多项式系.第一类切比雪夫多项式带权即:可先令x= cos(θ) 利用Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.类似地，第二类切比雪夫多项式带权即:其正交化后形成的随机变量是Wigner 半圆分布).基本性质对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。
常用十个切比雪夫展开公式
常用十个切比雪夫展开公式
切比雪夫展开公式是数学中常用的展开方法之一，可以将一个
函数在给定的区间上展开成一组以切比雪夫多项式为基函数的级数。
下面介绍常用的十个切比雪夫展开公式。
1. 零阶切比雪夫多项式展开公式：
$T_0(x) = 1$
2. 一阶切比雪夫多项式展开公式：
$T_1(x) = x$
3. 二阶切比雪夫多项式展开公式：
$T_2(x) = 2x^2 - 1$
4. 三阶切比雪夫多项式展开公式：
$T_3(x) = 4x^3 - 3x$
5. 四阶切比雪夫多项式展开公式：
$T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1$
6. 五阶切比雪夫多项式展开公式：
$T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x$
7. 六阶切比雪夫多项式展开公式：
$T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1$
8. 七阶切比雪夫多项式展开公式：
$T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x$
9. 八阶切比雪夫多项式展开公式：
$T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1$
10. 九阶切比雪夫多项式展开公式：
$T_9(x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x$
以上是常用的十个切比雪夫展开公式，通过这些公式，我们可以将函数在给定区间上展开成切比雪夫多项式的级数形式，方便进一步计算和分析。
数值分析19切比雪夫多项式-PPT精选文档
0 0 0.5 1
已知 f(x)∈C[0, 1], 求多项式 P(x) = a0 + a1x + a2 x2 + …… + an x n 使得 令
j 2 L ( a , a , , a ) [ a x f ( x ) ] dx 0 1 n j 0
j2 n
L P ( x ) f ( x )] dx min [
课件
18/18
18
( x ) ( x ) dx xdx 0 1
1 1 10 1 1
课件
4/18
5
设
2(x) = x2 + a21x + a22
0 1 (x)dx
1 2 1
1 1
1
1
x ) dx 0 2(x
2 ( x a x a ) dx 0 x ( x a x a ) dx 0 21 22 21 22
Pn(x)= 21 – n Tn(x)
则
1 x 1
max |P (x )| mi n n
( k = 0, 1, 2, · · · , 10)
例如 tk= –1+0.2k
( 2 k 1 ) · · , 10) x cos( ) ( k = 0, 1, 2, · k 22
课件
11/18
3 5
14
14/18
用正交多项式作最佳平方逼近
设P0(x), P1(x), · · · ,Pn(x)为区间[a , b]上的正交 多项式, 即
( P , P ) ( x ) P ( x ) dx 0 k j k j P
a
b
(k ≠ j , k, j = 0,1,· · · ,n ) 求 P(x) = a0P0(x) + a1P1(x) + · · ·+ anPn(x) 使
有关切比雪夫多项式的几个组合恒等式
有关切比雪夫多项式的几个组合恒等式1 什么是切比雪夫多项式？切比雪夫多项式又称为Chebyshev Polynomials，简称Cheb Poly。
它是一类非常重要的多项式，由俄国数学家谢尔盖·切比雪夫于1859年发明。
它是以一个叫做Tn(x)的函数组合而成，Tn(x)则由一些大家熟知的组合恒等式所求得。
2 切比雪夫多项式的特征切比雪夫多项式的特征是它的几何解释，它是在连续定义函数区间上的Tn(x)多项式在[-1,1]上的最大值与最小值之差最小。
得到最小值这一特点，使得切比雪夫多项式具有以下几个优点：（1）多项式的最值因子是一个趋近于常数的数,这很容易让我们解决极值问题；（2）切比雪夫多项式是等距多项式，即在同一个区间[-1,1]上，多项式的极值点分布均匀；（3）Tn(x)可以直接列出组合的恒等式，甚至可以转化为三角比值函数的组合式，这当然有助于我们解决诸如求积分等问题。
3 切比雪夫多项式的组合恒等式切比雪夫多项式的组合恒等式，根据Tn(x)的数学表达式原理，有如下组合恒等式：（1） Tn(x) = 2Tn-1 (x)-Tn-2 (x)；（2）Tn(x) = 2xTn-1 (x) - Tn-2 (x)；（3）Tn(x) = x²Tn-1 (x) - Tn-2 (x)；（4）Tn(x)= 2n-1T1 (x) - 2n-4T4 (x) +···+(-1)n-1Tn-1 (x)；（5）Tn(x)= 2[0]T3 (x) -2[1]T5 (x) +···+2[(n-1)/2]T2 n-1 (x)；（6）Tn(x) = (-1)n[T1 (x) -T3 (x) +T5 (x) -T7 (x) +···+(-1)n-1T2 n-1 (x)]；（7）Tn(x) = (-2)n-1[T1 (x) -2T3 (x,0.5)+3T5 (x,0.5) -···+(-1)n-1 (2n-1)T2 n-1 (x,2n-2)] 。
切比雪夫多项式 [Chebyshev polynomial]
![切比雪夫多项式 [Chebyshev polynomial]](https://img.taocdn.com/s3/m/bfe7bedf76eeaeaad1f33023.png)
类似地， Un 的n个根分别是：
参看
◾ 切比雪夫节点 ◾ 切比雪夫滤波器
参考
◾ M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Chapter 22. New York: Dover, 1972.
定义
第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定
也可以用母函数表示 第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出
此时母函数为
从三角函数定义
第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定
其中 n = 0, 1, 2, 3, .... .
是关于
的 n次多项式，这个事实可以这么看：
是:
的实部（参见棣莫弗公式），而
从左边二项展开式可以看出实部中出现含 的项中， 都是偶数次的，从而可以表
其正交化后形成的随机变量是 Wigner 半圆分布).
基本性质
对每个非负整数 ，和 Nhomakorabea都为 次多项式。 并且当 为偶（奇）数时，它们
是关于 的偶（奇）函数， 在写成关于 的多项式时只有偶（奇）次项。
时， 的最高次项系数为
，
时系数为 。
最小零偏差
对
，在所有最高次项系数为1的 次多项式中 ，
对零的偏差最
小，即它是使得 在
在微分方程的研究中，切比雪夫提出切比雪夫微分方程
和
第一类切比雪夫多项式
第一类切比雪夫多项式是一种具有重要数学性质的多项式函数。
它是一种特殊的勒让德多项式，常用于数值分析、逼近论和信号处理等领域。
一、定义Tn(x)，定义为Tn(x) = cos(n·acos(x))，n = 0，1，2，...其中acos为反余弦函数。
可以看出，Tn(x)是以余弦函数为基础构造的多项式函数，其值域为[-1,1]，且在区间[-1,1]上有n+1个不同的零点。
二、性质1. 正交性在区间[-1,1]上是正交的，即对于任意不同的正整数m和n，∫-1^1 Tm(x)Tn(x)dx = {1/(n+1)，m=n；0，m≠n}。
2. 极值性在区间[-1,1]的极值以及极值点的位置可以由以下公式给出：Tn(x)在[-1,1]的n个极值点为xk = cos((2k+1)π/(2n+2))，k = 0,1,2,...,n-1；Tn(x)在[-1,1]的n+1个极值为±1以及xk。
3. 递归公式有如下递归公式：T0(x) = 1，T1(x) = x；Tn(x) = 2xTn-1(x) - Tn-2(x)，n = 2,3,4,...这个公式的意义在于，我们可以用Tn-1(x)和Tn-2(x)来递推求得Tn(x)。
三、应用在信号处理中有广泛的应用。
例如，在数字滤波器设计中，我们可以通过多项式逼近法得到一个近似滤波器，使得原始信号减去该滤波器输出后的误差最小。
而选择作为逼近函数，可以最大限度地减小逼近误差。
此外，还被广泛地应用于数值分析和逼近论。
在这些领域，我们常常需要用多项式函数来逼近一个连续函数，从而在计算、建模和优化等问题中得到精确的解。
而具有优良的逼近性质，可以有效地进行逼近。
四、总结作为一种具有特殊性质的多项式函数，被广泛地应用于数学、工程和科学等领域。
其正交性、极值性和递归公式等性质被广泛地研究和应用，为我们解决许多实际问题提供了方便和参考。
线性代数中的切比雪夫多项式
线性代数中的切比雪夫多项式切比雪夫多项式是线性代数中的重要概念，它在多个数学领域都有广泛应用。
本文将对切比雪夫多项式进行介绍，包括其定义、性质以及在实际问题中的应用。
一、切比雪夫多项式的定义切比雪夫多项式是一类多项式，其定义如下：对于非负整数n，切比雪夫多项式Tn(x)可以通过递归关系定义：T0(x) = 1T1(x) = xTn(x) = 2xTn-1(x) - Tn-2(x) (n ≥ 2)切比雪夫多项式具有多个重要性质，其中包括关于根的性质、正交性、递推关系等，下文将逐一介绍。
二、切比雪夫多项式的性质1. 根的性质切比雪夫多项式Tn(x)在区间[-1, 1]上有n个互不相同的实根。
这些根可以通过数值方法求解或利用特殊的表达式计算。
2. 正交性不同次数的切比雪夫多项式在区间[-1, 1]上具有正交性质。
即对于任意m ≠ n，有∫Tm(x)Tn(x)dx = 0。
这个性质在数值计算、信号处理等领域中得到广泛应用。
3. 递推关系切比雪夫多项式之间存在递推关系，即Tn(x)可以通过Tn-1(x)和Tn-2(x)来计算。
这种递推关系在实际计算中能够简化计算过程，并提高计算效率。
三、切比雪夫多项式的应用切比雪夫多项式在多个数学领域中都有重要应用，下面介绍其中两个典型的应用。
1. 插值和逼近切比雪夫多项式可以用于数据插值和函数逼近。
通过选择适当的节点和次数，可以利用切比雪夫多项式来拟合实际数据或近似复杂函数，从而实现对数据和函数的插值和逼近。
2. 数值解法切比雪夫多项式在数值计算中有广泛应用。
例如，在求解线性方程组、计算特征值等问题中，通过对系数矩阵或特征矩阵进行切比雪夫多项式插值逼近，可以得到高精度的数值解。
四、总结切比雪夫多项式是线性代数中的重要概念，其在实际问题中具有广泛的应用。
通过了解切比雪夫多项式的定义和性质，我们可以更好地理解其在插值、逼近和数值解法等方面的应用，并将其应用于实际问题的求解中。
高中数学竞赛切比雪夫(Chebyshev)多项式知识整理
高中数学竞赛切比雪夫（Chebyshev ）多项式知识整理在初等数学中，三角函数是一个十分有用的工具，余弦cos n α是众所周知的偶函数，它的倍角公式如：2cos 22cos 1αα=- ，(1)3cos34cos 3cos ααα=-． (2)它们差不多上由余弦cos α的幂整系数线性组合来表倍角的余弦．如此就自然产生了余弦的n 倍角能否用余弦cos α的幂次的整系数线性组合表示问题，稍作运算能够得42cos 48cos 8cos 1ααα=-+ ，(3)53cos516cos 20cos 5cos αααα=-+ ．(4)观看公式(1—4)，能够发觉．假如公式两端同乘以2，则公式右边差不多上关于2cos α的首系数为1的、次数等于公式左边α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式．由此推测2cos n α也具有这一性质，下面用数学归纳法加以证明．猜想2,02cos (1)(2cos )m n m n m m n a αα-==-∑，(;n N m N +∈∈) (5) (5)式可改写为：n/312112cos (2cos )(1)(2cos )ent n mm n m n m m n n C m ααα----==+-∑ ，(9) (9)式称为n 倍角余弦公式． 12424cos 2(cos )(cos )(cos )n n n n n n n αααααα-----=-++…，其中i α为正整数． 因为余弦cos α在[]0,απ∈上单调，对应值为1降到1-，即cos α[]1,1∈-，[]0,απ∈ ．因此存在反函数，若令cos x α=，则arccos x α=，[]1,1x ∈-，[]0,απ∈．因此，在余弦n 倍角公式中令arccos x α=，[]0,απ∈，[]1,1x ∈-，则倍角公式为因此cos(arccos )n x 首项系数为12n -的多项式，各项系数是整数，符号依次变化，x 的幂依次递减2次，若递减到最后，幂次为负，则该项取零．若记cos(arccos )n x =()n T x ，则()n T x 满足，12()2()()n n n T x xT x T x --=-，()n T x 称为切比雪夫多项式．从递推关系能够得到：第一类切比雪夫多项式有许多良好的性质，例如：1．(cos )cos(),,n T n R n N θθθ=∈∈．(分析：令cos x θ=，arccos x θ=) 2．()(1)()n n n T x T x -=-，,x C n N ∈∈．这说明()n T x 当n 为奇(偶)数时是奇(偶)函数．3．()1,,1n T x x R x ≤∈≤．4．21(0)0m T +=，2(0)(1),m m T m N =-∈．5．函数列{}()n T x 的生成函数为（分析：生成函数又叫母函数，在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数能够提供关于那个序列的信息．使用母函数解决问题的方法称为母函数方法．母函数的思想确实是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造．母函数是解决组合计数问题的有效工具之一，其思想方法是把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂的相加对应起来．）6．函数列{}()n T x 满足2阶递推关系（分析：由三角恒等式cos(1)cos(1)2cos cos n n n θθθθ++-=）最小偏差切比雪夫在1857年提出如此一个问题：在最高项系数为1的n 次多项式中，寻求在区间[]1,1-上与零的偏差最小的多项式．换句话说，确实是寻求[]1,1n x C ∈-在1n H -中的最佳一致靠近多项式1()n P x *-，那个地点定理 在区间[]1,1-上所有最高项系数为1的多项式中， 与零的偏差最小，其偏差为112n -． ()n U x 称为第n 个第二类切比雪夫多项式，前7个第二类切比雪夫多项式为：第二类切比雪夫多项式也有许多良好的性质，例如：1．()(1)(),,n n n U x U x x C n N -=-∈∈．即当以为奇(偶)数时是奇(偶)函数．2．21(0)0m U +=，2(0)(1)m m U =-，(1)1n U n =+,(1)(1)(1)n n U n -=-+，m N ∈．3．函数列{}()n U x 的生成函数为4．()1,,1n U x n x R x ≤+∈≤．5．函数列{}()n U x 满足2阶递推关系两类切比雪夫多项式的关系定理1设()n T x 和()n U x 分别为第一类和第二类切比雪夫多项式，0n ≥为整数，则证明 由两类切比雪夫多项式的定义得而则比较式在子两边n t 项的系数，即有4切比雪夫多项式的应用4.1切比雪夫多项式插值切比雪夫多项式在靠近理论中有重要的应用．这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）能够用于多项式插值．相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，同时提供多项式在连续函数的最佳一致靠近．切比雪夫多项式插值法：定理：设01,,x x …,n x 为区间[],a b 上1n +个互不相同的点，[]1(),n f x C a b +∈，则对任何[],x a b ∈,存在[]01,,,x n x x x ξ∈，使得拉格朗日插值余()()()n R x f x L x =-，满足其中插值多项式的余项极小化：要使拉格朗日插值多项式()n L x 尽量靠近()f x ，就要使余项()n R x 尽量小．在 ()n R x 中，()f x 是固定的，而 x ξ又是未知数，因此要减小()n R x ，只有恰当选择节点集，使得在插值区间内余项的最大值为极小值．为了应用切比雪夫多项式，第一应将插值区间[],a b ,通过简单变换归一化到区间[−1,1],做变换()12k k z b a x b a =-++⎡⎤⎣⎦ 因此插值节点应取为()121cos 222k k z b a b a n π+⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦. 其中0,1,2,,1k n =-，因此下面我们只需要讨论区间[−1,1]上的函数的切比雪夫插值法： 当取定第一类切比雪夫点21cos ,0,1,2,,22k k x k n n π+==+后， 令()1111max n n x M f x ++-≤≤=，则有()()11max 1max (1)!2(1)!n n n n x R x M M n n ++=≤++∏，故切比雪夫插值法能够使得余项的最大值极小化，得到较佳靠近多项式.。
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切比雪夫多项式是与有关，以递归方式定义的一系列序列。
通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。
切比雪夫多项式T n或U n代表n阶多项式。
切比雪夫多项式在中有重要的应用。
这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。
相应的插值多项式能最大限度地降低，并且提供多项式在的最佳一致逼近。
在的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程
和
相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。
这些方程是的特殊情形.
定义：第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定
也可以用表示
第二类切比雪夫多项式由以下给出
此时为
从三角函数定义：第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定
其中n = 0, 1, 2, 3, .... . 是关于的n次多项式，这个事实可以这么
看：是:的实部（参见），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中，都是偶数次的，从而可以表示成的幂。
用显式来表示
尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有
类似，第二类切比雪夫多项式满足
以佩尔方程定义：切比雪夫多项式可被定义为
在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见, p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:
归递公式
两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:
T0(x) = 1 U ? 1(x) = 1 Tn + 1(x) = xTn(x) ? (1 ? x2)Un ? 1(x) Un(x) = xUn ? 1(x) + Tn(x)
证明的方式是在下列三角关系式中用x 代替
xTn(x) ? (1 ? x2)Un(x)
正交性
Tn 和Un 都是区间[?1,1] 上的系.
第一类切比雪夫多项式带权
即:
可先令x= cos(θ) 利用Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.
类似地，第二类切比雪夫多项式带权即:
其后形成的是).
基本性质
对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。
并且当n为偶（奇）数时，它们是关于x 的偶（奇）函数，在写成关于x的多项式时只有偶（奇）次项。
时，Tn 的最高次项系数为2n ? 1 ，n = 0时系数为1 。
最小零偏差
对，在所有最高次项系数为1的n次多项式中，对零的偏差最小，即它是使得f(x)在[ ? 1,1] 上绝对值的最大值最小的多项式。
其
绝对值的最大值为，分别在- 1 、 1 及 f 的其他n ? 1 个极值点上达
到。
两类切比雪夫多项式间的关系
两类切比雪夫多项式间还有如下关系：
切比雪夫多项式是超球多项式或的特例, 后者是的特例.
切比雪夫多项式导数形式的递推关系可以由下面的关系式推出：
例子
前六个第一类切比雪夫多项式的图像，其中-1?<x<1?, -1?<y<1?; 按颜色依次是T0, T1, T2, T3, T4 T5.
前几个第一类切比雪夫多项式是
前六个第一类切比雪夫多项式的图像，其中-1?<x<1?, -1?<y<1?; 按颜色依次是U0, U1, U2, U3, U4 U5. 虽然图像中无法显示,我们实际有Un(1)=n+1 以及
Un(-1)=(n+1)(-1)n.
前几个第二类切比雪夫多项式是
按切比雪夫多项式的展开式
一个N 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下：
多项式按切比雪夫多项式的展开可以用计算。
切比雪夫根
两类的n次切比雪夫多项式在区间[?1,1]上都有n 个不同的根, 称为切比雪夫根, 有时亦称做，因为是多项式插值时的插值点. 从三角形式中可看出Tn 的n 个根分别是：
类似地，Un 的n个根分别是：。