切比雪夫多项式详细

切比雪夫多项式是与有关，以递归方式定义的一系列序列。

通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。

切比雪夫多项式T n或U n代表n阶多项式。

切比雪夫多项式在中有重要的应用。

这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。

相应的插值多项式能最大限度地降低，并且提供多项式在的最佳一致逼近。

在的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程
和
相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。

这些方程是的特殊情形.
定义：第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定
也可以用表示
第二类切比雪夫多项式由以下给出
此时为
从三角函数定义：第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定
其中n = 0, 1, 2, 3, .... . 是关于的n次多项式，这个事实可以这么
看：是:的实部（参见），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中，都是偶数次的，从而可以表示成的幂。

用显式来表示
尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有
类似，第二类切比雪夫多项式满足
以佩尔方程定义：切比雪夫多项式可被定义为
在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见, p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:
归递公式
两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:
T0(x) = 1 U ? 1(x) = 1 Tn + 1(x) = xTn(x) ? (1 ? x2)Un ? 1(x) Un(x) = xUn ? 1(x) + Tn(x)
证明的方式是在下列三角关系式中用x 代替
xTn(x) ? (1 ? x2)Un(x)
正交性
Tn 和Un 都是区间[?1,1] 上的系.
第一类切比雪夫多项式带权
即:
可先令x= cos(θ) 利用Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.
类似地，第二类切比雪夫多项式带权即:
其后形成的是).
基本性质
对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。

并且当n为偶（奇）数时，它们是关于x 的偶（奇）函数，在写成关于x的多项式时只有偶（奇）次项。

时，Tn 的最高次项系数为2n ? 1 ，n = 0时系数为1 。

最小零偏差
对，在所有最高次项系数为1的n次多项式中，对零的偏差最小，即它是使得f(x)在[ ? 1,1] 上绝对值的最大值最小的多项式。

其
绝对值的最大值为，分别在- 1 、 1 及 f 的其他n ? 1 个极值点上达
到。

两类切比雪夫多项式间的关系
两类切比雪夫多项式间还有如下关系：
切比雪夫多项式是超球多项式或的特例, 后者是的特例.
切比雪夫多项式导数形式的递推关系可以由下面的关系式推出：
例子
前六个第一类切比雪夫多项式的图像，其中-1?<x<1?, -1?<y<1?; 按颜色依次是T0, T1, T2, T3, T4 T5.
前几个第一类切比雪夫多项式是
前六个第一类切比雪夫多项式的图像，其中-1?<x<1?, -1?<y<1?; 按颜色依次是U0, U1, U2, U3, U4 U5. 虽然图像中无法显示,我们实际有Un(1)=n+1 以及
Un(-1)=(n+1)(-1)n.
前几个第二类切比雪夫多项式是
按切比雪夫多项式的展开式
一个N 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下：
多项式按切比雪夫多项式的展开可以用计算。

切比雪夫根
两类的n次切比雪夫多项式在区间[?1,1]上都有n 个不同的根, 称为切比雪夫根, 有时亦称做，因为是多项式插值时的插值点. 从三角形式中可看出Tn 的n 个根分别是：
类似地，Un 的n个根分别是：。