长沙理工大学线性代数试卷

长沙理工大学模拟考试试卷

课程名称（含档次） 线性代数 课程代号 0701011

专 业 全校各专业 层次（本、专） 本科 考试方式（开、闭卷） 闭卷

一、判断题（正确答案填√,错误答案填×。每小题2分，共10分）

1.设n 阶方阵C B A ,,可逆且满足E ABC =，则必有 E CBA = （ ）

2.设21,ηη==x x 是b AX =的解，则21ηη+=x 是b AX =的解 （ ）

3.若矩阵A 的列向量组线性相关，则矩阵A 的行向量组不一定线性相关 （ ）

4.设x 表示向量x 的长度，则

x x λλ= （ ）

5.设21,ηη==x x 是b AX =的解，则21ηη-=x 是0=AX 的解 （ ） 二、填空题：(每小题5分，共20分)

1.计算行列式 2

3

1

013

4

12-＝ ； 2.若βα,为)0(,≠=A b b X 的解，则βα-或αβ-必为 的解；

3.设n 维向量组m ααα,,,:21ΛT ，当n m >时，T 一定线性 ，含有零向量的向量组一定线性 ；长沙理工大学二手货QQ 交易群146 808 417

4.设三阶方阵A 有3个特征值2，1，-2，则2

A 的特征值为 ； 三、计算题（每小题10分，共60分）

1.

2

111121111211

112；

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2.若线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+=+-=+4

143432

32121a x x a x x a x x a x x 有解，问常数4321,,,a a a a 应满足的条件

3.设s ηηη,,,21Λ是方程组b X =A 的解向量)0(≠b ，若s s k k k ηηη+++Λ2211也是的解，则

=+++s k k k Λ21 ；

4.求齐次线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=++-=++-=++-0

2033220

24321

43214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系；

5.已知矩阵⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=y x A 3122与矩阵⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=4321B 相似，求y x ,的值； 6.设3231212

322214225x x x x x ax x x x f +-+++=为正定二次型，求a .

四、证明题（10分）：

设向量组321,,ααα线性无关，长沙理工大学二手货QQ 交易群146 808 417

证明321211,,αααααα+++线性无关。

长沙理工大学模拟试卷标准答案

课程名称： 线性代数 试卷编号：1

一、判断题（正确答案填√,错误答案填×。每小题2分，共10分） 1，× 2，× 3，√ 4, × 5, √

二、填空题：(每小题5分，共20分)

1，42；2，0=A X ；3，相关，相关；4，4，1，4. 三、计算题（每小题10分，共60分）

1.

2

111121111211

112=

2

115121511251

115=5

2

111121111211

111 （5分）

=5

1

000010000101

111＝5 （5分）

2.)(b A →⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛--=4321100111000110

0011

a a a a （2分）

⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛+++--→43213

21

0000110001100

011a a a a a a a （5分） 若有解，则A 的秩与)(b A 的秩相等，即4321a a a a +++0=。 （3分）

3.⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----++2000672012

114720672012111244302121123131242λλλr r r r r r （6分）

∴(1) 当2=λ时，矩阵的秩为2； （2分） (2) 当2≠λ时，矩阵的秩为3. （2分）

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4.对系数矩阵作作初等行变换

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---→--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11001100121122111332212111312r r r r

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--→-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→+-÷0000110030112000011001211)

1(212

32r r r r r

得同解方程组 ⎩⎨

⎧+=-=4

234

2103x x x x x x

令 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛0142x x ，⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛10； 得 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0131x x ，⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-13 基础解系为：()

()T

T

1103,001121-==ξξ

5.解：∵A 与B 相似，∴ 特征多项式相同，即 E B E A λλ-=- 亦即 x y y x

E A 31))(22(3122---=--=

-λλλ

λλ

6)4)(1(43

21---=--=

-=λλλ

λλE B

6)4)(1(31))(22(---=---⇒λλλλx y 17,12-=-=⇒y x

6.解：f 的矩阵为 ⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛--=5212111a a A

∵ f 为正定二次型，∴ A 的各阶主子式大于0． 即 111=a ＞0，

222

21

121111

1a a a a a a a -==

＞0

)45(5

2

121

11

+-=--=a a a

a A ＞0

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解联立不等式组 2

1a -＞0 或 )45(+a a ＜0 1-⇒＜a ＜1或 54-＜a ＜0 5

4

-

⇒＜a ＜0