matlab教学第二章 微分方程

yn+1 = (yn + (h/2)*(- yn + xn + xn+1 +2))/(1+h/2)。
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x1(1)=0;y1(1)=1;y2(1)=1;y3(1)=1;h=0.1; for k=1:10 x1(k+1)=x1(k)+h; y1(k+1)=(1-h)*y1(k)+h*x1(k)+h; y2(k+1)=(y2(k)+h*x1(k+1)+h)/(1+h); y3(k+1)=(y3(k)+(h/2)*(-y3(k)+x1(k)+x1(k+1)+2))/(1+h/2); end x=0:0.1:1; y=x+exp(-x); x1=x1(1:11),y=y(1:11),y1=y1(1:11),y2=y2(1:11),y3=y3( 1:11), plot(x,y,x1,y1,'k:',x1,y2,'r--',x1,y3,'g*') 程序中，x1为自变量，y为精确解，y1、y2、y3分别为向 前欧拉法、后退欧拉法和梯形法的解。结果如下：
例2.1 一个较热的物体置于室温为180C的房间内， 该物体最初的温度是600C，3分钟以后降到500C。想 知道它的温度降到300C 需要多少时间？10分钟以后 它的温度是多少？ 牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体放入处于 常温 m 的介质中时，T的变化速率正比于T与周围介 质的温度差。 分析：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体 时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡，保持 为m，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似。

2）Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死X 方军队 a 名 ， 士兵；
3）X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y方军队 b 名 士兵；

{Δt 时间内X军队减少的士兵数 }= {Δt 时间内Y军队消灭 对方的士兵数} dx ay (a 0) dt 即有 Δx =－ayΔt 令 t 0 得 dy bx (b 0)10 2016/4/27 同理 Δy =－bxΔt dt
x

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建立坐标系，由微元法分析可知：
1 dV D ( x ) 2 dx 4


其中x表示高度，直径是高度的函数，记为D(x) 可得微分方程： dV 1 2
D( x) dx 4 V (0) 0

如果该方程中的函数D(x)无解析表达式，只给出 D(x)的部分测试数据，如何求解此微分方程呢？

2.2.3 微元法

基本思想：通过分析研究对象的有关变量在一个 很短时间内的变化情况建立微分方程。 本章引例

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2.2.4 分析法




基本思想：根据对现实对象特性的认识，分析其因果 关系，找出反映内部机理的规律。 例2.4 独家广告模型 广告是调整商品销售的强有力 的手段，广告与销售量之间有什么内在联系？如何评 价不同时期的广告效果？ 解：1．分析广告的效果，可做如下的条件假设： ①商品的销售速度会因广告而增大，当商品在市场上 趋于饱和时，销售速度将趋于一个极限值； ②商品销售率（销售加速度）随商品销售速度的增高 而降低。
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3．模型建立 选择如下广告策略，t时刻的广告费用为： 0 t A, A(t ) t 0, 建立微分方程：
dS S (t ) pA(t )(1 ) S (t ) dt M

模型分析：是否与假设相符？
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2.3 微分方程求解方法
0.4
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
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1.0703
1.1065 1.1488 1.1966 1.2493 1.3066 1.3679
1.0702
1.1064 1.1486 1.1964 1.2491 1.3064 1.3677
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表2-1当h = 0.1时
xn
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 精确解 1 1.0048 1.0187 1.0408 1.0703 1.1065 向前欧拉法 1 1 1.0100 1.0290 1.0561 1.0905 后退欧拉法 1 1.0091 1.0264 1.0513 1.0830 1.1209 梯形法 1 1.0048 1.0186 1.0406 1.0701 1.1063
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建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T(t)，t≥0， 根据牛顿加热（冷却）定律：dT 与（ T m）成正比 ， dt 建立微分方程
dT k (T m) dt T (0) 60

其中参数k >0，m=18。
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2.2.2 利用平衡与增长式

许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性， 如封闭区域内的能量、货币量等。利用变量间的平衡 与增长特性，可分析和建立有关变量间的相互关系。 此类建模方法的关键是分析并正确描述基本模型的右 端，使平衡式成立。 例2.2 战斗模型：两方军队交战，希望为这场战斗建 立一个数学模型，应用这个模型达到如下目的： 1. 预测哪一方将获胜？
2.3.2 数值解法


微分方程的数值解法是解决某些实际问题中经常使用的方 法。设待求解的定解问题为 dy f ( x, y ), y ( x 0 ) y 0 dx 求该问题数值解法的基本过程如下： 引入自变量取值点序列xn ，定义 hn xn xn1 为步长，常 用定步长( hn与n无关，为常数)，其精确解记为y ( x n ) ， 一般难以得到。为了寻求 y( xn ) 的近似值 y n ，设想根据一 定的原理，结合当前得到近似解，近似地表示该点或前一 点的导数值，由此推出计算 y n 的迭代公式。因此数值解法 一般只能得到微分方程的近似解 yn 。下面介绍两个微分 方程中最常用的数值解法。
yn1 yn h f ( xn , yn )
（2）将预测值代入梯形公式的右端作为校正，得到yn+1 1 y n 1 y n h [ f ( x n , y n ) f ( x n 1 , y n 1 )] 2 ，n=1,2,… 该式称为改进欧拉公式。



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2. 估计获胜的一方最后剩下多少士兵？
3. 计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能赢得 这场战斗？
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解：模型建立：
设 x(t)： t 时刻X方存活的士兵数 y(t)： t 时刻Y方存活的士兵数


假设：
1）双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗，x(t)与y(t) 都是连续变量；
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例2.5 求解微分方程
y' = -y +x +1, y(0) = 1, 取步长h = 0.1和0.001。
分别用三种数值解法求解，并结合其精确解，对求解误差进
行分析比较。

解 这是一个一阶线性微分方程，可用解析解法得到其精确解 y = x + e-x。
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三种数值解如下： 1) 向前欧拉法：迭代公式为 yn+1 = （1-h）yn + hxn + h，n=0,1,...。其中y0= y(0) = 1。 2) 后退欧拉法：由后退欧拉法隐式公式得 yn+1 = yn + h(-yn+1+xn+1+1)，变形为 yn+1 = (yn + hxn+1 + h)/(1+h)。 3) 梯形法：将隐式梯形公式转化为显示迭代公式 如下：
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若f(x,y)中的x取右端点，可得向后欧拉公式如下：
yn+1 = yn + h f (xn +1, yn +1) ，n = 0,1,… 称为隐式公式，因为要得出数值解yn+1，就必须求解这个
非线性方程，计算比较困难。

如果用将向前和向后欧拉公式加以平均，可得到梯形公式：
0.6
0.7 0.8 0.9 1
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1.1488
1.1966 1.2493 1.3066 1.3679
1.1314
1.1783 1.2305 1.2874 1.3487
1.1645
1.2132 1.2665 1.3241 1.3855
1.1485
1.1963 1.2490 1.3063 1.3676





2.3.1 解析解法 解析解法只能解决一些特殊微分方程，这些方 法主要针对： 一阶特殊的微分方程：如使用分离变量法、方 程变换法、线性方程的常数变易法或公式法求 解。 二阶或高阶常系数线性微分方程的特征根法。 在高等数学的教程中有专门介绍。 下面着重介绍微分方程的数值解法。
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1.欧拉方法

这是一种最简单的解微分方程的数值方法：就是在小区间 [xn, xn+1]上用差商代替微商，可以得到近似的表达式
y ( x n 1 ) y ( x n ) f ( x, y ) h