江门数学轴对称解答题中考真题汇编[解析版]

江门数学轴对称解答题中考真题汇编[解析版]

一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC延长线上的一点，且BD＝DE．点G是线段BC的中点，连结AG，交BD于点F，过点D作DH⊥BC，垂足为H．

（1）求证：△DCE为等腰三角形；

（2）若∠CDE＝22.5°，DC＝2，求GH的长；

（3）探究线段CE，GH的数量关系并用等式表示，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（22

；（3）CE＝2GH，理由见解析.

【解析】【分析】

（1）根据题意可得∠CBD＝1

2

∠ABC＝

1

2

∠ACB，，由BD=DE，可得∠DBC＝∠E＝

1 2∠ACB，根据三角形的外角性质可得∠CDE＝

1

2

∠ACB＝∠E，可证△DCE为等腰三角

形；

（2）根据题意可得CH=DH=1，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质可得BG=GC，2+1，即可求GH的值；

（3）CE=2GH，根据等腰三角形的性可得BG=GC，BH=HE，可得GH＝GC﹣HC＝GC﹣

（HE﹣CE）＝1

2

BC﹣

1

2

BE+CE＝

1

2

CE，即CE=2GH

【详解】

证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD＝1

2

∠ABC＝

1

2

∠ACB，

∵BD＝DE，

∴∠DBC＝∠E＝1

2

∠ACB，

∵∠ACB＝∠E+∠CDE，

∴∠CDE＝1

2

∠ACB＝∠E，

∴CD＝CE，

∴△DCE是等腰三角形

（2）

∵∠CDE＝22.5°，CD＝CE2，

∴∠DCH＝45°，且DH⊥BC，

∴∠HDC＝∠DCH＝45°

∴DH＝CH，

∵DH2+CH2＝DC2＝2，

∴DH＝CH＝1，

∵∠ABC＝∠DCH＝45°

∴△ABC是等腰直角三角形，

又∵点G是BC中点

∴AG⊥BC，AG＝GC＝BG，

∵BD＝DE，DH⊥BC

∴BH＝HE2+1

∵BH＝BG+GH＝CG+GH＝CH+GH+GH2+1∴1+2GH2+1

∴GH＝

2 2

（3）CE＝2GH

理由如下：∵AB＝CA，点G是BC的中点，∴BG＝GC，

∵BD＝DE，DH⊥BC，

∴BH＝HE，

∵GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝1

2

BC﹣

1

2

BE+CE＝

1

2

CE，

∴CE＝2GH

【点睛】

本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.

2．如图，在等腰直角ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 是ABC △ 内一点，连接 AD ，AE AD ⊥ 且 AE AD =，连接 BD 、CE 交于点 F .

（1）如图 1，求BFC ∠的度数；

（2）如图 2，连接ED 交 BC 于点 G ，连接 AG ，若 AG 平分BAD ∠，求证：

2EAC EDF ∠=∠；

（3）如图 3，在（2）的条件下，BF 交 AG 、AC 分别于点M 、N ，DH AM ⊥，连接 HN ，若ADN ∆的面积与DHN 的面积差为 6，6DF =，求四边形 AMFE 的面积.

【答案】（1）∠BFC =90°；（2）见解析；（3）20AMFE S =四边形.

【解析】

【分析】

（1）根据SAS 证明ABD ACE ≌，所以ABD ACF ∠=∠，所以

90BFC BAC ∠=∠=︒.

（2）根据题意先求出180ABG ADG ∠+∠=︒，在AB 上截取AK AD =，连接KG ，由AKG ADG ≌，180BKG AKG ∠+∠=︒，可证得BKG KBG ∠=∠，

GB GK DG ==，所以

DBG BDG EDF α∠=∠=∠=， 因为2CAE BAD α∠=∠=，所以

2CAE EDF ∠=∠．

（3）根据题意和（2）中结论先证明AD AN AE ==，过 A 作BF 、CE 垂线，垂足分别为R 、T ， 连接AF ，证明ANR AET ≌，所以AR AT =，然后根据等腰三角形的性质可得出DM FN =，过点H 作HP FM ⊥，垂足为P ，所以HP PM DP ==，设DP x =，DR y =，

所以ADN DHN S S ∆∆-= 1122

DN AR DN HP ⋅⋅-⋅ ()6y x y =+=，226DF x y =+=，求出x ，y ，不难得到AEF ANF ADM S S S ∆∆∆===4，然后可得20AMFE S =四边形.

【详解】

（1）因为ABC 是等腰直角三角形，所以AB AC =，90BAC DAE ∠=︒=∠， 所以BAD CAE ∠=∠，因为AD AE =，所以ABD ACE ≌，所以ABD ACF ∠=∠，所以90BFC BAC ∠=∠=︒.

（2）因为AD AE =，90DAE ∠=︒，所以45AED ACG ∠=︒=∠，所以

CAE CGE ∠=∠，

由（1）知：BAD CAE ∠=∠，所以BAD CGD ∠=∠，

设2BAD CGD α∠==∠， 所以1802BGD α∠=︒-，所以180BAD BGD ∠+∠=︒， 所以180ABG ADG ∠+∠=︒， 因为AG 平分BAD ∠，所以BAG DAG α∠=∠=， 在AB 上截取AK AD =，连接KG ，

因为AG AG =，所以AKG ADG ≌，所以AKG ADG ∠=∠，DG KG =， 因为180BKG AKG ∠+∠=︒，所以BKG KBG ∠=∠，

所以GB GK DG ==，所以DBG BDG EDF α∠=∠=∠=， 因为

2CAE BAD α∠=∠=，所以2CAE EDF ∠=∠．

（3）由（2）知：BAG DBG α∠=∠=，因为90BAC ∠=︒，45ABC ∠=︒，所以45ABN α∠=︒-，

因为2BAD α∠=，所以45ADN α∠=︒+，因为902DAN α∠=︒-，所以

45AND ADN α∠=︒+=∠，所以AD AN =，因为AD AE =，所以AE AN =， 过 A 作BF 、CE 垂线，垂足分别为R 、T ， 连接AF ，

因为45ACE ABD α∠=∠=︒-，2CAE α∠=，所以45AET ANR α∠=︒+=∠， 因为AE AN =，所以ANR AET ≌，所以AR AT =，所以FA 平分BFT ∠， 所以45AFN AFE ∠=∠=︒，因为45AMN ∠=︒，所以AFM AMF ∠=∠，所以AF AM =，

所以FR MR =，因为DR RN =，所以DM FN =，过点H 作HP FM ⊥，垂足为P ， 因为45AMN ∠=︒，90DHM ∠=︒，所以45MHP DHP HDP ∠=∠=∠=︒，所以HP PM DP ==，

设DP x =，所以2DM FN x ==，设DR y =，所以2DN y =，所以2MR x y =+，因为45MAR ∠=︒，